专题09 函数的应用（考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单09 集合及其运算 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 【清单02】函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【清单03】二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【清单04】区间中点 对于区间，其中点 【清单05】二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【清单06】常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 【考点题型一】求函数的零点 核心方法：令（注意零点不是点，零点是数） 【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求函数的零点、对数的运算 【分析】将问题转化为，或，求解即可. 【详解】令，则，或， 解得，或， 则函数的零点是. 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】指数函数的判定与求值、求函数的零点 【分析】利用零点的定义求解. 【详解】令，解得， 故选:C. 【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数的零点、指数函数图像应用、对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用 【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小. 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【知识点】求函数的零点 【分析】由零点定义可得答案. 【详解】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 【考点题型二】求函数零点个数 【例2】（23-24高一下·贵州遵义）函数的零点个数为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点的定义，结合分段函数的性质，分情况建立方程，可得答案. 【详解】当时，令，则，解得，故为函数的零点； 当时，令，则，解得，故为函数的零点. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点、求对数函数的定义域 【分析】AD选项，满足奇函数定义且存在零点；B选项，由函数定义域可知不是奇函数；C选项，函数无零点. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故为奇函数，且，存在零点，A正确； B选项，定义域为，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，B错误； C选项，与轴无交点，故无零点，C错误； D选项，定义域为R，且， 故为奇函数，且，D正确. 故选：AD 【变式2-2】（24-25高一上·北京）函数的零点有 个． 【答案】1 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】令解方程，即可得解； 【详解】解：因为，令，即，解得 故函数有1个零点； 故答案为：1 【考点题型三】判断函数零点所在区间 核心方法：零点存在性定理 【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点. 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间. 【详解】当时，设， 则， 故在上是单调递增函数； 又，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 【考点题型四】已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 核心方法：图象法 【例4】（24-25高二上·宁夏·期中）定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】根据题意画出函数图像可得的值，再将函数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，根据单调性和图象可得范围. 【详解】 由题意，在同一坐标系下画出，的图象，由图可知， ，所以，则， 由函数有三个零点得方程有三个解， 所以函数和函数图象有三个交点， 如图所示： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，且， 当时，在上单调递增， 因此当时，函数和函数图象有三个交点， 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对勾函数求最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】令，由题意可得的图象与的图象有解，画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示：    由图可得，的图象与的图象有解， 则. 故选:D. 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 【考点题型五】根据零点（根）所在区间求参数 核心方法：零点存在性定理 【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、判断指数函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据零点定义，转化为与在上有交点，求出值域即可得解. 【详解】因为函数在区间上存在零点， 即与在上有交点， 又， 在上单调递增， 故时，则， 设，则， 由可得， 即与在上有交点，则. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【详解】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若函数的零点在区间，内，则 ． 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理计算可得； 【详解】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以； 故答案为： 【考点题型六】用二分法求函数的零点的近似值 核心方法：二分法 【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 【变式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间.然后根据已知条件，分析近似值与真实零点的误差范围. 【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B. 【考点题型七】指数函数模型 【例7】（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意列式求得，从而得到关于的不等式，利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】依题意，当时，，解得， 所以，由得， 所以，则，故， 所以的最小整数值为. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（     ）年.（） A．155 B．159 C．162 D．166 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果. 【详解】设氚含量变成初始量的大约需要经过年， 则，， 即年， 故选：B. 【变式7-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】以时间为自变量，建立指数型函数，解即可. 【详解】解：设小时后此驾驶员的血液中酒精含量为， 则，即. 依题意当，即时才能驾驶， 解，得， 因为， 所以大约经过小时才能驾驶. 故答案为： 【考点题型八】对数函数数模型 【例8】（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（    ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】D 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用 【分析】由题意得到方程组，相减后得到，结合给出的参考数据，得到. 【详解】由题意得， 两式相减得，而， 故， 故选：D 【变式8-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数函数模型的应用（2） 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解. 【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 【变式8-2】（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 【答案】D 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 所以一般说话时声音的等级约为60dB. 故选：D 【考点题型九】拟合函数模型的应用题 【例9】（24-25高一上·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， (1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； (2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 【答案】(1)最符合，理由见解析； (2)最大车流量为千辆/小时,此汽车的平均速度千米/小时. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由基本初等函数模型性质并结合表中数据变化规律可得结论，代入计算可求得； （2）利用基本不等式计算即可得最大车流量为千辆/小时,此时平均速度千米/小时. 【详解】（1）根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式； 只有符合题意； 将代入表达式可得， 解得 （2）由（1）可知， 由基本不等式可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立； 因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时. 【变式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)； (2)且定义域为； (3)441元. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题、对勾函数求最值 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【详解】（1）由题意，，可得； （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； （3）由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值441元. 【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)选模型②，且 (2) (3)约为10℃ 【知识点】求指数函数在区间内的值域、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 【考点题型十】零点个数问题（解答题） 【例10】（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】(1)图象见解析，或 (2)或 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据解析式画出图像，结合图像即可求解不等式； （2）由图像即可求解. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； （2） 如图，与有2个交点，则或. 【变式10-1】（18-19高一上·浙江宁波·期中）已知函数 (1)若函数在上有最大值，求实数a的值； (2)若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）由题，，令，转化为关于的二次函数求参数范围； （2）由（Ⅰ），令，因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点，进而得到答案． 【详解】（1）由题， 因为，所以令，对称轴为 ， 当时， ，解得（舍）， 当时，，解得， 所以. （2）由（1）， 由，令，对称轴为， 因为函数在上有且只有一个零点， 所以的图像在上与轴只有一个交点， 所以 ，解得， 或者，即，解得， 当时，与轴在上有两个交点，故舍去， 综上，或. 【变式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】(1) (2) (3)和 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 【考点题型十一】零点代数和问题 【例11】（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 【答案】(1) (2)最小值为4，最大值为5 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据一元二次方程根的分布可得，进而求解即可； （2）由韦达定理得，进而化简，令，，利用对勾函数的单调性求解最值即可. 【详解】（1）由题意， 得，解得， 所以m的取值范围为. （2）由韦达定理得，，且，即或， 则，且恒成立， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 令，， 则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， 则的最小值为4，最大值为5. 【变式11-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求的表达式； (2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）作出函数图象，由图象可得满足题意的不等式，从而求得参数范围； （3）由韦达定理（或二次函数性质）得出代入后求得的取值范围，再由不等式恒成立得的范围． 【详解】（1）时，，， 为奇函数，则， 所以； （2）作出的大致图象，如图，要满足题意，    则，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由得，， 同理 ， 因为，所以， 所以， 恒成立，则． 【变式11-2】（23-24高一上·重庆·期中）函数，其中为常数，有这5个不同的实数解，并且有． (1)在坐标系中画出函数的图象，并求的取值范围（用表示）； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、画出具体函数图象、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）作出函数的图象，结合图象，即可得出的取值范围； （2）根据已知求出的值（或关系），将表示出得到.换元令，则.设，根据对勾函数的单调性，即可得出函数的最小值. 【详解】（1）作出函数的图象 由图象可知，当时，直线与的图象有5个交点， 所以，. （2）当时，. 易知为方程，即的较小的解， 所以，； 为方程，即的解， 由韦达定理可知，，，且； 为方程的解，； 为方程的解，. 所以， . 因为，所以，. 令，则， 设， 根据对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，在处取得最小值 ， 此时有，所以，满足条件. 所以，原式的最小值为. 【考点题型十二】函数与方程综合 【例12-1】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若方程有两个不等实根，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）利用根与系数的关太即可求解； （2）利用方程有两根可得，，，由已知可得，可求取值范围. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以是的两根，所以，解得； （2）方程有两个不等实根，， 所以，为的两根， 所以，所以，，， 又，两边平方得， 即，，所以， 又，所以， 所以， 同理可得， ， 所以的取值范围为. 【例12-2】（23-24高一上·江苏泰州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 【答案】(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数” (2)不是，理由见解析 (3) 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数的零点、函数新定义 【分析】（1）（2）根据所给定义判断即可； （3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）对于，则， 又函数在定义域上单调递增， 所以不存在使得，即不是“弱偶函数”， 若存在使得，即， 即，又，当且仅当，即时取等号， 所以方程无解，故不存在使得， 即不是“弱奇函数”， 综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”. （2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”. （3）由在上恒成立， 转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，， 即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论. 【变式12-1】（24-25高一上·上海徐汇·期中）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. (1)已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. (2)设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． (3)已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 【答案】(1) (2) (3)2或4 【知识点】函数与方程的综合应用、解含有参数的一元二次不等式、求函数零点或方程根的个数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据绝对值的定义化简函数，再根据函数恒成立，分离参数进行讨论即可； （2）根据函数的定义，在函数中给定的自变量，只有唯一确定的与之对应，即可解答； （3）根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可解答. 【详解】（1）①当时，，则， 此时恒成立，故； ②当时，，则， 若，即 令为对勾函数，在上单调递减，所以， 故； ③当时，若，则，同②符合题意成立； 若，则，同①符合题意成立. 综上所述，的取值范围为. （2）由条件①得，，解得或， 所以当时，；当时，， 又因为关于的方程无实数解，所以且, 所以. （3）①若函数有两个相等的实数根， 则，得，实数根， 令，则， 当时，，此时，有2个解； ②若函数有两个不相等的实数根， 则，得，此时两个实数根分别是， 而， 即在时成立， 此时，有4个解； 综上所述，集合有2个或4个元素. 【点睛】（1）考查绝对值不等式中对参数进行分类讨论；（2）考查函数自变量与应变量一一对应的关系；（3）考查一元二次方程的根与判别式的关系. 【变式12-2】（24-25高一上·上海·期中）已知. (1)若，证明：，并指出等号成立的条件; (2)已知，设关于的方程的两个非零实数根为，问是否存在，使得对任意以及恒成立，若存在请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【知识点】函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）利用换元法，代入后利用基本不等式即可证明； （2）由题意可转化为有两个非零实数根为，结合韦达定理表示并求出，进而得到，令，利用恒成立得到不等式组,解出即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 令，则， 所以， 当且仅当时，即时,等号成立. 由，得当时等号成立，所以. （2）由可得：， 化简得， 所以关于的方程的两个非零实数根为， 可以转化为有两个非零实数根为， 所以， 所以， 因为，所以当时，， 若使恒成立，则， 所以得，对任意，都有成立. 设，， 若使对任意，都有成立， 则， 解得或. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】对于函数， 当时, ，则 ， ， ， ，， 所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点， 内一定包含的零点． 故选：C. 2．（24-25高一上·河南新乡·期中）某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 【答案】D 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】设每束鲜花的售价降低元，由日销售额，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：设每束鲜花的售价降低元， 则花店该品种鲜花的日销售额: ， ， 故当，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日销售额最大． 故选：D 3．（24-25高一上·江西·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 【答案】B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 4．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】转化为与有3个交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象，    若与有3个交点，则. 故选：C 5．（24-25高一上·北京·期中）函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据解析式直接判断单调性，利用零点存在性定理判断零点是否存在. 【详解】由在上单调递增，且， 所以函数在区间内的零点个数是1. 故选：B 6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数函数模型的应用（1）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得，计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， 即. 故选：A. 7．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据对称性，先求出当时关于原点对称的函数解析式，然后将问题转化为当时与的图象有公共点，再转化为方程有解问题， 最后结合图象即可得解. 【详解】由函数定义域可知，， 当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解， 所以，即在时有解， 作出函数的图象如图， 由图象可知，，得，综上所述，， 故选：D. 8．（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】①在中，令即可判断①；②由.所以的周期为4，再利用是偶函数，可得，从而可判断②；③依题意知，函数在上为增函数，利用的周期为4，且是偶函数，从而可判断③；根据可判断④． 【详解】对于任意，都有成立， 令，则，即， 又因为是上的偶函数，所以， 则，即函数是周期为4的周期函数． ①，正确； ②的周期为4，又是上的偶函数，所以， 故直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确； ③：且时，都有成立则函数在上为增函数， 是上的偶函数，函数在上为单调递减函数 而的周期为4，函数在上为减函数，故③不正确； ④，的周期为4，函数在上为增函数，在上为减函数， 在上只有一个零点2， 则， 所以，函数在上有4个零点，故④正确． 故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】分段函数的性质及应用、画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】由题意，作出函数的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可. 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 10．（24-25高一上·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 三、填空题 11．（24-25高一上·山东·期中）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据解析式画出大致图象，结合的性质研究临界情况下参数值，数形结合确定参数范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下：    而恒过定点， 当与在处相切时，有仅有一个解， 所以，此时， 当过时，，此时， 结合图象，知时，交点至少两个. 故答案为： 12．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出函数图像，结合二次函数和一次函数的性质，找出满足题意得图像段，缩小变量范围，后将M转化为求二次函数的值域问题. 【详解】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的. 满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移. 令，即，解得或. 令时，解得. 令，即，解得或. 令时，解得. 画出草图如下： 由，，知，， 又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则 . 令， 则，， 则，， ，对称轴为，则在单调递减. .则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·山东·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)3 (2)方案较合算，理由见详解 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【详解】（1）由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； （2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 14．（24-25高一上·陕西西安·期中）设函数， (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)讨论方程，解的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用、求函数的零点 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质及翻折变换法则，画出函数的图象； （2）根据（1）中的图象，分别讨论的图象与交点的个数，即可得到方程的解的情况． 【详解】（1）函数的图象如图所示 （2）由（1）得 当时，的图象与无交点，则方程无根； 当，或时，的图象与有两个交点，则方程有两根； 当时，的图象与有四个交点，则方程有四根； 当时，的图象与有三个交点，则方程有三根． 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 【答案】(1) (2) 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【详解】（1）依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时； （2）由题意令，得，即， 则， 则， 即 解得： 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度. 16．（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析，，； (2)9个月； (3)答案见解析. 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据图表可知随x增长函数值也增长，可确定函数模型，再根据给定数据计算结合误差大小判断选择函数模型. （2）由（1）中选择的函数模型，列式根据指数与对数的运算法则计算即得. （3）求出方案二在的函数模型，计算分析即可得解. 【详解】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 17．（24-25高一上·辽宁大连·期中）函数是定义在上的奇函数，已知当时，； (1)求函数的解析式； (2)作出函数的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)图象见解析，的单调增区间为和 (3)或 【知识点】求函数的单调区间、由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先求得，然后再根据奇偶性求解出时的解析式，则的解析式可知； （2）根据分段函数解析式作出函数图象，然后根据图象结合二次函数的对称轴确定出单调递增区间； （3）将问题转化为的图象有个不同交点，然后根据图象分析出的取值集合. 【详解】（1）当时，因为为奇函数，所以，所以； 当时，，所以， 因为为奇函数，所以，所以； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    由图象可知，的单调增区间为和. （3）因为方程有个相异的实数根，所以的图象有个不同交点，    由图象可知，的取值集合为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单09 集合及其运算 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 【清单02】函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【清单03】二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【清单04】区间中点 对于区间，其中点 【清单05】二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【清单06】常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 【考点题型一】求函数的零点 核心方法：令（注意零点不是点，零点是数） 【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【考点题型二】求函数零点个数 【例2】（23-24高一下·贵州遵义）函数的零点个数为 . 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·北京）函数的零点有 个． 【考点题型三】判断函数零点所在区间 核心方法：零点存在性定理 【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 核心方法：图象法 【例4】（24-25高二上·宁夏·期中）定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为 ． 【变式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【考点题型五】根据零点（根）所在区间求参数 核心方法：零点存在性定理 【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若函数的零点在区间，内，则 ． 【考点题型六】用二分法求函数的零点的近似值 核心方法：二分法 【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】指数函数模型 【例7】（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 【变式7-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（     ）年.（） A．155 B．159 C．162 D．166 【变式7-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 【考点题型八】对数函数数模型 【例8】（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（    ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A．29 B．30 C．31 D．32 【变式8-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 【考点题型九】拟合函数模型的应用题 【例9】（24-25高一上·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， (1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； (2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 【变式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【考点题型十】零点个数问题（解答题） 【例10】（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【变式10-1】（18-19高一上·浙江宁波·期中）已知函数 (1)若函数在上有最大值，求实数a的值； (2)若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【变式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【考点题型十一】零点代数和问题 【例11】（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求的表达式； (2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围. 【变式11-2】（23-24高一上·重庆·期中）函数，其中为常数，有这5个不同的实数解，并且有． (1)在坐标系中画出函数的图象，并求的取值范围（用表示）； (2)若，求的最小值． 【考点题型十二】函数与方程综合 【例12-1】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若方程有两个不等实根，，且，求的取值范围. 【例12-2】（23-24高一上·江苏泰州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 【变式12-1】（24-25高一上·上海徐汇·期中）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. (1)已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. (2)设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． (3)已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 【变式12-2】（24-25高一上·上海·期中）已知. (1)若，证明：，并指出等号成立的条件; (2)已知，设关于的方程的两个非零实数根为，问是否存在，使得对任意以及恒成立，若存在请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南新乡·期中）某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 3．（24-25高一上·江西·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 4．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期中）函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·陕西榆林·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 三、填空题 11．（24-25高一上·山东·期中）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 12．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·山东·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 14．（24-25高一上·陕西西安·期中）设函数， (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)讨论方程，解的情况. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 16．（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 17．（24-25高一上·辽宁大连·期中）函数是定义在上的奇函数，已知当时，； (1)求函数的解析式； (2)作出函数的图象，并写出函数的单调增区间； (3)若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$