第21课 坐标平面内图形的轴对称和平移-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移 ( 目标导航 ) 学习目标 1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化. 2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系. 3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标. 4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形. ( 知识精讲 ) 知识点01 坐标平面内图形的轴对称 在直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 2. 关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变 知识点02 坐标平面内图形的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y);将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b). (1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律:右加左减: (2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律:上加下减: (3)在坐标系内，平移的点的坐标规律:沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变 ( 能力拓展 )考点01 坐标平面内图形的轴对称 【典例1】已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2024的值． 【即学即练1】已知点M（x﹣2y，2+x），N（2，﹣1） （1）若点M，N关于x轴对称，求x，y的值； （2）若点M，N关于y轴对称，求（2xy）2的值． 考点02 坐标平面内图形的平移 【典例2】如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（2，2）．线段AB向下平移3个单位，它的像是线段A'B'． （1）试写出点A'，B'的坐标； （2）若点C（x，y）是平面内的任一点，在上述平移下，像点C'（x'，y'）与点C（x，y）的坐标之间有什么关系？ 【即学即练2】已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N． （1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标； （2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如果点P（﹣2，4）关于x轴的对称点为Q，则Q点的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 2．点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，2） 3．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（　　） A．点A在第四象限 B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3） C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3） D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2） 4．将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 5．将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 6．点A（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标为　　． 7．已知点P（﹣3，2），点P关于x轴的对称点坐标为 　　，y轴的对称点坐标是 　　． 8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　　． 9．已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是 　　． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为 　 　． 11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 12. 如图，在正方形网格中，若点A的坐标是（1，1），点B的坐标是（2，0）． （1）依题意，在图中建立平面直角坐标系； （2）图中点C的坐标是　　，点C关于x轴对称的点C'的坐标是　　； （3）若点D的坐标为（3，﹣1），在图中标出点D的位置； （4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B'的坐标是　　，△AB'C的面积为　　． 13．如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标为A1　　 ，B1　 　，C1　　 ； （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　　 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　 　． （3）求三角形ABC的面积． 题组B 能力提升练 14．将P点（m，m+1）向上平移3个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（　　） A． B． C．a＜﹣1 D． 16．如果点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝4 B．m＝﹣1，n＝﹣4 C．m＝4，n＝1 D．m＝﹣4，n＝﹣1 17．如图，已知点A（﹣2，1），B（a，n）．若将线段AB平移到CD，其中C（1，0），D（4，m），则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 18．已知点A、B的坐标分别是（m，2），（1，n），若点A与点B关于y轴对称，则m+n的值为 　　． 19．将点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 　　． 20．在平面直角坐标系中，已知点P（2a+3，3），Q（﹣4，b﹣2），分别根据下列条件，求a，b的值． （1）P，Q两点关于x轴对称； （2）P，Q两点关于y轴对称； （3）直线PQ∥y轴． 21. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+1，3m+2）． （1）若点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （2）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 22.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形DEF； （3）求三角形DEF的面积． 题组C 培优拔尖练 23．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标（1，2），则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 24．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生 点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为　 　　； （2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标； （3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 　　，若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 　　； （2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，求m的值及点D的坐标； （3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接写出点Q的坐标． ( 18 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移 ( 目标导航 ) 学习目标 1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化. 2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系. 3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标. 4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形. ( 知识精讲 ) 知识点01 坐标平面内图形的轴对称 在直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 2. 关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变 知识点02 坐标平面内图形的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y);将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b). (1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律:右加左减: (2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律:上加下减: (3)在坐标系内，平移的点的坐标规律:沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变 ( 能力拓展 )考点01 坐标平面内图形的轴对称 【典例1】已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2024的值． 【思路点拨】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【解析】解：（1）∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴a＝﹣8，b＝﹣5； （2）∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（4a+b）2024＝（﹣4+3）2024＝1． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【即学即练1】已知点M（x﹣2y，2+x），N（2，﹣1） （1）若点M，N关于x轴对称，求x，y的值； （2）若点M，N关于y轴对称，求（2xy）2的值． 【思路点拨】（1）关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此可得x，y的值． （2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得x，y的值，进而得出（2xy）2的值． 【解析】解：（1）∵点M，N关于x轴对称（关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．）， ∴2+x＝1，x﹣2y＝2， ∴， （2）∵点M，N关于y轴对称（关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．）， ∴2+x＝﹣1，x﹣2y＝﹣2， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 考点02 坐标平面内图形的平移 【典例2】如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（2，2）．线段AB向下平移3个单位，它的像是线段A'B'． （1）试写出点A'，B'的坐标； （2）若点C（x，y）是平面内的任一点，在上述平移下，像点C'（x'，y'）与点C（x，y）的坐标之间有什么关系？ 【思路点拨】（1）根据平移性质即可写出点A'，B'的坐标； （2）根据点C（x，y）是平面内的任一点，在上述平移下，即可得像点C'（x'，y'）与点C（x，y）的坐标之间的关系． 【解析】解：（1）∵A（﹣2，﹣2），B（2，2）． 线段AB向下平移3个单位， ∴点A'，B'的坐标分别为：（﹣2，﹣5）、（2，﹣1）； （2）点C（x，y）是平面内的任一点，在上述平移下， 像点C'（x'，y'）与点C（x，y）的坐标之间关系为： x′＝x，y′+3＝y． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． 【即学即练2】已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N． （1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标； （2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标． 【思路点拨】（1）根据平移的性质可得点N的坐标为（m+3，2m+3），再根据点N的纵坐标比横坐标大3，求出m即可得出答案； （2）由点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求出m，即可得N点坐标． 【解析】解：（1）∵点M（m+3，2m﹣1）， ∴将点M向上平移4个单位得到点N的坐标为（m+3，2m+3）， ∵点N的纵坐标比横坐标大3， ∴2m+3﹣（m+3）＝3， 解得m＝3， ∴点M的坐标为（6，5）； （2）∵点M到x轴的距离为2，且在第四象限， ∴2m﹣1＝﹣2， ∴m＝﹣， ∴点N的坐标为（，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平移法则是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如果点P（﹣2，4）关于x轴的对称点为Q，则Q点的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 【思路点拨】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解题． 【解析】解：由条件可知：点Q的坐标为：（﹣2，﹣4）， 故选：C． 【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数是关键． 2．点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，2） 【思路点拨】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【解析】解：点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标是：（5，2）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 3．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（　　） A．点A在第四象限 B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3） C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3） D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2） 【思路点拨】先确定平面直角坐标系中A点的位置，再确定其对称点的位置即可． 【解析】解：A．点A在第四象限，选项正确，不符合题意； B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3），选项正确，不符合题意； C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），选项正确，不符合题意； D．点A关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3），选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数． 4．将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 【思路点拨】根据平移中点的变化规律即可解答． 【解析】解：点A′的坐标为（﹣3+4，2﹣4），即（1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5．将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【思路点拨】由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知横坐标增加1，纵坐标增加2，据此可得答案． 【解析】解：由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度， 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 6．点A（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标为　（3，﹣1）　． 【思路点拨】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解析】解：点A（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标为（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1）． 【点睛】此题主要考查了 关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7．已知点P（﹣3，2），点P关于x轴的对称点坐标为 　（﹣3，﹣2）　，y轴的对称点坐标是 　（3，2）　． 【思路点拨】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【解析】解：点P（﹣3，2）关于 x 轴的对称点坐标为（﹣3，﹣2），y轴的对称点坐标是（3，2）． 故答案为：（﹣3，﹣2），（3，2）． 【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　（6，0）　． 【思路点拨】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【解析】解：∵点A（﹣2，0）的对应点C的坐标为（4，﹣3）， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴B（0，3）的对应点D的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 9．已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是 　（﹣5，12）　． 【思路点拨】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变确定a、b的值，进而可得A点的坐标． 【解析】解：∵已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12）， ∴b＝12， ∵关于y轴对 称点的坐标 是（5，b）， ∴a＝﹣5， ∴则A点的坐标是（﹣5，12）． 故答案为：（﹣5，12）． 【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为 　（﹣3，4）　． 【思路点拨】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论． 【解析】解：∵点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5）， ∴设A（x，y）， ∵A1（5，﹣1）， ∴x+8＝5，y﹣5＝﹣1， 解得x＝﹣3，y＝4， ∴A（﹣3，4）． 故答案为：（﹣3，4）． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变换，根据题意得出关于x，y的方程是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 【思路点拨】（1）分别作出△ABC三个顶点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出△ABC三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． 【解析】解：（1）如图△A1B1C1为所求作； （2）如图△A2B2C2为所求作； （3）由（1）（2）可知：P1（m，﹣n），P2（﹣m，n）． 【点睛】本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征． 12. 如图，在正方形网格中，若点A的坐标是（1，1），点B的坐标是（2，0）． （1）依题意，在图中建立平面直角坐标系； （2）图中点C的坐标是　（﹣1，﹣2）　，点C关于x轴对称的点C'的坐标是　（﹣1，2）　； （3）若点D的坐标为（3，﹣1），在图中标出点D的位置； （4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B'的坐标是　（﹣1，1）　，△AB'C的面积为　3　． 【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的特点建立坐标系即可； （2）根据图中坐标得出C坐标，并且根据关于x轴对称的点的坐标的特点解答即可； （3）根据坐标特点画出图形即可； （4）根据平移特点和三角形的面积公式解答即可． 【解析】解：（1）如图所示． （2）C（﹣1，﹣2）；C'（﹣1，2）． （3）如图所示：D点即为所求； （4）B'（﹣1，1）； △AB'C的面积＝＝3． 故答案为：（﹣1，﹣2）；（﹣1，2）；（﹣1，1）； 3． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律． 13．如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标为A1　（2，4）　，B1　（0，3）　，C1　（3，2）　； （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　（﹣3，﹣2）　；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　（5，1）　． （3）求三角形ABC的面积． 【思路点拨】（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知平移的方式，即可得出点A1、B1、C1的坐标； （2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可解答； （3）利用矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答． 【解析】解：（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知， △ABC先向右平移5个单位，又向上平移2个单位， ∴A1（2，4），B1 （0，3），C1（3，2）； 故答案为：（2，4），（0，3），（3，2）； （2）A点关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），B点关于y轴对称的点的坐标为（5，1）， 故答案为：（﹣3，﹣2），（5，1）； （3）由题意得： △ABC的面积＝3×2﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝， ∴△ABC的面积为． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 题组B 能力提升练 14．将P点（m，m+1）向上平移3个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 【思路点拨】根据上下平移时横坐标不变，纵坐标上移加、下移减，可得点Q（m，m+4），再根据x轴上的点纵坐标为0可得m+4＝0，算出m的值，可得点Q的坐标． 【解析】解：∵P点（m，m+1）向上平移3个单位到Q点， ∴Q（m，m+4）， ∵点Q在x轴上， ∴m+4＝0， 解得：m＝﹣4， ∴点Q点坐标为（﹣4，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（　　） A． B． C．a＜﹣1 D． 【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案． 【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限， 故， 解得：a＜﹣1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题关键． 16．如果点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝4 B．m＝﹣1，n＝﹣4 C．m＝4，n＝1 D．m＝﹣4，n＝﹣1 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解析】解：∵点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，二元一次方程组的解法，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 17．如图，已知点A（﹣2，1），B（a，n）．若将线段AB平移到CD，其中C（1，0），D（4，m），则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【思路点拨】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【解析】解：∵线段CD由线段AB平移得到， 且A（﹣2，1），B（a，n），C（1，0），D（4，m）， ∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键． 18．已知点A、B的坐标分别是（m，2），（1，n），若点A与点B关于y轴对称，则m+n的值为 　1　． 【思路点拨】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【解析】解：∵点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴m+n＝﹣1+2＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键． 19．将点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 　（0，﹣9）　． 【思路点拨】利用平移的性质构建方程即可解决问题即可． 【解析】解：∵点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q， ∴Q（2a+1+3，a﹣5﹣2），即Q（2a+4，a﹣7） ∵点Q恰好落在y轴上， ∴2a+4＝0， 解得a＝﹣2， 将a＝﹣2代入Q（2a+4，a﹣7）得：Q（0，﹣9）， 故答案为：（0，﹣9）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题． 20．在平面直角坐标系中，已知点P（2a+3，3），Q（﹣4，b﹣2），分别根据下列条件，求a，b的值． （1）P，Q两点关于x轴对称； （2）P，Q两点关于y轴对称； （3）直线PQ∥y轴． 【思路点拨】（1）根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得关于a，b的方程，解方程即可 （2）根据关于y轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数可得关于a，b的方程，解方程即可； （3）根据与y轴平行的直线上点的纵坐标不同，横坐标相同可得方程和不等式，解之即可． 【解析】解：（1）∵点P（2a+3，3），Q（﹣4，b﹣2）关于x轴对称， ∴2a+3＝﹣4，b﹣2＝﹣3， 解得a＝，b＝﹣5； 故a＝，b＝﹣5； （2）∵点P（2a+3，3），Q（﹣4，b﹣2）关于y轴对称， ∴2a+3＝4，b﹣2＝3， 解得a＝，b＝25， 故a＝，b＝25； （3）∵直线PQ∥y轴， ∴两个点的横坐标相同，纵坐标不相等， ∴2a+3＝﹣4，b﹣2≠3， 解得a＝﹣3.5，b≠25． 【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 21. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+1，3m+2）． （1）若点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （2）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【思路点拨】（1）因为点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为﹣3，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案． 【解析】解：（1）∵P点在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上， ∴P点的横坐标为﹣3， ∴2m+1＝﹣3， 解得m＝﹣2， ∴2m+1＝﹣3，3m+2＝﹣4， ∴P点坐标为（﹣3，﹣4）； （2）由题意知M的坐标为（2m+1+2，3m+2+3）， ∵M在第三象限，且M到y轴的距离为7， ∴点M的横坐标为﹣7， ∴2m+1+2＝﹣7， 解得m＝﹣5， ∴3m+2+3＝﹣10， ∴点M的坐标为（﹣7，﹣10）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征． 22.如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形DEF； （3）求三角形DEF的面积． 【思路点拨】（1）直接利用P点平移变化规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用三角形DEF所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解析】解：（1）D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）； （2）如图所示：△DEF即为所求作的图形； （3）S△DEF＝5×3﹣×5×1﹣×4×2﹣×1×3 ＝15﹣2.5﹣4﹣1.5 ＝7． 【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 题组C 培优拔尖练 23．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标（1，2），则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【思路点拨】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2024除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可． 【解析】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2024÷4＝506， ∴经过第2024次变换后所得的A点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（1，2）． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣对称，规律型：点的坐标，解题的关键是找出循环的规律及关于坐标轴对称点的坐标特点：关于谁对称谁不变另一个互为相反数． 24．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生 点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为　 　（2，14）　； （2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标； （3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 【思路点拨】（1）根据“a阶派生点”的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据“a阶派生点”的定义，结合点的坐标即可得出结论； （3）判断出P2的坐标，构建方程求出c即可． 【解析】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14， ∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）． 故答案为：（2，14）； （2）设点P的坐标为（a，b）， 由题意可知， 解得：， ∴点P的坐标为（﹣2，1）； （3）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1， ∴P1（c﹣1，2c）， ∴P1的“﹣3阶派生点“P2为：（﹣3（c﹣1）+2c，c﹣1﹣6c），即（﹣c+3，﹣5c﹣1）， ∵P2在坐标轴上， ∴﹣c+3＝0或﹣5c﹣1＝0， ∴c＝3或c＝﹣， ∴﹣c+3＝0或，﹣5c﹣1＝﹣16或0， ∴P2（0，﹣16）或（，0）． 【点睛】本题考查点的坐标，“a阶派生点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 　（1，3）　，若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 　（0，2）　； （2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，求m的值及点D的坐标； （3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接写出点Q的坐标． 【思路点拨】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义列方程求解； （3）根据新定义列方程求解． 【解析】解：（1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为（1，3），若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 （0，2）； 故答案为：（1，3），（0，2）； （2）由题得：m+（﹣1）+2×2＝0， 解得：m＝﹣3， ∴点D的纵坐标为：0+2×1+2×（﹣1）＝0， ∴D（0，0）； （3）（1，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，理解新定义是解题的关键. 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