专题11 三角函数（三角恒等变换，函数y＝Asin(ωx＋φ），三角函数的应用（考点清单+知识导图+ 9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单11 三角函数（三角恒等变换函数三角函数的应用) （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【清单02】两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【清单03】两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【清单04】二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②； ； ③ 【清单05】半角公式 ① ② ③ 【清单06】辅助角公式： (其中) 【清单07】五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 【清单08】根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值 核心方法：拼凑角，二倍角公式 【例1】（广西“贵百河——武鸣高中”2025届高三上学期11月摸底考试数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】给定三角函数值，求角 【例2-1】（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值； (2)求的大小． 【变式2-1】（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 【考点题型三】逆用两角和差公式 【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换 【例4】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变 B．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变 C．横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 【变式4-1】（2024高二下·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【考点题型五】看图求解析式 【例5】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析，并求出在上的值域； (2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 【变式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【变式5-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【例6-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的对称中心； (2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【变式6-1】.（23-24高一上·江苏盐城·期末）设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点） 【例7】（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【变式7-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 【变式7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 【考点题型八】三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 【例8】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围. 【变式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【变式8-2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【考点题型九】三角函数中新定义题 【例9】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)当时， 函数和是否具有性质? (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 【变式9-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”. (1)若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数； (2)已知是“类周期函数”，求的值及的类周期； (3)若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个. 【变式9-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（   ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．是最小正周期为的奇函数 5．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．15 7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称； B．函数的图象关于直线对称； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根. 8．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 二、多选题 9．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 三、填空题 11．（24-25高三上·上海·期中）如图为函数的部分图象，则 . 12．（2024高三·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为 . 四、解答题 13．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 14．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 15．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为； 条件③：函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围. 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数． (1)若在上为增函数，求的值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 18．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单11 三角函数（三角恒等变换函数三角函数的应用) （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【清单02】两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【清单03】两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【清单04】二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②； ； ③ 【清单05】半角公式 ① ② ③ 【清单06】辅助角公式： (其中) 【清单07】五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 【清单08】根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值 核心方法：拼凑角，二倍角公式 【例1】（广西“贵百河——武鸣高中”2025届高三上学期11月摸底考试数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正切公式 【分析】根据已知条件求得，以及，再利用倍角公式求得，再求结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以，即， 所以或. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】， 故选：C． 【考点题型二】给定三角函数值，求角 【例2-1】（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求角型问题 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以.又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值； (2)求的大小． 【答案】(1) (2)． 【知识点】特殊角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角的正切公式求. （2）利用（1）的结论，先求的值，再结合的取值范围，可求的大小. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 所以． （2）因为，所以， 所以， 因为，且， 所以； 因为，且， 所以， 所以， 所以． 【变式2-1】（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解正弦不等式、给值求角型问题 【分析】方法一：由条件结合同角关系求，由二倍角公式求，再利用两角差正弦公式可求，由此可求结论. 方法二：由条件可得，由此确定范围，结合正弦函数单调性可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 又， 所以， 所以， 故 ， 因为，， 所以，则． 解法二：因为， 所以，， ∵， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 【考点题型三】逆用两角和差公式 【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据正弦两角差公式运算求解； （2）根据余弦两角和公式运算求解； （3）根据正切两角和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式计算即得. 【详解】. 故选：A 【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换 【例4】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变 B．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变 C．横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 【答案】AC 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数的图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点 向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变， 或横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位， 故选：AC. 【变式4-1】（2024高二下·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果. 【详解】由题意，得. 故选：A. 【变式4-2】（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解. 【详解】由题意可得 ，∴，，解得，， 又，∴当时，取得最小值为5． 故选：D. 【考点题型五】看图求解析式 【例5】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析，并求出在上的值域； (2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）代入两点，建立方程，根据解出参数的值，即可得解解析式，再根据函数的定义域求出函数的值域； （2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到，根据及取对应的值，即可得解. 【详解】（1）由，得， 又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的， 且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，， 而，于是，， 当时，，所以， 即在上的值域为. （2）令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象 所以， 由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值. 【变式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】(1) (2)（i）；1；（ii）. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. （2）（i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 【变式5-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式. （2）由（1）的结论，求出函数，再利用余弦函数的性质求出值域. 【详解】（1）观察图象知，函数的最小正周期，则， 由，得，而，则， 所以的解析式是. （2）由（1）知，，则， 当，则，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当，即时，；当，即时，， 所以在的值域为. 【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【详解】（1）. 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. 【例6-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的对称中心； (2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由三角函数的公式化简及图象性质易得结果； （2）将题干不等式转化为，分别求出和的相应最值，可得参数的范围. 【详解】（1） ， 因为的最小正周期为，所以，故. 所以， 令，解得. 所以的对称中心为. （2）因为对任意的都有， 所以. 因为， 令，当时，， 得函数. 则； 当时，，则， 所以，即 即解得， 故实数的取值范围是. 【变式6-1】.（23-24高一上·江苏盐城·期末）设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，即可利用正弦函数的性质，结合整体法即可求解， （3）利用函数图象的平移和伸缩变换可得，即可根据三角函数的单调性求解最值求解. 【详解】（1）由可得， 令，则， 故，解得， 故不等式的解为； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；可得， 再向左平移 个单位，可得；最后向下平移 个单位得到函数， 当，由于在单调递增，故， 所以， 由于，故，即. 【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心的坐标为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心； （2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解. 【详解】（1） ，                         则的最小正周期为：，                                         ，， 所以的对称中心的坐标为：； （2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，                            再向下平移1个单位得到，                                   再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到                                    即， ， ，                                     可得 ，                                  令， 在上单调递减， 所以，                                         在上有解，需， ， 的取值为. 【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点） 【例7】（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    【变式7-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为：； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，由，可得，求解即可； （ⅱ）将（ⅰ）中值代入，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】（1）解：因为 ， 所以； 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为：； （2）解：（ⅰ）由题意可得， 又因为的图象关于对称， 所以， 解得， 又因为， 所以当时，； （ⅱ）令，则， 即的图象与直线在上有交点. 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，， 即， 所以. 【变式7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【知识点】正弦函数对称性的其他应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【详解】（1） ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； （2）设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 【考点题型八】三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 【例8】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，， (2) 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间. （2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以，即的最小正周期为. 由，，解得，， 所以的单调递增区间为， （2）由. 根据，的图象： 由图可知，当时，方程有两个不同的实根. 所以实数的取值范围是：. 【变式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求零点的和 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简得，再利用给定性质求出. （2）由三角函数图象变换得，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可.. 【详解】（1）依题意，函数， 由函数为奇函数，得，又，则， 由函数图象的相邻两对称轴间的距离为，得的周期，解得， 所以函数的解析式是. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数， 由方程，，解得， 即，当时，，则或或或， 即原方程有四个实数根，不妨设为， 因此， 解得，所以原方程所有根之和为. 【变式8-2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【答案】(1)，单调减区间为 (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简可得，再根据函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间； （2）由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及一元二次方程的根即可求解. 【详解】（1）由题意可知，函数， 又因为函数为奇函数，所以可得， 又，解得， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 可得周期，由可得.故函数. 令，可得单调减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数 由方程得或， 即或（舍）； 当时，，所以或或或; 即方程有四个实数根，不妨设为； 可得. 所以，故所有根之和为. 【考点题型九】三角函数中新定义题 【例9】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)当时， 函数和是否具有性质? (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 【答案】(1)，具有性质，不具有性质. (2) (3)证明见解析 【知识点】解正弦不等式、函数新定义 【分析】（1）由函数具有性质判断即可； （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可； （3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明. 【详解】（1），具有性质.因为 ，所以； 不具有性质. （2）若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得， 又当时， 故当时，有，即，所以， 所以当时，，， 即时， 故当时，不等式为，无解， 当时，不等式为， 又，故不等式解为，即解集为. （3）已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有， 所以， 所以函数的图像端点为和， 由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线， ①若，因为时，， 所以对任意，有， 由基本不等式得，有， 所以对任意，有， 根据图像的对称性，得对任意，有， 这样与存在矛盾. ②若，由，得， 又，由图像的对称性知，， 且，所以， 这与在上有最大值矛盾. 综上：. 【点睛】思路点睛：本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论. 【变式9-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”. (1)若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数； (2)已知是“类周期函数”，求的值及的类周期； (3)若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个. 【答案】(1)证明见解析 (2)的类周期为2 (3)， 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明； （2）利用已知条件是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明； （3）利用已知条件，求出的关系，进而求出T的值，进行作答. 【详解】（1）证明：因为是类周期为1的“类周期函数”， 所以，① 用代换得，② ①+②得，所以， 所以，所以是周期为6的周期函数. （2）因为是“类周期函数”， 所以存在非零常数，使得对任意，都有， 即， 整理得， 所以所以， 所以的类周期为2. （3）因为奇函数是类周期为的“类周期函数”， 所以，且， 取，得，所以， 取，得， 所以， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 设，则，整理得， 所以，取. 【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题. 【变式9-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” (1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； (3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）利用给定定义判断即可. （2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可. 【详解】（1）， ， ，， 故的值域为，当时，， 此时，不是的“4重覆盖函数”， （2），， 的图像如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， ， （3）， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个实数根， 即有9个实数根， 因为与的图像如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由两角和正切公式展开先求出，再利用“1”的代换与二倍角正弦公式将式子转化为“齐次比”形式，化弦为切代入求解可得. 【详解】由，得， 解得， 所以.     故选：B. 2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式二、三、四 【分析】由辅助角公式，诱导公式，二倍角公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，. 因，则 . 故选：B 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解. 【详解】根据题意可得，， 则，， . 故选：D 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（   ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】C 【知识点】三角恒等变换的化简问题、函数新定义、求余弦（型）函数的最小正周期、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出解析式，AB选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D. 【详解】由题中所给定义可知， ， ，点不是图象的对称中心，故A错误； ，直线不是图象的对称轴，故B错误； 时，，是余弦函数的单调递增区间， 所以在区间上单调递增，故C正确； 的最小正周期，但，所以函数不是奇函数，故D错误. 故选：C 5．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解. 【详解】由题意可得， 由于的图象关于点对称，故， 故,解得， 取，为最小值， 故选：A 6．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】首先根据对称轴的性质求出的表达式，再根据函数的单调区间确定的范围，从而得出的最小值. 【详解】因直线是一条对称轴，所以，. 整理可得：，即，. 由，得. 则函数在上单调递增. 因为函数在区间上不单调，所以. 解得.因为，且，所以的最小值为11. 故选：C. 7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称； B．函数的图象关于直线对称； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根. 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】代入验证可判断AB；根据平移变换判断C；直接解方程可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以的图象关于直线对称， 即的图象不关于点对称，故A错误； 对于B，当时，，所以的图象关于点对称， 即函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位得到 ，故C错误； 对于D，令，则，或， 即，或， 又，则，或， 因此可得方程在上有两个不相等的实数根，故D正确． 故选：D. 8．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 二、多选题 9．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】A项由最值点代入解析式待定系数，结合解析式由利用整体取代方法求对称中心可得B项；C项由平移得化简得，利用整体取代方法求对称轴即可；D项，由诱导公式化简得，结合图象可知单调性. 【详解】A项，由得， ，解得，， 又，所以.故A正确； B项，因为，由，， 得函数的对称中心为，， 当时，得对称中心为，故B正确； C项，. 故其对称轴为，，所以不是函数的对称轴，故C错误； D项，， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 【答案】ACD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 又由，故B错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C正确； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高三上·上海·期中）如图为函数的部分图象，则 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象过点结合正弦函数性质可得答案. 【详解】因图象过点，则， 结合，可得或，又图象过此点时单调递增，则. 因图象过点，结合图象，可得，其中. 结合. 又由图可得函数的最小正周期大于，则， 结合，可得，则. 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为 . 【答案】3 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】根据函数图象的变换可得，在同一坐标系作出以及的图象即可求解. 【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 即， 作出以及的图象，如图： 由图象可知的图象与直线的交点个数为3. 故答案为：3 四、解答题 13．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、给值求值型问题、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图象变换求出，进而求出指定区间上的值域. （2）由（1）求出，再由结合和角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）依题意， ，将图象向左平移个单位，得， 于是，当时，，， 则，所以在上的值域为. （2）由（1）知，由，得， 由，得，则， . 14．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)；单调递增区间为：； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用整体思想分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）由 ， 因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为， 所以其最小正周期为， 则， 令， 解之得； （2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移个单位长度可得， 再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 当，所以， 令，则条件可化为在时有解， 易知在上单调递减，在上单调递增， 易知， 则，解之得. 15．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为； 条件③：函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式；选择①②：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意． （2）因为，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，， 选择①③： 因为，所以， 又因为，所以． 所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为函数的最大值为，所以． 所以， 选择①②： 因为，所以． 又因为函数的最大值为， 所以，与矛盾，不符合题意． （2）选择①③： 因为，所以， 又因为在区间上有且仅有1个零点， 所以，所以，所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为在区间上有且仅有1个零点， 又时，或， 所以，所以，所以． 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数． (1)若在上为增函数，求的值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的值范围. （2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可； （3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因在区间上单调递增， 故，在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的值范围为. （2）由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得或， 解得，或，， 又，所以， 所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 所以，故n的最大值为. （3）由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由图象得周期关系从而求得，将最值点代入可得，从而求得解析式； （2）求出时的值域，换元法转化不等式为二次不等式在区间恒成立问题，由二次函数图象性质建立不等式组可得. 【详解】（1）由图可得，即，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）因为，所以，则， 令， 设，函数图象开口向上，恒过定点. 由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知， 只需， 解得，故的取值范围为. 18．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)具有性质P，不具有性质，理由见解析 (2)存在，， 【知识点】函数新定义、由正弦（型）函数的周期性求值、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）假设存在，结合定义可得，计算可得，即可得. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故不具有性质. （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以；         若，不妨设，由， 得（*），         只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，    即，因为，所以， 所以，则，此时， 则，而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于根据定义计算得到后，假设，证明其与已知矛盾，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$