专题01 高一上期末真题精选（常考 149题 29类考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题01 高一上期末真题精选（常考149题29类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 全称量词与存在量词 · 基本不等式 · 二次函数与一元二次方程、不等式 · 函数的概念及其表示 · 函数的基本性质 · 分段函数模型 · 指数与对数运算 · 指数（对数）函数过定点 · 指数（对数）函数图象问题 · 指数（对数）型复合函数的值域问题 · 对数型复合函数单调区间 · 指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小 · 根据不同函数增长差异选择适当的函数模型 · 函数零点（方程的根）问题 · 二分法 · 任意角与弧度制 · 三角函数定义 · 同角三角函数基本关系 · 诱导公式化简问题 · 三角函数的图象与性质 · 三角函数图象变化 · 求三角函数解析式 · 生活中的三角函数模型 · 三角函数中的零点问题 · 三角函数中的恒成立问题 一、集合的概念（共4小题） 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东青岛·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 二、集合间的基本关系（共5小题） 1．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，则这样的集合共有 （    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 3．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 4．（22-23高一上·河北保定·期末）集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 三、集合的基本运算（共6小题） 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，. (1)求，； (2)若，求a的取值范围. 6．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知集合，，． (1)当时，求； (2)若，，求的取值范围． 四、充分性与必要性（共6小题） 1．（23-24高二下·天津河东·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．（23-24高二下·天津·期末）设函数的定义域为集合，集合. (1)若，求； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 五、全称量词与存在量词（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若“，”为假命题，则实数的取值可以为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 六、基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题） 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 5．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 八、函数的概念及其表示（共6小题） 1．（23-24高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 3．（23-24高二下·湖北孝感·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 5．（23-24高二下·天津滨海新·期末）函数的定义域是 ． 6．（23-24高二下·河北·期末）已知，若，则 . 九、函数的基本性质（共6小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·河南·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 5．（多选）（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 十、分段函数模型（共6小题） 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）函数,若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 .  5．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知函数的零点为和1，则 ． 6．（23-24高二下·河北·期末）已知，若，则 . 十一、指数与对数运算（共4小题） 1．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 2．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）（1）解方程：． （2）求值：． 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值； （2）求值：. 十二、指数（对数）函数过定点（共4小题） 1．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 3．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 4．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数图象恒过定点，在直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角的终边也过点，则的值是 . 十三、指数（对数）函数图象问题（共4小题） 1．（22-23高一上·浙江台州·期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（22-23高一上·山东德州·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 十四、指数（对数）型复合函数的值域（最值）问题（共7小题） 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知且是指数函数. (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求函数在区间上的值域. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 5．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数． (1)若的图象关于直线对称，求实数的值； (2)若函数的值域为，求函数的值域． 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，. (1)解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围. 7．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围. 十五、对数型复合函数单调区间（共4小题） 1．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 十六、指数（对数）型复合函数借助单调性的应用（共6小题） 1．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知定义在上的偶函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数（，，）是定义在上的奇函数. (1)求和实数b的值； (2)若满足，求实数t的取值范围； (3)若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 4．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 5．（21-22高一上·云南昆明·期末）已知指数函数的图象经过点. (1)求函数的解析式并判断的单调性； (2)若，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值． (2)试判断的单调性，并用定义证明． (3)解关于的不等式． 十七、根据不同函数增长差异选择适当的函数模型（共4小题） 1．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 3．（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 4．（23-24高一上·湖南永州·期末）为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 十八、函数零点（方程的根）问题（共6小题） 1．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为 ；的取值范围为 . 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，且时，，则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值. (1)求； (2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围. 十九、二分法（共5小题） 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（多选）（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 5．（23-24高一上·广东惠州·期末）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点 . 二十、任意角与弧度制（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京石景山·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 二十一、三角函数定义（共4小题） 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东江门·期末）已知角的终边过点，则（     ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·新疆·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 二十二、同角三角函数基本关系（共6小题） 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（    ） A．0或2 B．4 C．2 D．0或4 3．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．3 4．（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 二十三、诱导公式化简问题（共5小题） 1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形． (1)求的值； (2)化简，并求值． 5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 二十四、三角函数的图象与性质（共8小题） 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 4．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 5．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 6．（多选）（23-24高一下·四川凉山·期末）已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（） A． B．是函数的一条对称轴 C．的对称中心为 D．在的值域为 7．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 8．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 二十五、三角函数图象变化（共4小题） 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（23-24高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（    ） A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 二十六、求三角函数解析式（共4小题） 1．（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 2．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 7．（多选）（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图是函数的部分图象，则（    ） A．是函数的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．若，则 D．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 8．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 二十七、生活中的三角函数模型（共4小题） 1．（多选）（23-24高二下·福建南平·期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（    ） A．当时，点A恰好位于轮子的最高点 B． C．当时，点A距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 3．（23-24高一下·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t（单位：s），则d与t之间的关系为（，，）．    (1)求A，ω，φ，K的值； (2)在筒车转动的一周内，盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m？ (3)设t为，时，盛水筒P到水面的距离分别为，，当（），且时，求，的值． 二十八、三角函数中的零点问题（共5小题） 1．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 5．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 二十九、三角函数中的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 2．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围. 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值. 4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 5．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的，总存在唯一的，使得，求的取值范围． $$专题01 高一上期末真题精选（常考149题29类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 全称量词与存在量词 · 基本不等式 · 二次函数与一元二次方程、不等式 · 函数的概念及其表示 · 函数的基本性质 · 分段函数模型 · 指数与对数运算 · 指数（对数）函数过定点 · 指数（对数）函数图象问题 · 指数（对数）型复合函数的值域问题 · 对数型复合函数单调区间 · 指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小 · 根据不同函数增长差异选择适当的函数模型 · 函数零点（方程的根）问题 · 二分法 · 任意角与弧度制 · 三角函数定义 · 同角三角函数基本关系 · 诱导公式化简问题 · 三角函数的图象与性质 · 三角函数图象变化 · 求三角函数解析式 · 生活中的三角函数模型 · 三角函数中的零点问题 · 三角函数中的恒成立问题 一、集合的概念（共4小题） 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合的运算即可利用列举法求解. 【详解】设， 故，故有6个元素， 故选：C 2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·山东青岛·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、判断元素与集合的关系 【分析】直接由补集运算以及集合与元素的关系即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 二、集合间的基本关系（共5小题） 1．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，则这样的集合共有 （    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】依题意可得为集合的真子集，由元素个数计算可得结果. 【详解】根据题意可知，为集合的真子集， 又有三个元素，所以其共有个， 即这样的集合共有7个. 故选：C 2．（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 3．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】由题意知，又，且， 故，即a的取值范围为． 故答案为： 4．（22-23高一上·河北保定·期末）集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合A，再根据集合的并集运算求解即可； （2）根据子集关系列不等式求解，即可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 故. （2）由知，，因此 实数的取值范围. 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，. (1)若，求： (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、具体函数的定义域 【分析】（1）利用二次根式的意义先确定M，再根据并集的概念计算即可； （2）利用集合间的基本关系可确定，计算即可. 【详解】（1）由题意易知， 当时，， 所以. （2）因为，所以， 解得. 所以的取值范围为. 三、集合的基本运算（共6小题） 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】由，解得， 所以. 故选：B 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. （2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，则， 当时，， 所以. （2）由，得，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，. (1)求，； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】并集的概念及运算、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式，利用集合的交集、并集定义，借助于数轴即可求得； （2）根据集合的包含关系可得不等式组，求解即得. 【详解】（1）由可得，因， 则. （2）由（1）求得，，因， 所以，解得. 故a的取值范围为. 6．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知集合，，． (1)当时，求； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）代入m的值，根据补集及交集运算即可求解； （2）根据题意，可得，分和两种情况讨论求解. 【详解】（1）根据题意，， 当时，， 则或； （2）若，，则， 当时，则，无解， 当时，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 四、充分性与必要性（共6小题） 1．（23-24高二下·天津河东·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】甲：，乙：,根据不等式性质，知道甲可以推出乙，但是乙推不出甲. 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】转化为，恒成立求出的最大值即可. 【详解】若命题“，”为假命题， 则“，”为真命题， 可得，恒成立，即， 令，因为都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以， 可得，结合选项， 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据充分不必要条件求参数、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，化简两个集合，结合交集的概念即可得解； （2）由题意集合是集合的真子集，据此可列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围为. 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，从而可求出； （2）由题意得⫋，转化为对任意的恒成立，根据二次函数的性质可求得结果. 【详解】（1）由，得， 所以，解得，所以 所以， 当时，， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以⫋， 因为， 则对任意的恒成立， 令， 所以，即， 解得或， 所以的取值范围为 6．（23-24高二下·天津·期末）设函数的定义域为集合，集合. (1)若，求； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域、根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）分别求对数型函数定义域和解一元二次不等式得到集合,即可求得结果； （2）由题分析推得集合是集合的真子集，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由，解得，则. 因，由可得，则. 因，则或. 故或. （2）因是的必要不充分条件，则是的真子集. 从而或， 解得，即实数的取值范围是. 五、全称量词与存在量词（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是:. 故选：B 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】转化为，恒成立求出的最大值即可. 【详解】若命题“，”为假命题， 则“，”为真命题， 可得，恒成立，即， 令，因为都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以， 可得，结合选项， 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A. 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意可得为真命题，再参变分离求解即可． 【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故﹐ 故， 又当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是 故选：A． 5．（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若“，”为假命题，则实数的取值可以为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】ABC 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以，恒成立，即在恒成立， 所以且． 令，易知在上是增函数， 所以，所以． 故选：ABC． 六、基本不等式（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用 【分析】结合对数函数的性质可求出x1x2=1，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为， 若，则， 所以，所以， 则，当且仅当，即时取等号． 故选：C． 4．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【知识点】分段函数模型的应用、分式型函数模型的应用、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得. （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 七、二次函数与一元二次方程、不等式（共6小题） 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得，即可判断. 【详解】由，等价于，解得， 所以，又， 所以，即中有个元素. 故选：C 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 3．（多选）（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元一次不等式 【分析】由条件可得为方程的两根，且，结合根与系数关系可得的关系，再逐项判断各选项. 【详解】因为不等式.的解集为， 所以为方程的两根，且， 所以，， 所以，，， 因为，所以A正确； 因为，，， 所以不等式可化为，B错误； 因为，，， 所以，C正确； 因为，，， 所以不等式可化为， 解得，，所以D错误； 故选：AC. 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【详解】（1）即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． （2）不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 5．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入求解， （2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】（1）由题知1和是的两根， 将代入方程解得，经检验符合题意． （2）由（1）可知不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即实数的取值范围为． 6．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. （2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1）函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以. （2）显然，而， 因此不等式为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 八、函数的概念及其表示（共6小题） 1．（23-24高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解. 【详解】由题意可得，解得或. 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、指数函数的判定与求值 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北孝感·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由求解即可． 【详解】由题意知，解得且， 即的定义域为． 故选：D． 4．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为则函数的定义域为 C．关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【知识点】抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由同一函数的条件可得A正确；由抽象函数的定义域可得B正确；举反例可得C错误；由二次不等式的解集和对应方程的根的关系可得D正确； 【详解】对于A，的定义域为， 与的定义域相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，定义域为的范围，由函数的定义域为， 则， 所以，即， 即函数的定义域为，故B正确； 对于C，当时，不等式为，成立，故C错误； 对于D，由关于的不等式的解集为可得 ， 所以， 所以，化简可得， 解得或， 即不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD. 5．（23-24高二下·天津滨海新·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 6．（23-24高二下·河北·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的定义域，分和两种情况，解方程，即可求解. 【详解】当时，，得（正值舍去）， 当时，，得（负值舍去）， 所以或. 故答案为：或 九、函数的基本性质（共6小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】因为定义域为的奇函数，有,进而求解. 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 4．（多选）（23-24高一上·河南·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由图象变换判断A，由单调性判断BCD. 【详解】把的图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确； 在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有，则在上单调递增； 所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增， ，是奇函数，D正确. 故选：BD. 6．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【详解】依题意，函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减， 所以在上单调递减， 由于， 所以， ， ， 解得， 所以满足的的集合为. 十、分段函数模型（共6小题） 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得， 化简得，即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）函数,若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，解得实数的取值范围，再由，根据的取值范围利用不等式的性质，可得答案. 【详解】函数在上单调递增， 则有，解得， ，由，有，则， 所以，得，即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 5．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知函数的零点为和1，则 ． 【答案】4 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数函数值求参计算即可. 【详解】因为, 所以. 所以 所以. 故答案为：4. 6．（23-24高二下·河北·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的定义域，分和两种情况，解方程，即可求解. 【详解】当时，，得（正值舍去）， 当时，，得（负值舍去）， 所以或. 故答案为：或 十一、指数与对数运算（共4小题） 1．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)3. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质计算即得. 【详解】（1）. （2）. 2．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）（1）解方程：． （2）求值：． 【答案】（1）；（2）7. 【知识点】指数幂的化简、求值、简单的对数方程 【分析】（1）根据对数与指数的互化求解即可； （2）根据指数的运算性质计算求解. 【详解】（1）由指数与对数的互化得，解得，经检验，符合题意． （2）原式． 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 【答案】(1)0 (2)6 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）由对数的运算性质和分数指数幂的运算性质可得答案 （2）由对数的运算法则和性质可得出答案. 【详解】（1）原式= （2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6． 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值； （2）求值：. 【答案】（1）5；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由指对互化求出和，再结合换底公式即可求解； （2）考虑将转化为，进而得解. 【详解】（1）因为，所以，， 则； （2） ． 十二、指数（对数）函数过定点（共4小题） 1．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案. 【详解】，令，得，， 则（且）恒过定点， 设，则，即，即，∴， 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 【答案】-2 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，即函数恒过， 此时 故答案为： 3．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、y=Asinx+B的图象、指数型函数图象过定点问题 【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】函数（且）横过定点， 由题意可知，，即，， 则， 当时，即，得，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数图象恒过定点，在直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角的终边也过点，则的值是 . 【答案】/ 【知识点】对数型函数图象过定点问题、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由题意，结合正弦值的定义求解即可. 【详解】当时，故， 则. 故答案为： 十三、指数（对数）函数图象问题（共4小题） 1．（22-23高一上·浙江台州·期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、函数图像的识别 【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可. 【详解】由指数函数的图象和性质可知：， 若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确； 若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限， 由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除. 故选：C 2．（22-23高一上·山东德州·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 3．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能； 对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能. 故选：D. 4．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 【答案】② 【知识点】指数函数图像应用、根据指数型函数图象判断参数的范围、函数图像的识别 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 十四、指数（对数）型复合函数的值域（最值）问题（共7小题） 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；函数的值域为 (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数定义取特值可得，并检验；根据函数解析式，结合指数函数值域以及奇函数性质求的值域； （2）根据（1）可得在内单调递减，可得，结合指数函数最值分析求解. 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 若函数为奇函数， 则，解得，可得， 且， 可知符合题意，即， 若，则，，可得； 根据奇函数对称性可得：若，； 综上所述：函数的值域为. （2）由（1）可知：，且若，；若，； 因为在内单调递增， 可知在内单调递减，且， 若，可得，即， 因为，则，可得，解得， 所以m的取值范围为. 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知且是指数函数. (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据函数是指数函数求参数、求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由指数函数的定义可知，解出的值； （2）原式等价于，根据指数函数的单调性可得，再结合对数函数的单调性即可求解（注意定义域）； （3），令，则，所以，利用二次函数的性质求得值域. 【详解】（1）由指数函数定义，得，而且且， 解得，则， 故； （2）不等式，即， 而函数在上递增，因此， 即， 则，解得， 所以原不等式的解集为 （3）， 当，令，则，所以， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在区间上的值域为. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 5．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数． (1)若的图象关于直线对称，求实数的值； (2)若函数的值域为，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、对数的运算、根据对数函数的值域求参数值或范围、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）由题意可知，从而可得的值. （2）由题意的值域包含，从而由可求出的范围，再求出的范围，结合指数函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为的图象关于直线对称， 所以， 即， 即， 整理得，所以，解得，经检验符合题意． （2）因为函数的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得或， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以， 故，所以函数的值域为． 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，. (1)解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用对数运算及换底公式变形函数，换元并结合二次不等式求解即得. （2）求出函数在上的值域，再分类探讨函数在上的值域，借助集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）函数， 由，得，令，则不等式可化为：， 整理得，解得或， 即或，解得或， 所以原不等式的解集是. （2）当时，，， 因此函数的值域是，依题意，是函数，值域的子集， 当时，函数在上单调递增，， 有，则，解得，于是； 当时，函数在上单调递减，， 有，则，无解，不存在符合条件的实数a； 当时，（表示数中最大者）， 由，得，与矛盾，由，得，与矛盾， 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 7．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求对数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，得出其取值范围后可得函数值域； （2），使得 因此，因此只要分别求得在各自范围内的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】（1）由题意， ，当且仅当即时等号成立， 所以，从而， 所以的值域是； （2）若，使得 因此， ．，则， 所以时，， 由（1）知当时，时，， ，解得， 当时，,易知函数为偶函数， 结合对勾函数性质知在上递增，在递减， ， ，无解， 综上，的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题涉及不等式的恒成立，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 十五、对数型复合函数单调区间（共4小题） 1．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性 【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可. 【详解】令函数， 该函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，要使在上单调，则在上单调， 且时，，故，解得或. 故选：D 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得. 【详解】由可得，，解得， 故的定义域为， 由为增函数， 令，对称轴为， 故其单调递减区间为， 所以的单调递减区间为. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增， 即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是，      所以当且仅当且时，满足题意. 故答案为：. 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性计算即可得. 【详解】令，对称轴为， ∵函数在区间上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，且， ∴且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 十六、指数（对数）型复合函数借助单调性的应用（共6小题） 1．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 2．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知定义在上的偶函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求参数、奇偶函数对称性的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先由函数为偶函数，求出，由此得在区间上单调递减，再由对称性将转化为，由 利用单调性可得大小. 【详解】由函数为偶函数， 所以，即，解得， 当时，为偶函数，满足题意. 函数的图像关于轴对称，且在上单调递减． 又，，， 由，所以. 故. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数（，，）是定义在上的奇函数. (1)求和实数b的值； (2)若满足，求实数t的取值范围； (3)若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，； (3)存在，. 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得. （2）按分类，利用单调性解不等式即得. （3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解. 【详解】（1）依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. （2）由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递减，则在上单调递增， 不等式化为，解得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 所以当时，；当时，. （3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 4．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 【答案】(1)，在上单调递减； (2)． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由求得，并检验其为奇函数，然后由单调性定义证明； （2）利用奇偶性与单调性化简不等式后再求解． 【详解】（1）由题意，， 此时，，是奇函数， 设任意两个实数满足， 则， 因为，所以，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）因为是奇函数，因此原不等式化为， 又在上单调递减，所以不等式化为，即， 所以，又，故解得， 所以原不等式的解集为． 5．（21-22高一上·云南昆明·期末）已知指数函数的图象经过点. (1)求函数的解析式并判断的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【知识点】求指数函数解析式、判断指数函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得解析式；由指数函数性质可得函数单调性； （2）利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【详解】（1）设指数函数且， 过点，，解得：，， 由指数函数性质可知：在上单调递减. （2）由（1）知：在上单调递减， 则由得：， ，解得：， 即的取值范围为. 6．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值． (2)试判断的单调性，并用定义证明． (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3)． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意，结合，列出方程，即可求解； （2）化简，结合函数单调性的定义及判定方法，即可求解； （3）根据题意，把不等式转化为，结合换元法和指数函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即恒成立， 所以，解得. （2）解：函数在上为减函数. 证明如下： 由函数，任取且， 则， 因为，所以，又因为， 所以，即， 所以函数在上为减函数. （3）解：由（1）（2）知，函数为奇函数，且在上为减函数， 所以，即为， 令，可得，解得， 即，解得，所以不等式的解集为. 十七、根据不同函数增长差异选择适当的函数模型（共4小题） 1．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 【答案】(1)答案见解析 (2)240 【知识点】分段函数的值域或最值、利用给定函数模型解决实际问题、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得； （2）依题意函数，分段求解范围并比较可得最值. 【详解】（1）选择模型②. 理由如下：由题意知，，且为正整数. 由表格数据可知，不恒为常数，在直线上， 其余三对数据点关于直线对称， 模型①，由已知数据可知，对称轴为轴， 当时，单调递增，不满足三对数据点关于直线对称； 模型③，当时，是增函数；当时，是减函数， 不论取何值，数据的对称性都不符合； 模型②，， 故的图象关于直线对称， 因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型. ，代入两组数据对应点， 得，，解得. 则（，为正整数）， 验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上. （2）由题意得， ， （i）当，且为正整数时，； 在单调递减，； （ii）当，且为正整数时， ， 在单调递增，； 又，所以当时，取最大值. 综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为万元. 2．（23-24高二下·宁夏银川·期末）2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 【答案】(1)选择函数模型②，解析式为 (2)该车不在服务区充电不能到达秦安县；小时 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型②，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）设耗电量为，则， 由单调性的定义可得在区间单调递增，的，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；设行驶时间与充电时间分别为，总和为，由，可得，利用基本不等式即可求得所用时间的最小值. 【详解】（1）由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增， 由增长速度可知，选择函数模型②， 由题意有：解得： 所以. （2）设耗电量为，则， 任取， ， 由，，，， 则有，即， 所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县； 又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达秦安县， 则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时. 【点睛】方法点睛： 函数模型的选择有： 一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式； 二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型． 3．（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 【答案】(1)第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为 (2)该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可； （2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答. 【详解】（1）函数模型在上都是增函数， 的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢， 所以第二个函数模型满足要求， 由题意知，解得， 所以； （2）由题意，解得， 所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍. 4．（23-24高一上·湖南永州·期末）为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1)③,理由见解析 (2)72万元 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，， 则，解得，， 故所求函数为， ，即， ， ， 至少应完成销售利润72万元． 十八、函数零点（方程的根）问题（共6小题） 1．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】先给出，故2为函数的周期，因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，结合图象求解． 【详解】解：由题意知偶函数满足， 即，故2为函数的周期； 因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根， 作出函数在上的图象，如图： 结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是 故答案为： 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为 ；的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先讨论的取值范围，结合二次函数的单调性，结合图象即可判定方程根的个数； （2）根据韦达定理可得，，以及，即可代入化简，利用不等式的性质求解. 【详解】由题意，可知， 当时，在，上单调递减，在单调递增，故方程有3个不相等的实数根，则有1个根，有2个根，如图： 所以，解得； 当时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； ③当时，，不符合题意； 综上，取值范围是． ，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的根，即， ， 记， 由于，所以， 故 所以的取值范围． 故答案为：， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即， 又因为关于对称，所以，即， 可得函数的周期， 当时，可得其图象如下所示： 由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可， 根据图示可得，解得， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； (2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标； (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 4．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，且时，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】    ， 结合图形可得，，， ∵，∴，∴， ∴，∴. 故答案为：. 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数且过点． (1)判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由； (2)若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)是定值，定值为 (2) 【知识点】指数函数的判定与求值、函数与方程的综合应用 【分析】（1）代入点可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出； （2）由题意可转化为有两不等实数根，结合绝对值进行分类讨论可得，结合题意计算即可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以，解得， 故， 则 ， 所以是定值，定值为． （2）由，即， 即有，即， 令， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 方程有两不等实数根，所以 且 ， 于是：，， 所以，， 由得， 又，解得， 所以实数的取值范围是． 6．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值. (1)求； (2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据区间和对称轴的关系即可结合分类讨论即可求解， （2）将问题转化为与的图象在上有且只有一个交点，即可结合函数的性质列不等式求解，或者根据二次函数的单调性以及指数函数的单调性即可求解在上单调递减，进而利用零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由题意知，对称轴为， ①当时，在上单调递增，所以的最小值为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ③当时，在上单调递减， 所以的最小值为. 综上可知，. （2）法一：由第（1）问知，， 即， 所以关于的方程在上有且只有一解， 等价于与的图象在上有且只有一个交点， 因为，所以的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 又因为在上单调递增， 所以， 即，解得. 法二:由第（1）问知，， 即在上有且只有一解， 令， 因为，所以的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则， 即， 解得. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 十九、二分法（共5小题） 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程、零点存在性定理的应用 【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 3．（多选）（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可. 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 5．（23-24高一上·广东惠州·期末）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点 . 【答案】/ 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】借助二分法定义计算即可得. 【详解】令， ，， 则，， 故. 故答案为：. 二十、任意角与弧度制（共5小题） 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角 【分析】运用终点相同的角的概念可解. 【详解】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，. 故选：B. 3．（23-24高一下·北京石景山·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是， 故选：D. 4．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 5．（23-24高一上·河南·期末）已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 二十一、三角函数定义（共4小题） 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【详解】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 3．（23-24高一下·广东江门·期末）已知角的终边过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角函数的终边定义和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】角的终边过点， 则， . 故选：. 4．（多选）（23-24高一上·新疆·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义求出角的正弦，余弦，正切值，可判断A,B项正误；再运用诱导公式即可判断C,D项正误. 【详解】角的终边经过点，， 则，， ， ，， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 二十二、同角三角函数基本关系（共6小题） 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（    ） A．0或2 B．4 C．2 D．0或4 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 【分析】根据倍角公式和同角三角函数的基本关系式可得，进而可得或，可得或. 【详解】因，故， 得，即， 故或， 当时，， 当时，， 故选：A 3．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】根据给定条件，求出，再利用正余弦齐次式法求解即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：D 4．（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得. 【详解】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式、平方关系可得的值即可求解. 【详解】. 故答案为：. 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将式子化为其次式，然后化为正切求值即可. 【详解】， 故原式， 故答案为： 二十三、诱导公式化简问题（共5小题） 1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【详解】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 2．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、诱导公式五、六 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形． (1)求的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)； 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、利用定义求某角的三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合得到答案. 【详解】（1） ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 所以圆为单位圆，由三角函数定义得． （2）． 其中， 由（1）知：， 所以． 5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； （2）由诱导公式化简得： ． 二十四、三角函数的图象与性质（共8小题） 1．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 【答案】D 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数并求出，再由平移后的函数图象对称轴列式求解即得. 【详解】依题意，，则，解得，， 将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度得的图象， 于是，解得， 所以正实数m的最小值为. 故选：D 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 4．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 【答案】ABD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可. 【详解】由图象可得，，，又，故， 所以. 对于A：令，故A正确； 对于B项，若，即分别对应最大值和最小值，则的最小值为 ，故B正确； 对于C项， 令，可得：即， 由，得，由，得，由，得，由，得， 可知函数在区间内有个零点，故C错误； 对于D项，，则， 当，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD 5．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 【答案】AD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据，即可求解周期判断A，代入即可求解判断B，根据整体法即可求解单调性判断C，利用函数平移即可求解D. 【详解】由图得.根据题意可得，解得，A正确. 将的坐标代入，可得，因为是单减区间上的零点，所以，解得，因为，所以，B错误. 由，得，则在上先单调递增，后单调递减，C错误. 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于原点对称，D正确. 故选：AD 6．（多选）（23-24高一下·四川凉山·期末）已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（） A． B．是函数的一条对称轴 C．的对称中心为 D．在的值域为 【答案】ACD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域. 【详解】对于A,由题意得,则, 所以,故正确; 对于时,,故B错误; 对于C,由,解得, 所以函数的对称中心为，故正确; 对于时,, 所以当，即时，, 当，即时，, 所以,故正确. 故选:. 7．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①② 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】首先根据周期求得，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案. 【详解】根据题意，的最小值是，所以， 所以，函数的最小正周期是，①正确； 由上可知，， 所以函数的图象关于直线对称，所以②正确； ， 所以不是的对称中心，所以③错误； ， 所以函数的图象可由图象向右平移个单位得到，④错误. 故答案为：①②. 8．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用平移变化得到的解析式，再根据知，，代入的解析式即可求出的取值范围，再结合，求出的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 又，则， ，或 即，或， 又，的最小值为. 故答案为：. 二十五、三角函数图象变化（共4小题） 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（    ） A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可求得答案. 【详解】由于， 为了得到函数的图象， 只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位， 故选：D 3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征 【分析】先根据条件变换得到，再根据列式计算求出的值. 【详解】由已知得， 所以， 解得，又， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 二十六、求三角函数解析式（共4小题） 1．（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由图可知，，即可判断A；利用周期计算即可判断B；利用所得解析式结合三角函数图象性质可判断C；利用三角函数平移性质计算可判断D. 【详解】对于A，由题图可知，，从而， 且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确； 对于B，由图可得，解得，， 又，所以，所以， 故，故B错误； 对于，， 令，则， 共有8096个零点，故C不正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为： ， 显然的定义域为全体实数，且为偶函数， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：D. 2．（多选）（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于原点对称 【答案】AD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据，即可求解周期判断A，代入即可求解判断B，根据整体法即可求解单调性判断C，利用函数平移即可求解D. 【详解】由图得.根据题意可得，解得，A正确. 将的坐标代入，可得，因为是单减区间上的零点，所以，解得，因为，所以，B错误. 由，得，则在上先单调递增，后单调递减，C错误. 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数的图象关于原点对称，D正确. 故选：AD 7．（多选）（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图是函数的部分图象，则（    ） A．是函数的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．若，则 D．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象求，可判断B；由周期可得，代入点可得，代入验证可判断A；利用求出的范围，结合正弦函数性质可判断C；根据平移变换求出平移后的解析式可判断D. 【详解】由图可知，，所以， 又的图象过点，所以， 所以，即， 因为，所以，. 对A，因为， 所以不是函数的对称轴，A错误； 对B，由上知，的最小正周期为，B正确； 对C，当时，，所以， 所以，C正确； 对D，将函数的图象向右平移个单位后，得： ，显然不是奇函数，D错误. 故选：BC 8．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求得函数的解析式； （2）由（1）可得：，结合三角函数的性质，即可求解. （3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性即可求解. 【详解】（1）由图象可知：，最小正周期， 且，可得，所以， 由图可求出最低点的坐标为，可得， 则，解得， 且，可得，所以. （2）由（1）可得：， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的值域为. 二十七、生活中的三角函数模型（共4小题） 1．（多选）（23-24高二下·福建南平·期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（    ） A．当时，点A恰好位于轮子的最高点 B． C．当时，点A距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 【答案】BCD 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得 过点作垂直地面，过点作， 则，即， 对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，可得，所以B正确； 对于C中，当时，可得， 由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确； 对于D中，由，可得， 可得，所以， 令且，且， 则，且， 当时，可得的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)，. (2)次. 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在物理学中的应用 【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 3．（23-24高一下·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 【答案】(1)（i），；（ii） (2)证明见解析 【知识点】三角函数在生活中的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）（i）根据，求得，进而求得； （ii）根据题意，得，进而求得，即可求解； （2）根据，整理得，再由辅助角公式化简得，即可求解. 【详解】（1）（i）当时，，由，得， 因为，所以此次的发射仰角为，； （ii）当时，， 由，得，所以， 因为，所以，所以时，取得最大值. （2）当时，， 由，得， 因为，所以， 代入式整理得， 得， 所以，其中， 所以，解得. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t（单位：s），则d与t之间的关系为（，，）．    (1)求A，ω，φ，K的值； (2)在筒车转动的一周内，盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m？ (3)设t为，时，盛水筒P到水面的距离分别为，，当（），且时，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）根据题意可知的最大值为，最小值为，求得，再由每分钟转2圈，求得，得到，结合时，，求得， （2）根据，令，由正弦函数的性质，求得，即可求解； （3）由，求得，令，结合三角恒等变换的公式，根据，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由题意d与t之间的关系为， 根据题意可知的最大值为，最小值为，可得，解得， 又因为逆时针方向每分钟转2圈，所以函数的周期为，可得， 所以， 因为当时，，即， 又因为，所以，所以， 所以. （2）解：由（1）知， 令，可得，即， 可得，解得， 当时，可得，则 所以在筒车转动的一周内，盛水筒P有距离水面高度超过4m. （3）解：由， 可得， 令， 可得， 所以， ， ， 所以 ， 所以，即，所以， 则，解得，即，解得， 因为，所以，即，. 二十八、三角函数中的零点问题（共5小题） 1．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】(1)根据的最小值求解出； (2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求含cosx的函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出，进而求出单调递增区间. （2）探讨函数在上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线与函数在上的图象交点情况即可. 【详解】（1）依题意，， 由，，得，， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，函数值从1减小到；在上单调递增，函数值从增大到0， 方程， 因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数在上的图象无交点； 当或，即或时，直线与函数在上的图象有1个交点； 当，即时，直线与函数在上的图象有2个交点， 所以当或时，方程根的个数为0； 当或时，方程根的个数为1； 当时，方程根的个数为2. 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解即可. （2）利用正弦函数的性质求出函数在上的值域，再利用零点的意义求出范围. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的对称轴方程. （2）由（1）知，，当时，， 则，， 由函数有零点，得，解得. 所以的取值范围是. 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为， (3)， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求零点的和 【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令， ，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又， 则，所以， 又函数过点，所以，则， 则，解得， 因为，所以， 所以． （2）令，，解得，， 令，，解得，． 因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （3）方程，即，即， 因为，所以， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即， 又的对称轴为， 不妨设个解从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称， 所以，，， 即，，， 解得，，． 所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解. 5．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由最大值得A，则周期得，写出变换的函数解析式，由对称性得，得函数解析式； （2）首先确定，即，这样零点问题转化为，求得函数的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得． 【详解】（1）依题意可知：，可得， ，即，且，可得， 则， 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的函数为， 因为图象关于原点中心对称，则有，． 且，， 所以． （2）由题意可知： 当时，，则在内的零点个数为偶数个， 因为在内恰有2025个零点，为奇数个零点，故， 由，可得， 设，则， 可知在和上递减，且，， ①若，由得或， 则（n为奇数）或（n为偶数），解得n不是整数，舍去； ②若，由得或， 则由（n为奇数），解得n不是整数，舍去； 或， 解得； ③若且，在内的零点个数为偶数； ④或，在内的零点个数为偶数． 综上所述：，． 【点睛】关键点点睛：解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用． 二十九、三角函数中的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】(1) (2). 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）依题意可得两条对称轴之间的距离恰好为半个周期，由此求出，再根据“五点法”求出即可得到解析式； （2）先根据变换规律确定，再转化成,即可. 【详解】（1）根据题意可知，， 取,则， 又根据"五点法"可得， ， . （2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象, 再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到的图象，故. 对任意的，不等式恒成立. 即对任意的， 即恒成立. 当时，， 当时，不等式恒成立. 当时，， 令， 设，，则 . 令，其值域为， ，即. 综上，的取值范围是. 2．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）先利用和差角公式，二倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解； （2）先求出的解析式，然后结合恒成立与存在性问题与最值关系转化即可求解. 【详解】（1） 令， 得 即的单调递减区间为. （2）根据题意可得. 因为存在，使得不等式有解， 所以. 当时，，， 当时，， 所以，即的取值范围为. 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值. 【答案】(1)，减区间为 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解. 【详解】（1）解：由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求cosx（型）函数的最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）由图象直接得到，求出函数的周期，即可求出，利用图象经过，结合的范围求出的值，即可得到的解析式； （2）由三角函数的图象变换规律，结合平移与伸缩的顺序采用方法一或方法二推出结果； （3）根据的范围，结合三角函数的性质得出的最大值，由题意得到的不等式，求解即可． 【详解】（1）由图象知，，，， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则，， 又，所以，故. （2）法一：将的图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. 法二：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. （3）∵，∴， ∴当，即时，取最大值3. 又不等式在上恒成立， ∴在上恒成立， 故，即，即或. ∴t的取值范围为. 5．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的，总存在唯一的，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再令，即可得出答案； （2）由三角函数的平移变换求出，再求出时的值域和时的值域，可得，即可得出答案. 【详解】（1） ， 令， 解得：， 所以的单调递增区间为： （2）将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象， 的所以 由得， 因为，所以， 所以， 又，，所以， 对任意的，总存在唯一的，使得， 只需. 所以，解得：. 所以的取值范围为. $$