1.4 角平分线的性质及判定 同步练习 2023-2024学年湘教版八年级下册数学

1.4角平分线的性质 基础知识 （1） 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 几何语言：∵CD是∠ADB的平分线 PE⊥DA， PF⊥DB ∴PE = PF （2） 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离 的点在 . 几何语言：∵PE⊥DA， PF⊥DB PE = PF ∴PD是∠ADB的平分线 （3） 三角形角平分线的性质 你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ 分析：作△ABC任意两角的角平分线，两条角平分线的交点即点P. 如图，作∠CAB，∠CBA的平分线，交于点P. 即点P为所求。 基本能力 1 . 如图，平分，在上取一点，过做，若，则点到的距离为（        ） A． B． C． D． 2 . 如图，在中，，平分，交与D，过点D作于E，，，则（       ） A． B． C． D． 3 . 已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（）     A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 4 . 下列说法中正确的是（　　） A．线段不是轴对称图形 B．角的对称轴是角的平分线 C．三角形的三个内角的平分线的交点到三个顶点距离相等． D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 5. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（       ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6 . 如图，在中，平分，以点为圆心，以任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法错误的是（     ） A．到三点的距离相等 B．是三角形三条角平分线的交点 C．平分 D．到，边的距离相等 7 . 如图，在中，，是角平分线，，，则点到的距离是________． 8 . 如图，在中，，的角平分线，过点D作于E，且的周长为，其中，则的周长为______． 9 . 如图，在中，是的角平分线，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，求的面积． 10 . 如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，，小明利用直尺（无刻度），请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作的平分线，交与点； (2)过点作线段      的垂线（填空并完成作图）； (3)根据以上信息请判断：这样画出的图形满足要求吗？证明你的判断 11 . 如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 12 . 已知：如图，，是的中点，平分． (1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 巩固技能 13 . 如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 14. 如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15 . 如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为 16 . 如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．     (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 17 . 如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1) 求证：； (2)求证：点在的平分线上 综合实践技能 18 . 已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F． 求证：点F在的平分线上． 某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，． ∴． ∵，， ∴F在的平分线上． (1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并说明理由； (2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：      ； 19. 【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时朋，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考．随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质．在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等． 【问题解决】如图，在中，D是的中点，于E，于F，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 20. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$