专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 （期末压轴专项训练20题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3．已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 5．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 6．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 7．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 8．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 10．已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是奇函数，当时，，则 . 13．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 14．已知是定义在上的奇函数，且满足，则 ． 15．写出满足为上的偶函数且的一个函数解析式： ； 16．已知，函数是奇函数，则 ． 17．若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 18．奇函数满足，当时，，则 . 19．已知函数是偶函数，则实数 . 20．已知，则不等式的解集为 . $$专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 （期末压轴专项训练20题） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以， 所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：. 2．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】设，则，故是奇函数． 不等式等价于不等式 即不等式 因为是奇函数，所以 易证是上的减函数，则，即，解得． 故选：B. 4．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 【答案】C 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、研究对数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示，    由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 5．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. 6．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 7．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则． 因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，， 所以． 故选：C 8．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 二、多选题 9．已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10．已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 则不等式，可变形为， 因为函数在上单调递增， 则不等式成立，则， 解得，1，2符合题意， 故选：CD. 11．已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详解】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12．已知是奇函数，当时，，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由是奇函数，得函数关于对称，进而结合代值计算即可. 【详解】由是奇函数，得函数关于对称， 又当时，， 则. 故答案为：. 13．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 14．已知是定义在上的奇函数，且满足，则 ． 【答案】0 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及可得函数的周期为2，代入计算，即可求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，有， 又由和，可得， 可得函数的周期为2，则． 故答案为： 15．写出满足为上的偶函数且的一个函数解析式： ； 【答案】（答案不唯一） 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】先由题给条件求得的图象性质，结合及二次函数的对称性得到其可能的解析式. 【详解】由为上的偶函数可得，所以， 则的图象关于直线对称， 又，结合二次函数性质可得，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 16．已知，函数是奇函数，则 ． 【答案】0 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数得和，代入求得，，再代入解析式检验即可. 【详解】因为函数定义域为且是奇函数，所以，所以， 所以，由知， 即，又因为，所以， 把代入，满足题意， 所以. 故答案为： 17．若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解. 【详解】由，且当时，， 得， ， 则是以6为周期的函数， 所以. 故答案为： 18．奇函数满足，当时，，则 . 【答案】1 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】由题意借助赋值法可得函数的周期性，结合函数解析式与对称性计算即可得解. 【详解】由题意，得，在中， 以替换，得， 以替换式中的，得， 所以，所以4为函数的一个周期， 所以. 故答案为：1. 19．已知函数是偶函数，则实数 . 【答案】2 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质可得，即可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 函数是偶函数，所以， 则， ，所以， 解得：，经检验满足题意. 故答案为：2. 20．已知，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得. 【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： $$