精品解析：云南省曲靖市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年九年级上学期阶段评估卷（二） 数学试题卷 （考试范围：第二十一章至第二十三章） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 6. 如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 13. 抛物线中，y与x的部分对应值如下表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 14. “灼灼媚眼沁桃花，皮薄肉腴入口佳，天女贪食怕人笑，强留云腿作琵琶”．其中提到的宣威火腿是云南著名地方特产之一，也是国家地理标志证明商标．某县大力推进宣威火腿产业发展，助力乡村振兴．已知该县2021年生产宣威火腿657吨，2023年产量达到795吨，若设这两年宣威火腿产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a-3b+c=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 17. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 18. 对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 19. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 23. 下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 24. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 26. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 27. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级上学期阶段评估卷（二） 数学试题卷 （考试范围：第二十一章至第二十三章） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A. 含有分式，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. ，若，原函数为一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键． 3. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式展开、移项化成的形式即可． 【详解】解：由得：， 即：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键． 4. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A．图形改变了方向，不符合平移的性质，不符合题意； B．图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，符合题意； C．图形的形状及大小都发生了改变，不符合平移的性质，不符合题意； D．图形的方向发生了改变，不符合平移的性质，不符合题意； 故选：B． 5. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件 ． 本题根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 6. 如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析：根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．此题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 【详解】解：∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、，原说法错误，故选项符合题意； C、，原说法正确，故选项不符合题意； D、，则，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平移规律作答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线解析式为， 即， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点落在边上， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 9. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质， 一次函数从左到右上升，反之，与y轴交于；二次函数的图象开口向上，反之，与y轴交于． 【详解】根据题意，当时，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数的图象y随x的增大而增大，与y轴交于正半轴，故排除A； 当时，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数的图象y随x的增大而减小，与y轴交于负半轴，故排除C、D， 故选：B． 11. 用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质以及旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：如图： ， 四边形是矩形，点，， ， 由旋转变换的性质可得：， 在第二象限， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键． 13. 抛物线中，y与x的部分对应值如下表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】由图可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键． 14. “灼灼媚眼沁桃花，皮薄肉腴入口佳，天女贪食怕人笑，强留云腿作琵琶”．其中提到的宣威火腿是云南著名地方特产之一，也是国家地理标志证明商标．某县大力推进宣威火腿产业发展，助力乡村振兴．已知该县2021年生产宣威火腿657吨，2023年产量达到795吨，若设这两年宣威火腿产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用（增长率问题），设这两年宣威火腿产量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】设这两年宣威火腿产量的年平均增长率为， 根据题意得． 故选D． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a-3b+c=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据x=-1时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与x轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x=-1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：a＜0，由图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，即=-1，得b＜0，由图象与y轴的交点可得c＞0， ∴abc＞0，所以①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，即=-1，解得b=2a，即2a-b=0，所以②正确； ③由图象可知x=-1时函数有最大值，因为x=-1时y=a-b+c，所以a-b+c≥am2+bm+c，③正确； ⑤∵由图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）， 即当x=-3时，y=0，即9a-3b+c=0，所以⑤正确； ④由⑤知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（-3，0）， 所以当-3<x＜1时，y>0；当x≤-3或x≥1时，y≥0，所以④错误； 所以①②③⑤正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 17. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 18. 对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据新运算定义，得到关于x的方程，再根据方程有两个相等的实数根求解即可． 【详解】解：， ， ， 关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 19. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m． 【答案】24 【解析】 【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离． 【详解】y=60t﹣=(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m， 当t=20-4=16时，y=576， 600-576=24， 即最后4s滑行的距离是24m， 故答案为24． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法应用，注意熟练利用配方法、公式法、因式分解法解方程是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先整理，得到方程的二次项系数为1，一次项系数为，适合用配方法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得，， ∴，． 21. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【答案】(1) m≥﹣9;(2)3 【解析】 【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2=0，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9； （2）根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m． ∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，即为所求． 23. 下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）三 （2） 解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，． 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． 【小问1详解】 小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 【答案】（1）； （2）当时，y的值随x的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 所以当时，y的值随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）k=1，方程的另一根为0 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将x=3代入，即可求出k的值，从而得到原方程为，再根据因式分解法解方程即可得出方程的另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解：把x=3代入，得：， 解得：k=1． ∴原方程为， ∴， 解得， ∴方程的另一根为0； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 26. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元． 【解析】 【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x， 由36﹣x≥24，得x≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； （2）设所获利润为W元， 则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，36-x=36-3=33（元） 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的实际应用问题，正确理解题意，根据相关数量关系列出函数关系式是关键． 27. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2 顶点D的坐标为 (, -). （2）△ABC是直角三角形，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标； （2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上 ∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0 解得b = ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2． 当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4 ∴B (4,0) ∴OA =1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m=． 解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n , 则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $