期末最后一题几何与函数综合压轴题（考题猜想，5种必考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末最后一题几何与函数综合压轴题（考题猜想，5种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．正比例函数与三角形综合题（共1题） 1．（2022秋•杨浦区期末）如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限． （1）当时，求直线的函数解析式． （2）如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；联结，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，当面积取到最大值时，求的长． 二．反比例函数综合题（共1题） 2．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是长方形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点． （1）求反比例函数的解析式； （2）联结、、，求的面积； （3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 三．全等三角形的判定与性质（共4小题） 3．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，在中，，点在边上，． （1）与之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论． （2）求证：． 4．（2020秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 5．（2023秋•崇明区期末）已知：如图，在中，，，是边上一点（不与点、重合），过且垂直于的直线与过且垂直于的直线相交于点，点是的中点． （1）若为的中点，求证：； （2）若，点为的中点，求的长； （3）若，设，试用的代数式表示的长． 6．如图，中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点（不与、重合），交于．设，． （1）求证：． （2）写出关于的函数关系式，并写出的定义域． （3）写出为何值时，？ 四．勾股定理综合题（共3题） 7．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点． （1）求证：； （2）如果，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化． 8．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　　，边上的高为 　　． 五．三角形综合题（共22小题） 10．（2023秋•普陀区期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图，已知在△中，是△的角平分线，是△的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出△中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点，并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由． 11．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合）．点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点． （1）求证：； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域； （3）当时，直接写出的长． 12．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，，，点为边上的一个动点（不与点、重合），点关于直线的对称点为点，联结、，与边交于点． （1）求的度数； （2）联结，当时，求的长； （3）设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，联结、． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当时，求线段的长． 14．（2023秋•宝山区期末）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，联结，将沿着直线翻折，得到． （1）设，，求与的函数关系式； （2）如果线段与射线有交点，设交点为． ①直接写出的取值范围 　　； ②若是等腰三角形，求的度数． 15．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），联结，作，射线交射线于．设，． （1）求证：； （2）当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； （3）当时，请直接写出的值． 16．（2023秋•虹口区校级期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于． （1）如图2，如果点与点重合，求证：； （2）如图3，如果，求的长； （3）设，，求关于的函数关系式． 17．（2023秋•杨浦区期末）如图，在中，，，点、在线段上． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若点是内任意一点，，设、、，请直接写出，，之间的数量关系． 18．（2023秋•嘉定区期末）如图，中，，，，点是射线上一点（不与点重合），为的垂直平分线，交于点，交射线于点，联结、． （1）求的度数； （2）当点在线段上时，设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果，请直接写出的面积． 19．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，是的中点，是边上一动点，联结，过点作交边于点（点与点、不重合），延长到点，使，联结、，已知，，． （1）求证：； （2）设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 20．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，联结，点是的中点，过点、作直线，交于点，联结、． （1）当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； （2）判断的形状，并给出证明； （2）如果，求的长． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，已知，等边三角形的边长是4，是边上的一个动点（与点、不重合），连接，作的垂直平分线分别与边、交于点、． （1）和的周长之和为 　　； （2）设为，的周长为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当是直角三角形时，求的长． 22．（2023秋•虹口区校级期末）如图，中，，，，点、分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设． （1）如图1，当点与点重合时，求的面积； （2）如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的解析式，并写出定义域； （3）若为直角三角形，求的值． 23．（2023秋•静安区校级期末）如图，△中，，，．点是射线上一点（不与点重合），为的垂直平分线，交于点，交射线于点，联结、． （1）求的度数； （2）当点在线段上时，设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果，请直接写出的长． 24．（2022秋•青浦区校级期末）已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），联结并延长交边于点，联结． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，当时，求证：； （3）若是等腰三角形，求的长． 25．（2023秋•闵行区期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． （1）如图1，当，时，求的长； （2）如图2，当在边上时，求证：； （3）如图3，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 26．（2023秋•长宁区校级期末）已知在中，，点在边上，联结． （1）如图1，如果点在线段的垂直平分线上，求证：； （2）过点作，交边于点， ①如图2，如果点是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　　． 27．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． （1）求的长； （2）若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 28．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，中，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的长． （2）如图2，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域． （3）连接，若是直角三角形，直接写出的长． 七．四边形综合题（共2小题） 29．（2023秋•松江区期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． （1）如图1，点是的中点，，如果，求的长； （2）已知， ①如图2，联结，求证：平分； ②如图3，延长至点，联结交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 30．（2022秋•徐汇区校级期末）已知四边形是边长为3的正方形，点在边所在的直线上，联结，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），联结． （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长； （2）如图2，当点在线段上时，； ①求点到的距离； ②求的长； （3）若，求的长． 31．（2023秋•静安区校级期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知△中，，将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，联结． （1）求证； （2）点在边上（且不与点、重合），联结，过作，交射线于点，联结，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出与的函数解析式，并写出定义域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$期末最后一题几何与函数综合压轴题（考题猜想，5种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．正比例函数与三角形综合题（共1题） 1．（2022秋•杨浦区期末）如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限． （1）当时，求直线的函数解析式． （2）如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；联结，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，当面积取到最大值时，求的长． 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，可得，，设，即，，则，利用待定系数法即可求解． （2）①过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论． ②过点作于点，过点作于点，证明，，利用三角形的面积公式得，，即可得，由得，可得当为的边上的高时，最大，即可得的长为． 【解答】解：（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据 轴，轴， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，直线解析式为， 设，即，， ，， 点在第四象限， ， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 故直线解析式为； （2）①，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点、的纵坐标相等， 轴，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当为的边上的高时，最大， 当面积取到最大值时，的长为． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．反比例函数综合题（共1题） 2．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是长方形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点． （1）求反比例函数的解析式； （2）联结、、，求的面积； （3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可； （2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出； （3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点的坐标为， 点在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）如图1，连接、、， ， 时，， ， 即，，， ， ； （3）存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形，理由如下： 如图2， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【点评】本题属于反比例函数与矩形的综合性问题，主要考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解答本题的关键． 三．全等三角形的判定与性质（共4题） 3．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，在中，，点在边上，． （1）与之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论． （2）求证：． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）由“”可证，可得． 【解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至，使， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2020秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 【分析】（1）通过全等三角形的对应边相等证得； （2）根据和斜边上中线的性质来证明； （3）求出的长是4，在中，，根据勾股定理求出，即可求出． 【解答】解：（1）证明：，， ， 为边上的中线， ，， ， ， 即， ， ，， ， 在和中， ， ； （2），为的中点， ， ，为的中点， ， ； （3），是边上的中线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上1的中线性质以及勾股定理等知识的综合运用，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 5．（2023秋•崇明区期末）已知：如图，在中，，，是边上一点（不与点、重合），过且垂直于的直线与过且垂直于的直线相交于点，点是的中点． （1）若为的中点，求证：； （2）若，点为的中点，求的长； （3）若，设，试用的代数式表示的长． 【分析】（1）连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，再利用等腰三角形的三线合一性质，得垂直； （2）过点作，交延长线于点，倒角证相似，从而得比例式求解； （3）由（2）的相似三角形得比例式，用含的式子表示相关线段，仿照（2）列比例式及用勾股定理可解． 【解答】解：（1）证明：连接，， 过且垂直于的直线与过且垂直于的直线相交于点，点是的中点． 在和在中，，， ， 又为的中点， ． （2）过点作，交延长线于点， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ，点为的中点， ， ， ，， ， 又， ， ，即， ， ， 在中，， 又， 在中，． 答：的长为． （3）由（2）知，，， ，， ， ， ，从而， ， ， ． 答：的长为． 【点评】本题综合考查了三角形的相关知识，如直角三角形的斜边中线性质，等腰三角形的三线合一，相似的判定，勾股定理等，难度中等偏上． 6．如图，中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点（不与、重合），交于．设，． （1）求证：． （2）写出关于的函数关系式，并写出的定义域． （3）写出为何值时，？ 【分析】（1）过作交于，交于．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到关于的函数关系式，以及的定义域； （3）连接，根据三角形中位线的性质可得为1时，． 【解答】解：（1）过作交于，交于． ，点是边的中点， ，，，， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）， ， ，即， 是边上的一个动点（不与、重合）， ； （3）连接，当与重合时，， 此时， 当时，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键． 四．勾股定理综合题（共3题） 7．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点． （1）求证：； （2）如果，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化． 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据，可得，根据勾股定理又可得出用表示的形式，换成等式即可得出与的函数解析式； （3）根据（1）可知，，，易得出，，即是定值，又知，即可证明是定值，即可得出结论． 【解答】（1）证明：在中，，是的中点， ． 同理， ． （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ，， 在中，， ， ， ，， ， （3）不变． 是斜边的中点，，． ， 是斜边的中点， 同理可得：， ， 即， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键． 8．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立； （2）①根据可以证明结论成立； ②根据，代入字母计算即可证明结论成立． 【解答】证明：（1），于点， ，， ； （2）①于点，于点， ， 由（1）知：， 在和中， ， ， ； ②由图可知： ， ， 化简，得：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　6　，边上的高为 　　． 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设边上的高为，则： ， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：6，． 【点评】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 五．三角形综合题（共22题） 10．（2023秋•普陀区期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图，已知在△中，是△的角平分线，是△的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出△中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点，并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据平分和推出，由是△的中线得出，则可得出与的倍数关系； （2）根据三角形边的大小关系推出当△是直角三角形时只能是，然后根据与的倍数关系推出的度数，易得的度数； （3）由题意知点在线段的垂直平分线上，画出图形即可． 【解答】解：（1）， 证明：是△ 的角平分线， ， ， ， ， ， ， 是△的中线， ， ， ； （2）可以是直角三角形， 证明： ①当时， 是△ 的角平分线， ②当时， ， ， ， 是△ 的角平分线， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）存在， 作图如下： 作法提示：①分别以和为圆心，长度为半径画圆，连接两圆交点，交于点，则为中点， ②以为圆心，为半径画圆，交以为圆心，为半径的圆于一点，该点即为点； 理由：为中点， 是△的中线， ，是的角平分线， 根据等腰三角形三线合一可得， 由作图可知， △为“线垂”等腰三角形． 真命题：△为等腰三角形的中线是腰上的中线． 【点评】本题是三角形综合题，考查了新定义“线垂”三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合）．点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点． （1）求证：； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域； （3）当时，直接写出的长． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关系式，得到答案； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据（2）的结论，勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ，即， 整理得，； （3）解：当点在线段上时，，即， ， 解得，，即， 当点在线段的延长线上时，如图2，连接，， 由（1）得，， ， ，即， 解得，， 综上所述，当时，的长为或． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，，，点为边上的一个动点（不与点、重合），点关于直线的对称点为点，联结、，与边交于点． （1）求的度数； （2）联结，当时，求的长； （3）设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）求出，由直角三角形的性质得出．由勾股定理可得出答案； （3）过点作于点，证明为等边三角形，由勾定理得出，则可得出答案． 【解答】解：（1），，， ，， ， ， ， ； （2）点关于直线的对称点为点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． ； （3）过点作于点， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 关于的函数解析式为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，联结、． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当时，求线段的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点作于，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，则，设，求出的值可得出答案． 【解答】（1）证明：，，， ，，， ，， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，过点，是的垂直平分线， ，， 如图，过点， ， ，分别在，上， ， 过点作于， ，，则， ，， 同理， ， ， ， ． （3）当时，同理，， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键． 14．（2023秋•宝山区期末）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，联结，将沿着直线翻折，得到． （1）设，，求与的函数关系式； （2）如果线段与射线有交点，设交点为． ①直接写出的取值范围 　　； ②若是等腰三角形，求的度数． 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解； （2）①求出与的交点为时，的值，即可求解； ②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）如图，过点作于， ， ， ， ； （2）①如图：当点落在上时， 将沿着直线翻折， ，，， ， ， ，， 当时，线段与射线有交点， 故答案为：； ②当时，， ， ； 当时，， ， 当时，不合题意舍去， 综上所述：的度数为或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 15．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），联结，作，射线交射线于．设，． （1）求证：； （2）当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； （3）当时，请直接写出的值． 【分析】（1）证明，即可求解； （2）在等腰直角三角形中，，则，即可求解； （3）当时，则是的角平分线，得到，即可求解． 【解答】（1）证明：为等腰直角三角形，则，， 设，如图， 则， 则， 而， 则； （2）解：过点分别作于点，作于点， 则， 在等腰直角三角形中，， 则， 则， 则； （3）当时， 则是的角平分线，则， 则， 解得：， 则． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到等腰直角三角形的性质、面积的计算、角平分线的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 16．（2023秋•虹口区校级期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于． （1）如图2，如果点与点重合，求证：； （2）如图3，如果，求的长； （3）设，，求关于的函数关系式． 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，，，可证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）由直角三角形的性质可求的长，由等腰直角三角形的性质可得； （3）由勾股定理列出等式可求解． 【解答】（1）证明：，，， ，，， 是的中点，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 点与点重合， ； （2）解：如图3，过点作于， 是等边三角形， ， ， ， ， ，，， ； （3）如图1，过点作于， ，， ，， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17．（2023秋•杨浦区期末）如图，在中，，，点、在线段上． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若点是内任意一点，，设、、，请直接写出，，之间的数量关系． 【分析】（1）由得，由得，则，得，即可转化为； （2）将绕点沿逆时针方向旋转得到，联结，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）将绕点沿逆时针方向旋转得到，联结，则，，，所以，再证明，则，可证得，即． 【解答】（1）证明：如图1，， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图2，将绕点沿逆时针方向旋转得到，联结， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 理由如下： 如图3，将绕点沿逆时针方向旋转得到，联结， 由旋转得，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，根据旋转的性质作辅助线是解题的关键． 18．（2023秋•嘉定区期末）如图，中，，，，点是射线上一点（不与点重合），为的垂直平分线，交于点，交射线于点，联结、． （1）求的度数； （2）当点在线段上时，设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果，请直接写出的面积． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再由即可得出答案； （2）作，垂足为点．由直角三角形角所对边等于斜边一半知，，根据勾股定理知，继而由可得答案． （3）点在线段上时，由知，代入（2）中所得解析式计算即可得；当点在射线上时，作，根据已知条件得出，，，利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：（1）在中， ，，， ，， ． ． 又，， ， ． （2）过点作，垂足为点． 在中，，， ， 同理，． 在中，，即， ， 又， ． ， ， ，； （3）当点在线段上时，由知， 由（2）知此时的面积为； 当点在射线上时，如图，过点作于点， ，， ， 则， ， ， 则的面积为． 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 19．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，是的中点，是边上一动点，联结，过点作交边于点（点与点、不重合），延长到点，使，联结、，已知，，． （1）求证：； （2）设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，由是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到方程，即可得到结论 （3）①当时，，列方程得到；②当时，连接，过点作，垂足为点，可得，根据勾股定理得方程，求得，于是得到求得． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， 是直角三角形，且， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：； （2）连接， ，， ， ， 由勾股定理，得， ， ， ，， ， ， 由勾股定理，得， ，， ， ， ，自变量的取值范围：； （3）①当时，，， ， ， 即； ②当时，连接，过点作，垂足为点， 可得， ，是的中点，， ，，， ， ， 由勾股定理，得， 在中，可得， 解得：， 解得，即， 综上所述，的长度是，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，联结，点是的中点，过点、作直线，交于点，联结、． （1）当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； （2）判断的形状，并给出证明； （2）如果，求的长． 【分析】（1）先证为等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案； （2）由题意得，再由点是的中点知，，则，，，可推出，据此可得答案； （3）分点在线段上和线段延长线上两种情况，分别求出、的长，即可得出答案． 【解答】解：（1），， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ； （2），， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）如图1，当点在线段上时，，， ， ， ，即， ， 又， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，， 同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【点评】本题主要是三角形的综合问题，主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含直角三角形的性质是解题的关键． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，已知，等边三角形的边长是4，是边上的一个动点（与点、不重合），连接，作的垂直平分线分别与边、交于点、． （1）和的周长之和为 　12　； （2）设为，的周长为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当是直角三角形时，求的长． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，，然后得出的周长的周长，即可求解； （2）求出的周长，得出，再由，且，得出； （3）分两种情况，①时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可； ②时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可． 【解答】解：（1）等边三角形的边长是4， ， 是的垂直平分线， ，， 的周长的周长， 故答案为：12； （2），， ， ， 的周长， ， 即关于的函数解析式为， ， ， 又， ； （3）是等边三角形， ， 分两种情况： ①当时，如图1所示： 则， ， ， ， ， 解得：， 即； ②当时，如图2所示： 则， ， ， ， ， 解得：， 即； 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质以及三角形周长的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证出，是解题的关键，属于中考常考题型． 22．（2023秋•虹口区校级期末）如图，中，，，，点、分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设． （1）如图1，当点与点重合时，求的面积； （2）如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的解析式，并写出定义域； （3）若为直角三角形，求的值． 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，，再由勾股定理得，然后由得，则，求出的范围即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在的延长线上， 点不与点重合， ， 点是边上的一个动点，， ， ， 即关于的解析式为； （3）分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，的值为或4． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 23．（2023秋•静安区校级期末）如图，△中，，，．点是射线上一点（不与点重合），为的垂直平分线，交于点，交射线于点，联结、． （1）求的度数； （2）当点在线段上时，设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果，请直接写出的长． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△是直角三角形，再由即可得出答案； （1）作，垂足为点．由直角三角形角所对边等于斜边一半知，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当点在线段上时，当点在射线上时，作，根据三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：（1）在△中， ，，， ，， ． ． 又，， ， ， ； （2）过点作，垂足为点． 在△中，，， ， 同理，． 为的垂直平分线， ， ， ， 即； （3）当点在线段上时，由， 解得或， 的长为或， 当点在射线上时，如图，过点作于点， 在△中，，， ， 同理，． 为的垂直平分线， ， ， ， 即， 解得（负值舍去）， 答：如果，的长为或或． 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 24．（2022秋•青浦区校级期末）已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），联结并延长交边于点，联结． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，当时，求证：； （3）若是等腰三角形，求的长． 【分析】（1）证明是等边三角形，求出，，可得结论； （2）证明，，可得结论； （3）分三种情形：，，，分别求解即可． 【解答】（1）解：如图①中， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②中， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中， 当时，过点作于点．则， ， ， ， ，， ． 当时，过点作于点． ，， ， ． 当时，不符合题意，这种情形不存在． 综上所述，的值为或． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．（2023秋•闵行区期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． （1）如图1，当，时，求的长； （2）如图2，当在边上时，求证：； （3）如图3，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由四边形内角和定理得，则，润滑油含角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）过作于点，于点，证，得，，再证，得，则，即可解决问题； （3）过作于点，同（2）得，，，则，再由勾股定理得，然后由，得，即可解决问题． 【解答】（1）解：是等边三角形， ，， 点是等边边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为1； （2）证明：如图2，过作于点，于点， 则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图3，过作于点， 同（2）得：，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 即关于的函数关系式为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 26．（2023秋•长宁区校级期末）已知在中，，点在边上，联结． （1）如图1，如果点在线段的垂直平分线上，求证：； （2）过点作，交边于点， ①如图2，如果点是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　或　． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，、时，、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【解答】（1）证明：点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：①如图2，取的中点，连接， 则，， ， ， ， ，， ， ， ，点是线段的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即的度数为； ②，，， ， 分两种情况： 、如图3，时， 由（1）可知，， 过点作于点， 则， ， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ； 、如图4，时，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 27．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． （1）求的长； （2）若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长； （2）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围； （3）由动点在射线上运动得到，同（2）方法求出，进而得到，解方程即可求解． 【解答】解：（1），，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 点为的中线， ； （2）动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，若动点在线段上运动，如图，过点作于，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 动点在线段上运动， ， 的取值范围为， 故； （3）动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动， 动点在射线上运动时，， ， ， 由整理得，， 即， 解得． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键． 28．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，中，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的长． （2）如图2，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域． （3）连接，若是直角三角形，直接写出的长． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明等边三角形，求出，可得，根据，得出，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案； （3）分为两种情况：①为直角顶点时．②为直角顶点时，分别构建方程求解即可． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2），， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 角的两边分别与的边、交于点、， 过作于，最后只能到点， 此时是3， 函数的定义域（即的取值范围）是：； （3）如图1中，当时， ，，， ， ， ， ， 解得：， 即； 当时，（如图， ， ， 解得：， 即； 综上所述：或． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 29．（2023秋•松江区期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． （1）如图1，点是的中点，，如果，求的长； （2）已知， ①如图2，联结，求证：平分； ②如图3，延长至点，联结交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）①过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论． 【解答】（1）解：连接，如图， ，， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 答：的长为3． （2）①证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， ， 平分； ②解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 由（2）知：四边形为正方形， ，． ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．（2022秋•徐汇区校级期末）已知四边形是边长为3的正方形，点在边所在的直线上，联结，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），联结． （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长； （2）如图2，当点在线段上时，； ①求点到的距离； ②求的长； （3）若，求的长． 【分析】（1）作于，由证明，得出，，求出，由勾股定理即可得出答案； （2）过作交的延长线于点，作于，则，，①同（1）得：，得出，即可； ②求出，，由勾股定理即可得出答案； （3）分三种情况：①当点在边的左侧时，过作交的延长线于点，交于，同（1）得：，得出，，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在边的右侧时，过作交的延长线于点，交延长线于，同理得的长； ③当点在上时，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）作于，如图1所示： 则， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）过作交的延长线于点，作于，如图2所示： 则，， ①，， ， 同（1）得：， ，， 即点到的距离为2； ②，， ； （3）分三种情况： ①当点在边的左侧时，过作交于点，交于．如图3所示： 同（1）得：， ，， ， 在中，， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； ②当点在边的右侧时，过作交的延长线于点，交延长线于，如图4所示： 同（1）得：， ，， ， 在中，， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． ③当点在上时，可得：， 解得或， 不符合题意． 综上所述：的长为2或7． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 31．（2023秋•静安区校级期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知△中，，将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，联结． （1）求证； （2）点在边上（且不与点、重合），联结，过作，交射线于点，联结，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出与的函数解析式，并写出定义域． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长至，使，连接，证明△△，再由三线合一的性质推导出△是等腰三角形，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在△中，，整理得到，根据题意可知在上，则． 【解答】（1）证明：由旋转可知，，， ， ， ； （2）解：小明的发现是正确的，理由如下： 延长至，使，连接， ， ， △△， ， ，， △是等腰三角形， ， ， ，即； （3）解：， ， 在△中，， ， ， 在△中，，即， ， 整理得，， 连接，当点与点重合时，， 解得， ． 【点评】本题考查几何变换的综合，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． $$