5.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

5.4 函数的图象与性质 课程标准 学习目标 结合具体实例, 了解 的实际意义; 能借助图象理解参数 的意义, 了解参数的变化对函数图象的影响。 （1）理解函数中，，对函数的影响; （2） 掌握函数的图象变换.（难点) 知识点01 函数中，，对函数的影响 1 简谐运动可用函数，表示， 是振幅，周期，频率 ，相位，初相. 2 对的影响 影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置. 知识点02 三角函数的变换 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 【即学即练】 将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件先求出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对称轴即可. 【详解】将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到函数的图像， 再将图像向右平移个单位长度， 得到， 其图像的对称轴满足， 即， 令时，有， 故选：C. 【题型一：三角函数图象的平移变换】 例1． 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，， 因为函数关于原点对称，所以， 则，,得，且， 所以. 故选：D 变式1-1．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数平移规则“左加右减”，结合诱导公式可解. 【详解】图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数. 故选：A 变式1-2．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用“左加右减，上加下减”的平移规律易得. 【详解】由，将向右平移个单位即可得到. 故选：D. 变式1-3．若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案. 【详解】函数向左平移个单位后为， 当时，， ∵单调递增， 所以，即， 可得， 又，∴. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 平移变换：左加右减、上加下减； 2 在左右平移时，要注意是对进行加减；向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 【题型二：三角函数图象的伸缩变换】 例2．（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过往回倒推，将函数的图象,向左平移个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式，利用诱导公式一一对照化简即可. 【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度, 得到的图象, 再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到 的图象, 最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到的图象. 而 . 故选：BD. 变式2-1．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 变式2-2．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的倍，再把纵坐标伸长到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果. 【详解】将上所有点的纵坐标缩短到原来的倍， 得到，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 纵坐标不变，得到， 将上所有点向左平移个单位， 得到， 故选：C. 【方法技巧与总结】 伸缩变换： ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 【题型三：由函数的部分图象求解析式】 例3．（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．该图像向右平移个单位长度可得的图象 B．函数的图像关于点对称 C．函数的图像关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项.利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项； 【详解】由图象知，，函数的周期，则，则，由得，而，则，因此.对于A，函数图象向右平移个单位长度，得，即的图象，故A正确， 对于B，，则的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，则函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，当，即时，取得最小值，所以函数在上不单调，故D错误. 故选:ABC. 变式3-1．（多选）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．则（    ） A． B． C．的一个对称中心是 D．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】A选项，根据图象求出的最小正周期为，从而得到方程，求出；B选项，由图象可知，，故，将代入求出，得到B正确；C选项，根据平移和伸缩变换得到，计算出，得到C正确；D选项，转化为，求出， 画出在的图象，数形结合得到. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，解得，A正确； B选项，由图象可知，，故， 将代入得，， 又，故，解得， 所以，B错误； C选项，， ，的一个对称中心是，C正确； D选项，，其中， ，， 画出在的图象如下： 要想上有两个不相等的实数根，则的取值范围是， 则实数的取值范围为，D错误. 故选：AC     变式3-2．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的零点； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果； （2）令解方程即可得和； （3）由平移规则可得，再根据正弦函数单调性即可得出其值域. 【详解】（1）由根据图象可知，解得； 设函数的最小正周期为，由图可知，即可得， 解得； 代入，可得，即； 又，所以； 因此的解析式为； （2）令可得， 所以或， 解得或； 所以的零点为和； （3）由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 【方法技巧与总结】 由函数()的部分图象求解析式的方法 (1) 求：通过函数最值求解，得； (2) 求：根据图象求出周期，再利用求出； (3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出. 【题型四：求参数的取值范围】 例4．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的伸缩可得函数解析式，再利用整体法判断零点及单调性情况，可得不等式，解不等式即可得解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 设， 当时，， 由函数在上恰有两个零点， 则，解得， 又当，， 则，， 函数在上单调递增， 所以，解得， 综上所述， 故选：C. 变式4-1．将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解. 【详解】由题意可得 ，∴，，解得，， 又，∴当时，取得最小值为5． 故选：D. 变式4-2．已知函数的图像向左平移后得到的图像关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象向左平移后得到，然后由函数的图象关于对称，确定的关系，再根据在上具有单调性，由即可求解. 【详解】把函数的图象向左平移后得到， 因为的图象关于对称，所以，即， 因为在上具有单调性，且的对称中心为 所以，且，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 变式4-3．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解. 【详解】由，且， 所以， 由题意可得或， 解得或 ， 因为， 所以或者， 故选：D 【方法技巧与总结】 求参数的取值范围，多利用题中信息进行数形结合找到解题切入口，注意端点；有时可确定的关系，利用整数的特点确定的范围从而得到的取值范围. 【题型五：三角函数图象的综合应用】 例5．已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出，得到最小正周期，求出，再将代入，求出，得到解析式，再代值计算即可. 【详解】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得， 所以. 因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得， 所以，所以. 故选：D. 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据图象可得及，根据余弦函数图象性质求出ω，φ的值，确定f(x)解析式，再根据为偶函数时，即可求解． 【详解】由图可知，则， 所以， 又，， 又由图可知， 根据五点法作图原理，得，解得， 从而， 的图象关于轴对称，为偶函数， ，∴ ，所以． 故选：D. 变式5-2．函数的部分图象如图所示，已知，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据图象求出，由及得，从而求得. 【详解】由函数的部分图象， 可得A＝2，，所以ω＝2. 再根据五点法作图，可得，所以， 所以，故的周期为π. 因为，且， 故为函数的零点，故，，即， 则， 故选：D. 变式5-3．已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图像，将方程6个不同的实数根转化为有4个不同的实根，有2个不同的实根，即可得出结果. 【详解】当时，可知，当时，可知，所以根据正弦函数的单调性可得大致图象如图所示， 由方程与方程共有6个实数根,可知有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以， 解得. 故选:C. 变式5-4．已知函数(其中)的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三角形性质求出点坐标，结合周期可得，将点坐标代入解析式可求得，然后可解. 【详解】过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 因为是边长为2的正三角形，， 所以，， 所以，， 由题知，所以，所以， 将代入解析式得， 所以，， 所以， 所以. 故选：D 变式5-5．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    【答案】 【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 【题型六：三角函数综合】 例6.1．（多选）已知函数在上单调，且，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象 C．的值不可能是整数 D．在上仅有两个零点 【答案】ACD 【分析】根据条件求出的范围，然后利用三角函数的知识逐一判断即可. 【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，A正确； 因为在（，）上单调，所以≥ =，即≥，所以， 因为，又<ω+≤，得ω+>π，所以， 因为f（x）在（，）上单调，所以函数在（ω+，ω+）上单调， 因为<ω+≤，<ω+≤，所以ω+≤，即， 综上，，C正确. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象， 若，则，即， 又，所以不存在ω，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象，B错误. 由，得ωx+∈（，πω+），因为，得<πω+≤， 由，可得πω+=π或πω+=2π，即f（x）在上仅有两个零点，D正确 故选：ACD 例6.2．已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到的曲线对应的函数记作，若函数 在内恰有2015个零点，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象提供的信息依次确定的值，求得，再把看成整体角，结合正弦函数的图象即可求出其递增区间； （2）令，取，得易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，再分情况讨论求出的值. 【详解】（1）由函数解析式和图象易得， 最小正周期，则， 由，则有，，解得，， 又，则得，故， 由，，可得，， 故函数的单调递增区间为：，. （2）由题意得， 令，可得，令， 得，易知，方程必有两个不同的实数根、， 由，则、异号， ①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去； ②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当且，且时，，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有2013个根， 由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，因此，不合题意，舍去； ④当时，则，当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有2013个根， 由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，此时，满足题意； 因此，，，得   综上，，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是结合韦达定理，再对进行合理分类讨论即可. 变式6-1．已知函数的图象如图，点，在的图象上，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若四边形为平行四边形，且面积为，则 ， . 【答案】 3 【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，将代入解析式即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形可知， ，设，则， 所以，所以， 解得，则， 将点代入得，， 即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以， 故 . 故答案为：3；. 变式6-2．（多选）函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题利用函数的奇偶性，先判断函数的对称性，再利用函数的单调性去解决问题. 【详解】由为奇函数得关于对称，为偶函数得关于对称，所以函数为周期为4的周期函数，且函数为偶函数 因为时，函数，可知函数在上单调递减； 对于A：，故A错； 对于B：由上可知，因为，所以，因函数在上单调递减，所以故B对； 对于CD选项我们需要先证明. 证明如下：，所以， ，所以， 故知. 由在上单调递增，可得，即证. 对于C： 函数在上单调递减，由函数为偶函数，可知函数在上单调递增，所以函数在不单调，因恒成立，可知C错. 对于D：由恒成立，可知，可知D正确. 故选：BD. 变式6-3．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是 ． ①函数是周期函数；                 ②函数的值域是； ③函数的图象关于对称；      ④方程只有一个实数根； 【答案】②④ 【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解. 【详解】由题得函数的定义域为, ， 所以函数为偶函数， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的图象如图所示， 所以函数的图象如图所示， 由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确； 所以函数的值域是，故选项②正确； 由， 所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确； 对于方程， 当时，，方程有一个实数根； 当时，，此时，此时方程没有实数根； 当时，，此时，此时方程没有实数根； 故方程只有一个实数根，故选项D正确. 故答案为：②④. 变式6-4．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的单调性与周期性,可得，所以在同一个周期内，由，取其中点值，即可得图象的一条对称轴； （2）由，可得，又为正整数，所以，2，3，再分三种情况讨论，结合在处取得最值，即可求解. 【详解】（1）因为函数在区间单调， ， 在同一个周期内， ， 图像的一条对称轴为 （2）由（1）知，，即， 又为正整数，所以，2，3， 由（1）知，在处取得最值， 所以，，即，． 当时，，，由，知，所以， 所以，不符合题意； 当时，，， 由，知，所以， 所以，符合题意； 当时，，， 由，，所以， 所以，不符合题意， 综上所述，. 变式6-5．定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为． （1）求出此函数的解析式； （2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由; （3）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值. 【答案】（1）；（2）存在，见解析；（3）最小值为 【分析】（1）利用最大值和最小值可确定，又，可求得；根据，结合的范围可求得，从而得到解析式；（2）首先保证原式有意义可得到；根据二次函数性质可确定，；由函数在上递增可确定，解不等式求得结果；（3）根据三角函数伸缩和平移变化得到和；由复合函数单调性可确定当取最大值时，需与同时取得，从而求得，根据确定最小值. 【详解】（1）， ，         ， 解得：，，又     （2）满足，解得：      同理 由（1）知函数在上递增 若有 只需要：，即成立即可 存在，使成立 （3）由题意知：， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有函数的最大值为 由得：， 则        ， 又    的最小值为 【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数中的能成立问题的求解、根据函数最值求解参数值的问题；本题利用最值求解参数的关键是能够通过复合函数单调性确定取得最值时与的值，进而利用三角函数的知识求得结果，属于难题. 一、单选题 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 2. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（    ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】B 【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象 先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错； 也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确. 故选：B. 3.已知函数的最小正周期为．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可． 【详解】 函数的最小正周期为， ，得，则， 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称， 则， 图象关于轴对称， ， 则，， 当时，，当时，， 故选：B． 4.直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到或，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得到， 所以或， 又直线被函数的图象所截得线段的最小值为， 显然最小值在一个周期内取到，不妨取，得到或， 所以，解得， 故选：B. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的图象变换规律求得函数平移后解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的最小值． 【详解】将的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为， 因为其图象关于对称，故，， 解得，，又，故当时，取得最小值. 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故为非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A 7.已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 8.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 二、多选题 9． 下列能产生的图象的变换是（    ） A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位； D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位． 【答案】AD 【分析】根据三角函数图象平移规律逐项判断可得答案. 【详解】对于A：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得函数的图象，故A正确； 对于B：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得函数的图象，故B错误； 对于C：函数的图象沿轴向左平移3个单位， 得函数的图象，故C错误； 对于D：根据诱导公式函数的图象沿轴向右平移3个单位，得函数的图象，故D正确． 故选：AD. 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则函数的对称中心为 C．若函数在内单调递增，则的取值范围为 D．若函数在内没有最值，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】借助图象可得的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由题意可知，，由，可得， 因为，所以，故选项A正确； 对B：若，则，令，则， 所以函数的对称中心为，故选项B不正确； 对C：因为，令， 得，根据的部分图象可知， 所以，即，因为，所以，故选项C正确； 对D：由选项C可知，，在上单调递增． 因为在内没有最值，所以,又，可得， 故选项D正确. 故选：ACD． 11.已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C．图象的对称中心为 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】BD 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质判断；对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：得； 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以， 所以，故A错误； 对B，向右平移个单位后得 ， 为奇函数，故B正确； 对于C，， 令（）得（）， 所以对称中心，，故C不正确； 对于D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有6个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第7个根为，，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．若时，曲线与的交点个数为 ． 【答案】8 【分析】作出函数与的图象，即可得出答案． 【详解】作出函数与的图象： 所以曲线与的交点有8个． 故答案为：8． 13.函数在区间上有两个零点，则 【答案】 【分析】利用换元法简化三角函数解析式然后根据余弦函数对称性得到，最后根据同角三角函数基本关系和诱导公式即可. 【详解】令，则函数在区间上有两个零点等价于： 函数在区间上有两个零点， 所以，所以由余弦函数图象情况可知， 且，， 所以， 所以， 故答案为：. 14.已知函数，的值域是，若，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】要取最小值，则周期要最大，则要最小，求出，求出的最小值. 【详解】先证下面的结论： 若在上的值域为， 则当时，有最小值， 显然，记， 两边平方得：， 则 ， 当，即，，时取等号， 此时有最小值，且，得证， 要取最小值，则周期要最大， 要最小，又， 故，， 当时，相减得， 当时，相减得， 故的最小值是1． 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像平移可得； （2）将方程在区间上恰有两个实数根，转化为函数在区间 的图像与函数的图像有两个交点，利用函数图像可确定实数的取值范围. 【详解】（1）函数，由图象向右平移可得， 所以函数的解析为：. （2）函数，当时， ， 函数的图像如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根， 等价于函数在区间的图像与函数的图像有两个交点， 由图可知：， 故实数的取值范围为：. 16.已知函数的部分图象如图所示： (1)求方程的解集； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图象可得周期，根据点在函数图象上得；再根据点在函数图象上得，求得解析式； （2）首先将化简为，利用三角函数单调性可得答案. 【详解】（1）由图象可知，周期， ∵点在函数图象上，∴，∴， 解得， ∵，∴； ∵点在函数图象上，∴， ∴函数的解析式为， 由得， ，解得， 所以解集为. （2） ==， 由，得， ∴函数的单调递增区间为. 17.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得. （2）根据在区间上的图象列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，所以. （2）因为，所以. ，即在区间上有且只有两个实数解， 于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点， ， ，所以. 画出在区间上的图象如下图所示， 所以，所以. 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数． (1)若在上为增函数，求的值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的值范围. （2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可； （3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因在区间上单调递增， 故，在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的值范围为. （2）由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得或， 解得，或，， 又，所以， 所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 所以，故n的最大值为. （3）由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. 19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）利用题中给出的“重覆盖函数”的定义分析判断即可； （2）由条件可得，对任意，存在3个不同的实数，使得（其中， 即，即对任意有3个实根，进一步讨论求解即可； （3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数的性质进行分析求解即可. 【详解】（1）因为， 则， 任取，令， 可得， 即或， 可得，或， 所以对于任意，能找到两个，使得， 所以是的“重覆盖函数”，且； （2）可得的定义域为， 即对任意，存在3个不同的实数， 使得（其中）， ，则， ， 即， 即对任意有3个实根， 当时，已有两个根， 故只需时，仅有1个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减， 又， 所以， 所以， 综上，实数的取值范围是； （3）因为， 当时，当时且， 当且仅当时取等号，所以， 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 由函数的图象， 要使要有2024个根， 则， 又，则， 故正实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题对任意，恰好存在个不同的实数，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据的值来确定参数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 函数的图象与性质 课程标准 学习目标 结合具体实例, 了解 的实际意义; 能借助图象理解参数 的意义, 了解参数的变化对函数图象的影响。 （1）理解函数中，，对函数的影响; （2） 掌握函数的图象变换.（难点) 知识点01 函数中，，对函数的影响 1 简谐运动可用函数，表示， 是振幅，周期，频率 ，相位，初相. 2 对的影响 影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置. 知识点02 三角函数的变换 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 【即学即练】 将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型一：三角函数图象的平移变换】 例1． 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式1-3．若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 平移变换：左加右减、上加下减； 2 在左右平移时，要注意是对进行加减；向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 【题型二：三角函数图象的伸缩变换】 例2．（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 变式2-2．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的倍，再把纵坐标伸长到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 伸缩变换： ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 【题型三：由函数的部分图象求解析式】 例3．（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．该图像向右平移个单位长度可得的图象 B．函数的图像关于点对称 C．函数的图像关于直线对称 D．函数在上单调递减 变式3-1．（多选）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．则（    ） A． B． C．的一个对称中心是 D．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 变式3-2．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的零点； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【方法技巧与总结】 由函数()的部分图象求解析式的方法 (1) 求：通过函数最值求解，得； (2) 求：根据图象求出周期，再利用求出； (3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出. 【题型四：求参数的取值范围】 例4．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-1．将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式4-2．已知函数的图像向左平移后得到的图像关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求参数的取值范围，多利用题中信息进行数形结合找到解题切入口，注意端点；有时可确定的关系，利用整数的特点确定的范围从而得到的取值范围. 【题型五：三角函数图象的综合应用】 例5．已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 变式5-2．函数的部分图象如图所示，已知，且，则（    ） A． B．1 C． D． 变式5-3．已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知函数(其中)的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则（  ） A． B． C． D． 变式5-5．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    【题型六：三角函数综合】 例6.1．（多选）已知函数在上单调，且，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象 C．的值不可能是整数 D．在上仅有两个零点 例6.2．已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，再把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到的曲线对应的函数记作，若函数 在内恰有2015个零点，求，的值. 变式6-1．已知函数的图象如图，点，在的图象上，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若四边形为平行四边形，且面积为，则 ， . 变式6-2．（多选）函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是 ． ①函数是周期函数；                 ②函数的值域是； ③函数的图象关于对称；      ④方程只有一个实数根； 变式6-4．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)若，求. 变式6-5．定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为． （1）求出此函数的解析式； （2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由; （3）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值. 一、单选题 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（    ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 3.已知函数的最小正周期为．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 4.直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 二、多选题 9． 下列能产生的图象的变换是（    ） A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位； D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位． 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则函数的对称中心为 C．若函数在内单调递增，则的取值范围为 D．若函数在内没有最值，则的取值范围为 11.已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C．图象的对称中心为 D．若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题 12．若时，曲线与的交点个数为 ． 13.函数在区间上有两个零点，则 14.已知函数，的值域是，若，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 16.已知函数的部分图象如图所示： (1)求方程的解集； (2)求函数的单调递增区间. 17.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围. 18. 已知函数． (1)若在上为增函数，求的值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$