5.3.2 正切函数的图象与性质（2知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

5.3.2 正切函数的图象与性质 课程标准 学习目标 借助图象理解正切函数在 上的性质。 （1）掌握正切函数的图象; （2）掌握正切函数的性质 （3）掌握正切函数的图象与性质的应用.（难点) 知识点01 正切函数的图象与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【即学即练1】 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型一：正切函数的图象】 例1． 函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    变式1-1．已知（），那么所有可能的值是（　　） A． B．或 C． 或 D． 变式1-2．当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式1-3．借助函数的图象，可知不等式，的解集为 ． 变式1-4．若，且，，，则，，的大小是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 掌握正切函数的图象是关键，注意其一些性质：渐近线、奇偶性等. 【题型二：正切函数的定义域】 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【方法技巧与总结】 1 正切函数的定义域为； 2 求正切型函数的定义域，把看成整体代入正切函数的定义域再求出的范围. 【题型三：正切函数的周期性】 例3．下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 变式3-2．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．函数的最小正周期是 . 【方法技巧与总结】 1 三角函数的周期； 2 求含绝对值的三角函数的周期，可数形结合. 【题型四：正切函数的对称性】 例4．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是， 变式4-1．函数的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-3．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 正切函数没有对称轴，有对称中心； 2 求正切型函数的对称中心，把看成整体. 【题型五：正切函数的单调性】 例5．已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 变式5-2．已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-3．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 正切函数在上是增函数； 2 求正切型函数的单调性，把看成整体. 3 复合函数的单调性：同增异减. 【题型六：正切函数的单调性与对称性的应用】 例6．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   变式6-2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 变式6-4．已知直线与函数（，）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和为 . 变式6-5．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【方法技巧与总结】 1 正切函数单调性的应用：求一些非特殊的正切值、比较正切值大小、求正切型函数的最值等； 2利用正切函数的对称性和单调性，多数形结合，在一些方程函数问题中得到广泛应用。 【题型七：与正切函数有关的最值或范围问题】 例7．函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【方法技巧与总结】 1 求正切型函数的值域，多利用正切函数的单调性； 2 求复合函数的值域要分清楚内部函数与外部函数； 3 求参数的取值范围，多数形结合. 【题型八：与正切函数有关的综合问题】 例8.1．（多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期是 D．图象关于直线对称 例8.2．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 变式8-1．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．的值域为 D．不等式的解集为 变式8-2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于原点中心对称 D．的值域为 变式8-3．函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 变式8-4．已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 2.若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 3.函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 4.函数在的图象大致为（    ） A． B．C．D． 5.已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是 A． B． C． D． 6. 设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 二、多选题 9．在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（　　） A． B． C． D． 10.已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 11.已知函数，下列四个命题中真命题有（  ） A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于对称 三、填空题 12．函数的定义域为 ，单调增区间为 ． 13. 图像的一个对称中心为，若，则的值为 ． 14. 函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .    四、解答题 15．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集. 16. 已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给出证明； (2)求函数的最小值． 17. 已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4．    (1)求的定义域； (2)若是定义在上的函数，求关于x的不等式的解集． 18.已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 19．设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个正数M，使得，恒成立，则称函数在区间上具有性质P.已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由. (3)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由. (4)请试写出一个函数使其在区间上不具有性质P.（请直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2 正切函数的图象与性质 课程标准 学习目标 借助图象理解正切函数在 上的性质。 （1）掌握正切函数的图象; （2）掌握正切函数的性质 （3）掌握正切函数的图象与性质的应用.（难点) 知识点01 正切函数的图象与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【即学即练1】 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 因为，所以为偶函数，A错误， 对于B，函数的最小正周期为， 因为，所以函数为奇函数，B错误， 对于C，函数的最小正周期为， 因为，所以函数为奇函数，C正确， 对于D，函数的图象如下：    所以函数不是周期函数，且函数为偶函数，D错误， 故选：C. 【题型一：正切函数的图象】 例1． 函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 变式1-1．已知（），那么所有可能的值是（　　） A． B．或 C． 或 D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，直接求出角所有可能的值即可． 【详解】因为（），所以或. 故选：B. 变式1-2．当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解. 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 变式1-3．借助函数的图象，可知不等式，的解集为 ． 【答案】 【分析】 根据题意，画出函数的图象，结合函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象， 如图所示，由，可得， 所以不等式，的解集为. 故答案为：. 变式1-4．若，且，，，则，，的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，，，，可看成与，的交点的横坐标，结合函数图象即可求解. 【详解】因为若，且，，， 若，则，，显然不符合题意， 若时，， 所以，，， 由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标，    结合函数的图象可知，． 故选：B 【方法技巧与总结】 掌握正切函数的图象是关键，注意其一些性质：渐近线、奇偶性等. 【题型二：正切函数的定义域】 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 变式2-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 变式2-2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【详解】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 正切函数的定义域为； 2 求正切型函数的定义域，把看成整体代入正切函数的定义域再求出的范围. 【题型三：正切函数的周期性】 例3．下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 变式3-1．函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为. 故选：B 变式3-2．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 变式3-3．函数的最小正周期是 . 【答案】/ 【分析】由正切函数的图象与性质知，翻折变换后，正切型函数的周期不变，利用最小正周期公式即可算得. 【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为， 与的图象如图所示， 所以函数与最小正周期也一样， 函数的最小正周期是， 的最小正周期也是． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 1 三角函数的周期； 2 求含绝对值的三角函数的周期，可数形结合. 【题型四：正切函数的对称性】 例4．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是， 【答案】D 【分析】根据题意结合正切函数性质逐项分析判断. 【详解】对于选项AC：因为的最小正周期是，可知在定义域内不单调，故AC错误； 对于选项B：，可知不是奇函数，故B错误； 对于选项D：令，解得， 所以图像的对称中心是，，故D正确； 故选：D. 变式4-1．函数的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可. 【详解】由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为图象的一个对称中心， 故选：D 变式4-2．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 变式4-3．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 正切函数没有对称轴，有对称中心； 2 求正切型函数的对称中心，把看成整体. 【题型五：正切函数的单调性】 例5．已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的最小正周期确定的值，根据函数的对称轴求出，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方， 且 仅有单调递增区间， 故和的最小正周期相同，均为， 则，即， 又直线是图象的一条对称轴，则， 即，结合，得， 故，令，则， 即的单调递减区间为， 故选：B 变式5-1．函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 变式5-2．已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【详解】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 变式5-3．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 变式5-4．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 正切函数在上是增函数； 2 求正切型函数的单调性，把看成整体. 3 复合函数的单调性：同增异减. 【题型六：正切函数的单调性与对称性的应用】 例6．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由，得， 令，则，故为奇函数， 则等价于， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 所以，解得， 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造，利用其单调性和奇偶性得到不等式组，解出即可. 变式6-1．函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象. 【详解】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 变式6-2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的最值得，再根据正弦函数、余弦函数的单调性结合中间值法比较即可. 【详解】， 由函数在上单调递增得， 由函数在上单调递减得， 所以.即. 故选：D 变式6-3．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分面积列方程，求得，从而求得，再根据图象上的特殊点求得正确答案. 【详解】设的最小正周期为，则， 所以，所以， 由图可知， 所以. 故选：D 变式6-4．已知直线与函数（，）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出，确定函数与共同具有的性质，再借助图象求解即可. 【详解】依题意，函数的最小正周期为2，则，解得， 于是，由，得， 而，取，因此，显然， 则函数的图象关于点成中心对称，又函数的图象关于点成中心对称， 在同一坐标系内作出函数和的图象，    观察图象知，两个函数在的图象共有4个公共点，且关于点成中心对称， 所以4个交点的横坐标之和为. 故答案为：6 【点睛】思路点睛：给定的性质求解解析式，一般是求出周期定，由图象上特殊点求. 变式6-5．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 1 正切函数单调性的应用：求一些非特殊的正切值、比较正切值大小、求正切型函数的最值等； 2利用正切函数的对称性和单调性，多数形结合，在一些方程函数问题中得到广泛应用。 【题型七：与正切函数有关的最值或范围问题】 例7．函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的单调性可知函数在上单调递增，即，，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为函数在上的最大值为，最小值为， 所以，即，所以 令，，因为在上单调递增， 在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知， 函数在上单调递增， 所以，解得：， ， 解得：，因为，则， 所以，解得：. 故 . 故选：D. 变式7-1．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 变式7-2．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 变式7-3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【答案】/-0.25 【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 1 求正切型函数的值域，多利用正切函数的单调性； 2 求复合函数的值域要分清楚内部函数与外部函数； 3 求参数的取值范围，多数形结合. 【题型八：与正切函数有关的综合问题】 例8.1．（多选）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期是 D．图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据正切型函数的定义域、单调性、周期性、对称性结合绝对值函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数，定义域满足， 解得，所以函数定义域为，故A正确； 当，则，所以函数在区间上单调递增， 则函数在区间上先减后增，故B不正确； 函数的最小正周期， 所以函数的最小正周期是，故C正确； 函数的对称轴满足，所以， 则函数图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD. 例8.2．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 变式8-1．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】， 作出的图象，如图， 观察图象，的最小正周期为，A错误； 的图象没有对称中心，B错误； 的值域为，C正确； 不等式，即时，，得， 解得， 所以的解集为，故D错误. 故选：C 变式8-2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于原点中心对称 D．的值域为 【答案】BD 【分析】化简函数，画出的图象，从而利用图象可一一判断各选项. 【详解】因为 当为第一或第三象限角时，，又，可得 ， 所以； 当为第二或第四象限角时，，又，可得， 所以 ； 当时，. 综上，， 作出的部分图象如图所示. 对于A，结合图象可得的最小正周期为，A错误； 对于B，在上单调递减，B正确； 对于C，的图象不关于原点中心对称，错误； 对于D，的值域为，D正确. 故选：BD 变式8-3．函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间； (2). 【分析】（1）由三角函数的性质求出，令，即可求出的单调区间； （2）由，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期为， 因为，所以，所以 因为函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 因为，所以，故． 令，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间． （2）由（1）知，．由， 得，， 即，   所以不等式的解集为：. 变式8-4．已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的定义判断关系，利用三角函数周期公式求解周期可得. 【详解】A项，函数的最小正周期为， 且，故是奇函数， 所以的图象关于原点对称，故A正确； B项，函数，定义域为R，则， 不满足，故图象不关于原点对称，故B错误； C项，函数的最小正周期为，不为，故C错误； D项，，定义域为R，则， 也不满足，故的图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A. 2.若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质，代入求值. 【详解】函数的图象与直线没有交点． 若函数的图象与直线没有交点， 则，，,， 则的最小值为． 故选：C 3.函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域. 【详解】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 4.函数在的图象大致为（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】根据条件可得在上的图象关于原点对称，从而可得选项A和C错误，再利用时，，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误， 又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确， 故选：D. 5.已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果. 【详解】为函数的对称中心    ， 解得：，          当时，，此时不单调，错误； 当时，，此时不单调，错误； 当时，，此时不单调，错误； 当时，，此时单调递增，正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果. 6. 设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解. 【详解】函数的定义域为， 显然，即函数是偶函数，排除AC； 又，即函数的周期是， 而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D； 函数在上单调递增，且，则在上单调递增， 所以函数在上单调递减，B正确. 故选：B 7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的图象与性质，得到，且，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 8.下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误． 故选：D． 二、多选题 9．在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由三角函数的周期性和奇偶性求解即可. 【详解】对于A，设的定义域为， ，所以为偶函数， 但不是周期函数，故A错误； 对于B，设的定义域为， ，所以为偶函数， 最小正周期为，故B正确； 对于C，设的定义域为， ，所以为偶函数， 最小正周期为，故C正确； 对于D，为向右平移个单位，不具备奇偶性，所以D错误. 故选：BC. 10.已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可. 【详解】对于A，令,则, 函数的定义域为，A正确; 对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误； 对于C，令则, 函数图象的对称中心为，C错误; 对于D，令, 则, 函数的单调递增区间为，D正确. 故选：AD. 11.已知函数，下列四个命题中真命题有（  ） A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，判断函数的奇偶性即可，对于C，根据判断；对于D，若的图象关于对称，则，然后分析计算即可， 【详解】解：对于A，，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B正确； 对于C，若的图象关于直线对称，则， 由于，不满足，故的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，若的图象关于对称，则需， 因为， ， 所以，所以的图象关于对称，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题 12．函数的定义域为 ，单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的图像和性质即可求解. 【详解】由 ，解得 ， 所以的定义域为， 由 解得 ， 所以的单调增区间为， 故答案为：， 13. 图像的一个对称中心为，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由函数图像的对称中心是，令，得到,即可求解，得到答案． 【详解】由正切函数图像的对称中心是， 令，其中，即, 又，当时，解得，当时，解得． 故或． 【点睛】本题主要考查了正切函数的对称中心及其应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14. 函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .    【答案】3（答案不唯一，符合的正整数均可） 【分析】根据函数的图象特征可利用周期以及平移求解解析式为，进而根据正切型函数的单调性即可求解不等式. 【详解】由图可知：， 由于可由的图象向左平移个单位得到，根据的一个对称中心为 ，而的一个对称中心为，故，此时，又,故， 由得， 即， 因此 ,解得， 不妨取，则，由于为正整数，故可取 ， 故答案为：3（答案不唯一，符合的正整数均可） 四、解答题 15．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)单调递增区间：，，无递减区间 (2) 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式. 【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan. 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． （2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤， 得Z，即Z 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 16. 已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给出证明； (2)求函数的最小值． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析. (2)2. 【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明. （2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为函数，所以的定义域为， 所以的定义域关于原点对称，又， 即，所以是偶函数． （2）因为函数，去绝对值有： ，所以当时，取得最小值2． 所以函数的最小值2. 17. 已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4．    (1)求的定义域； (2)若是定义在上的函数，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】1）由题意，结合图形，根据割补法可知阴影部分的面积等价于矩形的面积，进而求出，结合正切函数的概念即可求解； （2）由（1）知，由，作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】（1）    如图，阴影部分的面积等价于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 所以过点C垂直于x轴的直线为，又， 则，解得，所以， 由，得， 即函数的定义域为； （2）由（1）知， 所以，， 则， 设，， 在同一个平面直角坐标系中作出函数的图象，如图，    当时，， 所以当时，， 即不等式的解集为. 18.已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 19．设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个正数M，使得，恒成立，则称函数在区间上具有性质P.已知函数，. (1)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由. (3)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由. (4)请试写出一个函数使其在区间上不具有性质P.（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)是，最小值为 (3)是，最小值为 (4)（不唯一） 【分析】（1）使得恒成立，需，只需求的最大值即可； （2）判断的单调性，可得，满足性质P； （3）判断的奇偶性及单调性，结合绝对值不等式可得，满足性质P； （4）找一个函数值趋于无穷大的函数即可. 【详解】（1）使得恒成立，需， 因为函数，在时为增函数， 所以在时为增函数， 当时，, 当时，. 故为使得恒成立，a的取值范围是. （2）函数在区间上具有性质P. 设. 首先证明函数在区间上单调递增. 任取， 所以函数在区间上单调递增， ，任取 故只要取，即可使得，恒成立. 所以，函数在区间上具有性质P，M的最小值为. （3）设. 因为，所以是偶函数， 因为函数，在时为增函数且均为非负值， 所以在上单调递增，在上单调递减. ，任取， 所以取，即可使得，恒成立. 故所以，函数在区间上具有性质P，M的最小值为 （4）取下面证明在区间上不具有性质P. 假设在区间上具有性质P. ，任取， 存在一个正数M，使得，恒成立， 取，其中令 则 ，与具有性质P矛盾. 所以在区间上不具有性质P. 【点睛】关键点点睛：对的处理，关键是去绝对值号，可以先判断的单调性，去绝对值后累加可化简，对在定义域内不是单调的也可以分区间讨论单调性去绝对值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$