专题03 正比例函数与反比例函数解答题（考题猜想，5种必考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题03 正比例函数与反比例函数解答题（考题猜想，5种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．函数的图象（共13题） 1．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 2．（2023秋•长宁区校级期末）小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合．已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米．图中的折线反映了爷爷行走的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系． （1）爷爷行走的总路程是　　米，他在途中休息了　　分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟　　米； （2）当时，与的函数关系式是　　； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 3．（2023秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了 　　小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 　　米； （2）请你写出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； （3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？ 4．（2023秋•松江区期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间的函数关系如图所示．请根据图象完成下列问题： （1）兔子在比赛中睡觉的时间为 　　分钟； （2）已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 　　分钟； （3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 5．（2023秋•崇明区期末）甲、乙两人同时从地前往相距5千米的地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程（千米）关于时间（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程（千米）关于时间（分钟）的函数解析式为． （1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象； （2）乙慢跑的速度是每分钟 　　千米； （3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　　千米； （4）甲、乙两人在出发后，中途 　　分钟时相遇． 6．（2023秋•金山区期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小明所走路程（米和所用时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空． （1）小明中途休息用了 　　分钟； （2）小明休息后爬山的平均速度是 　　米分钟； （3）小明休息前所走的路程与时间之间的函数关系式是 　　（无需写出定义域）． 7．（2023秋•黄浦区期末）据医学研究，使用某种抗生素治疗心肌炎，人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时，治疗有效．如果一患者按规定剂量服用这种抗生素，服用后每毫升血液中的含药量（微克）与服用后的时间（小时）之间的函数关系如图所示： （1）如果上午8时服用该药物，到 　　时该药物的浓度达到最大值 　　微克毫升； （2）根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时与之间的函数解析式及定义域是 　　； （3）如果上午8时服用该药物，从 　　时该药物开始有效，有效时间一共是 　　小时． 8．（2023秋•杨浦区期末）某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？　　（填“甲”或“乙” ； （2）甲选手跑到8千米时，用了 　　小时．起跑 　　小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是 　　； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有 　　千米． 9．（2023秋•嘉定区期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式：　 　； （2）甲工程队前4天平均每天修路　 　米，后12天平均每天修路　 　米； （3）该公路的总长度为　 　米． 10．（2022秋•长宁区校级期末）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．轮船先从甲地航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地原路返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），关于的函数图象如图所示． （1）甲乙两地相距 　　千米，轮船在乙地停留了 　　小时； （2）轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为 　　； （3）如果轮船从乙地返回到甲地时的速度为20千米小时，那么点的坐标是 　　． 11．（2023秋•静安区校级期末）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米分钟的速度骑行，两人行驶的路程（米与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）图书馆到小燕家的距离是　　米； （2）　　，　　，　　； （3）妈妈行驶的路程（米关于时间（分钟）的函数解析式是　　；定义域是　　． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． （1）甲、乙两地之间的距离是 　　千米． （2）求慢车和快车的速度． 13．（2023秋•普陀区期末）现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数解析式是．结合图象提供的信息，回答下列问题： （1）甲队摊铺的路面总长是 　　米； （2）在图中画出乙队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数关系的图象； （3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是 　　米； （4）甲队的平均工作效率是每小时 　　米． 二．待定系数法求反比例函数解析式（共8题） 14．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 15．（2023秋•浦东新区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 16．（2023秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 17．（2023秋•崇明区期末）如图，已知正比例函数图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式及的值； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），若的面积为10．求反比例函数的解析式． 18．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 19．（2023秋•嘉定区期末）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求与的函数关系式． 20．（2023秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系内，正比例函数的图象经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图象上． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 21．（2023秋•闵行区校级期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图象经过点． （1）当点的坐标为时（如图，求这个反比例函数的解析式； （2）当点也在反比例函数的图象上，且在点的右侧时（如图，用，的代数式表示点的坐标，并求的值． 三．反比例函数与正比例函数的交点问题（共8题） 22．一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于，两点，轴，垂足为，已知点的坐标为，求： （1）这个正、反比例函数的解析式． （2）的面积． 23．如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为8，求点的坐标． 24．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 25．（2023秋•黄浦区期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）求、两点之间的距离； （3）若点在轴上，且，则点的坐标为 　　．（直接写出答案） 26．（2023秋•嘉定区期末）如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 27．（2022秋•长宁区校级期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中，射线与反比例函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴． （1）当点横坐标为8时，求直线的表达式； （2）联结，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标． 四．反比例函数的应用（共2题） 28．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 29．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 六．反比例函数综合题（共12题） 30．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 31．（2024秋•新宁县期中）如图所示，点在函数图象的第一象限内的分支上． （1）求函数的解析式； （2）在轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求点的坐标． 32．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 33．（2023秋•长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点关于轴的对称点在直线上． （1）求的值： （2）点在射线上，点是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点的坐标． 34．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 35．（2023秋•松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． （1）求的值； （2）点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 36．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 37．（2023秋•金山区期末）如图，直线的图象与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点． （1）求和的值； （2）联结，直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 38．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是长方形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点． （1）求反比例函数的解析式； （2）联结、、，求的面积； （3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是． （1）求反比例函数解析式； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标． 40．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．． （1）求的值； （2）当时，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 41．（2023秋•浦东新区校级期末）已知正比例函数，反比例函数，在同一坐标平面内有公共点，且反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求正比例函数的解析式； （3）如果轴上有一点，轴上有一点，若是等腰三角形，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 正比例函数与反比例函数解答题（考题猜想，5种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．函数的图象（共13题） 1．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　3　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【分析】（1）根据函数图象可以得到小杰去学校时下坡路的长； （2）根据函数图象中的数据可以求得小杰下坡的速度； （3）根据函数图象中的数据可以求得上坡和下坡的速度，从而可以得到小杰回家骑车走这段路的时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 小杰去学校时下坡路长：（千米）， 故答案为：3； （2）小杰下坡的速度为：（千米分钟）， 故答案为：0.6； （3）小杰上坡的速度为：（千米分钟）， 小杰下坡的速度为：0.6千米分钟， 则小杰回家骑车走这段路的时间是：（分钟）， 故答案为：． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2023秋•长宁区校级期末）小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合．已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米．图中的折线反映了爷爷行走的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系． （1）爷爷行走的总路程是　1700　米，他在途中休息了　　分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟　　米； （2）当时，与的函数关系式是　　； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到爷爷行走的总路程、他在途中休息的时间和爷爷休息后行走的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以得到当时，与的函数关系式； （3）根据题意，可以计算出小明到达终点用的时间，然后再加30与55比较大小，即可解答本题， 【解答】解：（1）由图象可得， 爷爷行走的总路程是1700米，他在途中休息了（分钟），爷爷休息后行走的速度是每分钟（米， 故答案为：1700，10，35； （2）当时，设与的函数关系式是， ， 解得，， 即当时，与的函数关系式是， 故答案为：； （3）（分钟）， ， 小明先到达终点，这是爷爷离终点的距离是（米， 答：小明先到达终点，这时爷爷离开山顶还有175米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了 　2　小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 　　米； （2）请你写出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； （3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？ 【分析】（1）通过观察图象作答即可； （2）①②利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法求出乙队在的时段内，与之间的函数关系式；当时，分别令两队的函数值为80，解方程求出对应的值并求其差值即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，乙队开挖到30米时，用了2小时； 开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米， （米， 开挖6小时时，甲队比乙队多挖了10米， 故答案为：2，10． （2）①设为常数，且． 将，代入， 得，解得， 甲队在的时段内，与之间的函数关系式为， 故答案为：． ②设为常数，且． 将，代入， 得，解得， 乙队在的时段内，与之间的函数关系式为． （3），解得， 当河渠长度为80米时，甲需要8小时可以完工． 设乙队在的时段内，与之间的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得，解得， 乙队在的时段内，与之间的函数关系式为． ，解得， 当河渠长度为80米时，乙需要12小时可以完工． （小时）， 如果两段河渠长度都为80米时，甲比乙早4小时完工． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． 4．（2023秋•松江区期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间的函数关系如图所示．请根据图象完成下列问题： （1）兔子在比赛中睡觉的时间为 　6　分钟； （2）已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 　　分钟； （3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【分析】（1）计算点和的横坐标之差即可； （2）利用速度，求出段的速度，再利用时间，求出段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间； （3）根据题意，求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为， 故答案为：6． （2）兔子的速度为，段用时为， 兔子完成比赛共用时， 故答案为：11． （3）由题意可知，乌龟完成比赛用时， 点的坐标为． 当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为，将坐标代入， 得，解得， 乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键． 5．（2023秋•崇明区期末）甲、乙两人同时从地前往相距5千米的地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程（千米）关于时间（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程（千米）关于时间（分钟）的函数解析式为． （1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象； （2）乙慢跑的速度是每分钟 　　千米； （3）甲修车后行驶的速度是每分钟 　　千米； （4）甲、乙两人在出发后，中途 　　分钟时相遇． 【分析】（1）根据所给解析式可知函数过原点，并过点，由这两点即可得出答案． （2）乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程（千米）关于时间（分钟）的函数解析式的斜率； （3）甲修车后行驶路程是，所用时间是，即可求出速度； （4）甲乙相遇，体现在（1）中的图形即是它们的交点，即求出交点得出答案． 【解答】解：（1）所画图形如下所示： （2）乙慢跑的速度即是乙慢跑所行的路程（千米）关于时间（分钟）的函数解析式的斜率， 即为千米分钟； （3）甲修车后行驶，所形路程为， 故甲修车后行驶的速度为：； （4）由甲行驶的路程（千米）关于时间（分钟）的函数图象与乙慢跑所行的路程（千米）关于时间（分钟）的函数图象可知： 在距离地处甲乙相遇，此时乙行驶了分钟， 即甲、乙两人在出发后，中途24分钟时相遇． 故答案为：；；24． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，难度不大，读懂题意是关键，同时注意与图形结合解答问题． 6．（2023秋•金山区期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小明所走路程（米和所用时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空． （1）小明中途休息用了 　5　分钟； （2）小明休息后爬山的平均速度是 　　米分钟； （3）小明休息前所走的路程与时间之间的函数关系式是 　　（无需写出定义域）． 【分析】（1）将图象中点的时间值减去点的时间值即为小明中途休息用了的时间； （2）将休息后所爬山的距离除以爬这段山所用时间即可求出小明休息后爬山的平均速度； （3）利用待定系数法即可求出小明休息前所走的路程与时间之间的函数关系式． 【解答】解：（1）（分钟）， 故答案为：5； （2）（米分钟）， 故答案为：20； （3）设小明休息前所走的路程与时间之间的函数关系式是，其图象过点， 则， 解得， 小明休息前所走的路程与时间之间的函数关系式是， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息，掌握待定系数法是解题的关键． 7．（2023秋•黄浦区期末）据医学研究，使用某种抗生素治疗心肌炎，人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时，治疗有效．如果一患者按规定剂量服用这种抗生素，服用后每毫升血液中的含药量（微克）与服用后的时间（小时）之间的函数关系如图所示： （1）如果上午8时服用该药物，到 　12　时该药物的浓度达到最大值 　　微克毫升； （2）根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时与之间的函数解析式及定义域是 　　； （3）如果上午8时服用该药物，从 　　时该药物开始有效，有效时间一共是 　　小时． 【分析】（1）根据图象，服用药物4小时后到达浓度最大，解答即可； （2）根据图象，当时，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可得解； （3）先根据函数解析式求出时的的值，再由图象可知服药7小时后有效时间结束求解即可． 【解答】解：（1）由图可知，服药4小时后药物浓度达到最大值8， 上午8时服用该药物，时， 所以，到12时该药物的浓度达到最大值8微克毫升； （2）由图象可设函数解析式为， 当时，，将，代入函数解析式，得，， 解得，， 所以，函数解析式为； 故答案为：； （3）当时，， 解得， ， 从上午10时该药物开始有效， 又由图可知，服药7小时后药物有效时间结束， ， 所以，有效时间一共是5小时． 故答案为：（1）12，8；（2）；（3）10，5． 【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，准确获取信息是解题的关键． 8．（2023秋•杨浦区期末）某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？　乙　（填“甲”或“乙” ； （2）甲选手跑到8千米时，用了 　　小时．起跑 　　小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是 　　； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有 　　千米． 【分析】（1）观察图象直接可得答案； （2）观察图象直接可得答案； （3）求出乙的速度，即可得到与之间的函数关系式； （4）由图象知：时，甲用0.5小时跑了2千米，即可得到答案． 【解答】解：（1）由图可知，乙选手先到终点， 故答案为：乙； （2）由图可知，甲选手跑到8千米时，用了0.5小时，起跑1小时后，甲乙两人相遇， 故答案为：0.5，1； （2）由图可得，乙选手的速度为（千米小时）， 与之间的函数关系式是； 故答案为：； （3）由图可知，甲0.5小时距离起点8千米，1小时距离起点10千米， 时，甲用0.5小时跑了（千米）， 时，甲距离起点（千米）， 故答案为：12． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 9．（2023秋•嘉定区期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式：　　； （2）甲工程队前4天平均每天修路　 　米，后12天平均每天修路　 　米； （3）该公路的总长度为　 　米． 【分析】（1）设出正比例函数解析式，把代入可得所求函数解析式； （2）让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数； （3）让甲修路的总路程乙修路的总路程即为公路的总长度． 【解答】解：（1）设， 经过， ， 解得， ， 故答案为；（2分） （2）甲工程队前4天平均每天修路米数为； 当时，， 设当时，甲工程队的函数解析式为， ， 解得， ， 当时，， 后12天平均每天修路米数为． 故答案为90；50（4分） （3）公路的总长度为米，故答案为1800．（2分） 【点评】考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． 10．（2022秋•长宁区校级期末）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．轮船先从甲地航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地原路返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），关于的函数图象如图所示． （1）甲乙两地相距 　60　千米，轮船在乙地停留了 　　小时； （2）轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为 　　； （3）如果轮船从乙地返回到甲地时的速度为20千米小时，那么点的坐标是 　　． 【分析】（1）根据图象即可作答； （2）设轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为，将点代入，即可得出答案； （3）根据点的意义即可作答． 【解答】解：（1）由函数图象可知， 甲乙两地相距60千米， 轮船在乙地停留的时间为（小时）． 故答案为：60；6． （2）设轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为， 将点代入， 即， 解得：， 则关于所用时间的函数关系式为． 故答案为：． （3）（小时）， （小时）， （千米）， 则点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据图象得出正确信息是解题的关键． 11．（2023秋•静安区校级期末）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米分钟的速度骑行，两人行驶的路程（米与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）图书馆到小燕家的距离是　3000　米； （2）　　，　　，　　； （3）妈妈行驶的路程（米关于时间（分钟）的函数解析式是　　；定义域是　　． 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离； （2）根据题意和函数图象中的数据可以得到、、的值； （3）根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程（米关于时间（分钟）的函数解析式以及定义域． 【解答】解：（1）由图象可得， 图书馆到小燕家的距离是3000米， 故答案为：3000； （2）， ， ， 故答案为：10，15，200； （3）妈妈行驶的路程（米关于时间（分钟）的函数解析式是， 当时，， 则，得， 即妈妈行驶的路程（米关于时间（分钟）的函数解析式是，定义域是， 故答案为：，． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． （1）甲、乙两地之间的距离是 　900　千米． （2）求慢车和快车的速度． 【分析】（1）根据快慢车相距即可得到答案； （2）根据慢车内行驶得到速度，结合图象得到4小时两车相遇求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由图象可得，快慢车相距， 故答案为：900； （2）由图象可得，慢车总的走了， 慢车的速度为：， 快车速度是：， 答：慢车速度是，快车速度是； 【点评】本题考查行程问题中的相遇问题，解题的关键是看懂图象． 13．（2023秋•普陀区期末）现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数解析式是．结合图象提供的信息，回答下列问题： （1）甲队摊铺的路面总长是 　100　米； （2）在图中画出乙队摊铺路面的长度（米与摊铺时间（小时）的函数关系的图象； （3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是 　　米； （4）甲队的平均工作效率是每小时 　　米． 【分析】（1）直接由图象信息得出结果； （2）利用描点法画出图象即可； （3）将代入乙队的函数解析式求出的值即可； （4）将甲队摊铺路面的长度除以摊铺时间即可求出甲队的平均工作效率． 【解答】解：（1）由图象可知，甲队摊铺的路面总长是100米， 故答案为：100； （2）当时，； 当时，，画出图象如下： （3）当时，（米， 故答案为：50； （4）甲队的平均工作效率是（米小时）， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取有用信息时解题的关键． 二．待定系数法求反比例函数解析式（共8题） 14．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 【分析】首先根据题意，分别表示出应表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【解答】解：与成正比例，与成反比例， ，． ， ， 当时，；当时，， ，， 解得，． ． 【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数和正比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 15．（2023秋•浦东新区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）首先设，，再根据可得，然后把时，；当时，代入可得关于、的方程组，解出、的值，可得函数解析式； （2）把代入函数解析式可得答案． 【解答】解：（1）与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 当时，；当时，． ， 解得：， 关于的函数解析式为 （2）当时，原式． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握正比例函数和反比例函数解析式的形式． 16．（2023秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【解答】解：（1）是反比例函数的图象上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法已经线段垂直平分线的性质是解题的关键． 17．（2023秋•崇明区期末）如图，已知正比例函数图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式及的值； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），若的面积为10．求反比例函数的解析式． 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，代入的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把代入即可求得的值； （2）由三角形面积求得的长，从而求得点的坐标，进一步利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为， 正比例函数图象经过点， ， ， 正比例函数的解析式为； 把代入解析式得，， ； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），的面积为10， 点的横坐标为4， ，即， 解得， 点的纵坐标为， ， 设反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 18．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 【分析】根据题意设，将，代入，利用待定系数法求出的值；设，将时，代入计算求出的值，即可确定出与的函数解析式；将代入，可求出与的函数解析式，再将代入，即可求出的值． 【解答】解：设， 当时，， ， ， ； 设， 当时，， ， ， ， ，即， 将代入，得． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19．（2023秋•嘉定区期末）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求与的函数关系式． 【分析】根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【解答】解：设， 当时，；当时，， ． 所以． 所以． 【点评】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，难度稍大． 20．（2023秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系内，正比例函数的图象经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图象上． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 【分析】（1）由正比例函数的解析式求得的值得到点的坐标，再利用关于轴对称点的坐标特征得点的坐标，然后利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （2）过点作直线的垂线，垂足为，利用垂线段最短得到此时线段最短，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线的解析式，则解方程组得，，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）正比例函数的图象经过点， ， ， 点与点关于轴对称， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）过点作直线的垂线，垂足为，如图，此时线段最短， 设直线为， 把点代入得， 解得， 直线为， 解方程组得， ，， ，， ，点到的距离为， ． 即当线段最短时，的面积为． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，轴对称的性质等，确定点的位置是解题的关键． 21．（2023秋•闵行区校级期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图象经过点． （1）当点的坐标为时（如图，求这个反比例函数的解析式； （2）当点也在反比例函数的图象上，且在点的右侧时（如图，用，的代数式表示点的坐标，并求的值． 【分析】（1）过作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）过作轴，过作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到，，进而表示出及的长，即可表示出坐标． 【解答】解：（1）过作，交轴于点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 将，代入反比例解析式得：，即， 则反比例解析式为； （2）过作轴，过作， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 则， 由与都在反比例图象上，得到， 整理得：，即， 这里，，， △， ， 在第一象限， ，， 则． 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 三．反比例函数与正比例函数的交点问题（共8题） 22．一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于，两点，轴，垂足为，已知点的坐标为，求： （1）这个正、反比例函数的解析式． （2）的面积． 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为，然后把点的坐标分别代入求出和即可； （2）利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，则，然后根据三角形面积公式，利用的面积进行计算． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为， 把分别代入得，， 解得， 正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为； （2）一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，垂足为， ， 的面积． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 23．如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为8，求点的坐标． 【分析】（1）由，推出，利用待定系数法即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式求出的长，分两种情形求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）把代入得 ， 设反比例函数解析式， 在此图象上， ， 反比例函数解析式为． （2），， ，过作于． 则， ， 设， 则或， 当时，， 当时，， 或． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考常考题型． 24．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 【分析】（1）先依据题意，把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可； （2）依据题意，连接、，分别过，作于，作于，先求出点的坐标，再结合，可得，进而可以计算得解； （3）依据题意，点可能在的上方或下方两种情形，进而分析计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，直线经过点， ． ． ． 反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数解析式为． （2）如图，连接、，分别过，作于，作于． 在反比例函数上， ． ． ， ． ． （3）由题意，作图如下． ①在上方．作于． ， ． ． ． ，， ． ． ，． ． ②当在下方时，作． ， ． ． ，， ． ． ，． ． 综上，或． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25．（2023秋•黄浦区期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）求、两点之间的距离； （3）若点在轴上，且，则点的坐标为 　或　．（直接写出答案） 【分析】（1）设正比例函数解析式为，把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可； （2）把点的坐标代入正比例函数解析式求出，根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）设，根据题意得到，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 的坐标为， 正比例函数图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （2）正比例函数图象经过点， ， 点， 、两点之间的距离； （3）设， ， ， ，即， 解得或8， 或， 故答案为：或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求自变量函数的解析式，反比例函数的对称性，两点间的距离，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 26．（2023秋•嘉定区期末）如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 【分析】（1）因为垂直于轴，垂足的坐标为，所以点的横坐标为2，把其代入正比例函数求出其纵坐标，再用设反比例函数的解析式为，求出的值即可； （2）设的高为，因为的面积为6，所以可求出的值，再分：当点在直线右侧时和当点在直线左侧时求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）当时，，， 设反比例函数的解析式为， 则，， 反比例函数的解析式为； （2）设的高为． ， ，， 当点在直线右侧时，； 当点在直线左侧时，． 【点评】此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题以及用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单． 27．（2022秋•长宁区校级期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中，射线与反比例函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴． （1）当点横坐标为8时，求直线的表达式； （2）联结，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标． 【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得长，根据，可得点坐标，进而求得直线的解析式，与反比例函数的解析式联立，通过解方程组即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）点横坐标为8， 点横坐标为：， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， 直线的解析式为； （2）点的坐标为（其中，轴， 点纵坐标为3． 当时，， ， ， 平分与轴正半轴的夹角， ， 轴， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得或， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用平行轴直线上的点的纵坐标相等得出点的纵坐标，再利用函数值与自变量的关系得出点坐标，利用两线段相等得出点坐标，利用解方程组得出点坐标． 四．反比例函数的应用（共2题） 28．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 【分析】（1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出，从而得出结论； （3）根据和的取值范围得出结论． 【解答】解：（1）根据表中数据可知，， ， 平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午到上午，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米小时）， 骑行速度不超过40千米小时， 骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度的取值范围为． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 29．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为 药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为 （2）结合实际，令中得 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． （3）把代入，得： 把代入，得： 所以这次消毒是有效的． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 五．反比例函数综合题（共12题） 30．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【分析】（1）设点的坐标为，根据列方程组即可得到结论； （2）由（1）知，，得到，设点，求得，根据在直线上，得到，求得（舍去负值），于是得到结论； （3）设与的重合部分的面积值为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设点的坐标为， 由题意得， 解得，， 的值为8； （2）由（1）知，， ， 设点， ， ， ， 在直线上， ， 解得（舍去负值）， ， ，； （3）如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 点在函数的图象上， ， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 31．（2024秋•新宁县期中）如图所示，点在函数图象的第一象限内的分支上． （1）求函数的解析式； （2）在轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求点的坐标． 【分析】（1）将点的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）当是斜边时，列出等式，即可求解；当是斜边或斜边时，同理可解． 【解答】解：（1）将点的坐标代入函数表达式得：， 则函数的表达式为：； （2）设点， 由点、、的坐标得，，，， 当是斜边时， 则， 解得：（舍去）或4， 即点； 当是斜边或斜边时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：，； 综上，点的坐标为：或，． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、函数表达式的求法，分类求解是解题的关键． 32．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）过点作轴于，由直角三角形的性质可求，，利用待定系数法可求解； （2）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点作轴于， ，， ， ，， 点，； 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）如图， 当点在轴上时，且， 又， ，， 点，； 当点在轴上，且， 又， ， 点； 当点在轴上，且， 又， ，， ， 点； 当点在轴上，且， ， ， ， 点； 综上所述：点的坐标为，或或或． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 33．（2023秋•长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点关于轴的对称点在直线上． （1）求的值： （2）点在射线上，点是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点的坐标． 【分析】（1）把代入，得到点的坐标，从而得到点的坐标，代入解出的值； （2）设点的坐标为，连接，作，，过点作直线平行于轴，分别过点，作，垂直于该直线，垂足为，，证明，求出点的坐标，通过，求出点的坐标． 【解答】解：（1）把代入，得， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 把点代入，解得； （2）设点的坐标为，连接，作，，过点作直线平行于轴，分别过点，作，垂直于该直线，垂足为，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ，， 点的坐标为， 轴， ， 即，解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，本题的关键是根据题意画图，通过构造全等研究线段的数量关系，从而求出点的坐标． 34．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）将代入，得，可得，再将点代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点的坐标，可知，过点作于，由题意得，分点在上或的延长线上，分别根据含角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【解答】解：（1）， 点的纵坐标为3， 正比例函数的图象经过点， 当时，， ， 设反比例函数的解析式为， 将点，代入得， 反比例函数的解析式为：； （2）轴于点，设点的坐标为，， 在中，，，由勾股定理得：， ， ， 过点作于， 由题意得， 当点在上时， 则平分， ， ， ，， 当点在延长线上时， 同理可得，， 综上所述：，或，； （3）当时，则，或，， 当时，由得，， ，， 当时， ， 则平分， ，， 综上所述：，或，或，或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 35．（2023秋•松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． （1）求的值； （2）点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 【分析】（1）把代入求得，把代入得到； （2）如图，过作轴于，设，根据勾股定理得到结论； （3）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）正比例函数和反比例函数图象都经过点， ， ， ， ； （2）如图，过作轴于， ，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）点在直线上， 设， ， ， 解得或， 点的坐标为，或，． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键． 36．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特征求出，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）根据等腰三角形的性质分别求出、、，证明，根据相似三角形的性质列式计算求出，得到答案． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为，， ， 反比例函数的解析式为； （2）作轴于，轴于， 设点的坐标为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， 则点的坐标为． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 37．（2023秋•金山区期末）如图，直线的图象与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点． （1）求和的值； （2）联结，直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求出答案； （2）求出直线解析式与双曲线的解析式，然后将其联立解方程组，得点与的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解； （3）设点的坐标为根据，求出的值，即可求出点的坐标． 【解答】解：（1）直线与双曲线相交于， ， ，； （2），， 直线的解析式为，双曲线的解析式为 解方程组， 解得 ，， 则点的坐标为，点的坐标为， 轴， 点的坐标为， ； （3）点在双曲线上 设点的坐标为，， 轴，，， ， 解得或， 点的坐标为或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数的图象的交点与两函数解析式之间的关系． 38．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是长方形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点． （1）求反比例函数的解析式； （2）联结、、，求的面积； （3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可； （2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出； （3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点的坐标为， 点在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）如图1，连接、、， ， 时，， ， 即，，， ， ； （3）存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形，理由如下： 如图2， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【点评】本题属于反比例函数与矩形的综合性问题，主要考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解答本题的关键． 39．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是． （1）求反比例函数解析式； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标． 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）若使是等腰三角形，分，，三种情况讨论分别求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）点是一次函数和反比例函数图象的交点， ， 解得， 即， 把点坐标代入反比例函数得，， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点的坐标为， 若使是等腰三角形，分以下三种情况： ①当时， 由（1）知，， ， 即，； ②当时，作于， ， ， ， ， 即； ③当时， ， ， 即， 解得， 即，， 综上，符合条件的点坐标为，或或，． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键． 40．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．． （1）求的值； （2）当时，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【分析】（1）由，，，推导出，解解答即可得到的值； （2）设，代入反比例函数中即可得到坐标，进而得出解析式； （2）首先利用勾股定理得，当若，则或；若，则，则；若，设点，则，从而解决问题． 【解答】解：（1），，， ， ， ； （2）由（1）得反比例函数的解析式为， ，轴， ， ， 设， ， （负值已舍去）， 点的坐标为，， 设直线的解析式为，将点的坐标，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）， 若为等腰三角形，可分三种情况： ①若，则或； ②若，则，则； ③若，设点，则， 解得：， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，或，或或． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，的几何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 41．（2023秋•浦东新区校级期末）已知正比例函数，反比例函数，在同一坐标平面内有公共点，且反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求正比例函数的解析式； （3）如果轴上有一点，轴上有一点，若是等腰三角形，求点的坐标． 【分析】（1）先求反比例函数的解析式，再将点代入反比例函数的解析式求的值即可； （2）确定点坐标后，将点坐标代入正比例函数的解析式，求函数解析式即可； （3）设，分别求出，，，再根据等腰三角形的边的关系建立方程求出的值即可求点坐标． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 将点代入， ； （2）， ， 将代入， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （3）设， ，，， 当时，，解得或， ，或，； 当时，，解得或， ，或，； 当时，，解得， ； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． $$