专题03 基本不等式（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题03 基本不等式（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 3．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题 9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 10．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，为正实数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．设且，则的最小值为 ． 13．已知正实数满足，则的最大值为 . 14．已知，且，则的最小值为 ． 15．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 四、解答题 16．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 18．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 19．已知均不等于1的正数满足且且1，且. (1)若，求的最小值； (2)当时，求的最大值； (3)若的最小值为，求的值. 20．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 2．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 3．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 4．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，，所以，所以， 当且仅当，即 时，取等号，所以的最小值为， 故选：C 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 6．已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 7．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、对勾函数求最值 【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】， ， 因为，且，所以， 设，， 函数在区间单调递减，所以函数的最小值为. 故选：D 二、多选题 9．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 10．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项. 【详解】当且仅当时取等号，A选项正确； 当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11．已知，为正实数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】选项A，对条件进行变形得，从而得到，再利用基本不等式，即可求解； 选项B，根据条件，直接利用基本不等式，即可求解； 选项C，根据条件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解； 选项D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确， 故选：AD. 三、填空题 12．设且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故答案为：. 13．已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以.又， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为： 14．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 15．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 16．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)9千件 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利润最大问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式. （2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论. 【详解】（1）当时，； 当时，. 综上：. （2）当时，，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 18．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值 【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可； （2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 19．已知均不等于1的正数满足且且1，且. (1)若，求的最小值； (2)当时，求的最大值； (3)若的最小值为，求的值. 【答案】(1)8 (2)16 (3) 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）当时，，然后利用基本不等式可求出的最小值； （2）由已知得，结合基本不等式可求出的最大值； （3）由已知得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）当时，， ，当且仅当时取等号， 的最小值为8. （2）由已知， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值为16. （3）由（2）知，则， ， 当且仅当时取等号. 因为的最小值为， 所以，则， 解得， 20．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 【答案】(1)，； (2)长9米、宽3米，周长的最小值为24米. 【知识点】分式型函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解. （2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得， 由，得，即，解得， 所以关于的函数解析式是，. （2）展牌的周长， 当且仅当 ，即时取等号，此时， 所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$