专题08 对数与对数函数（考点清单+知识导图+ 16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单08 对数与对数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 【清单02】指数式与对数式的相互转化 当且， 【清单03】对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【清单04】对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【清单05】对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【清单06】对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 【清单07】对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点题型一】指数与对数综合运算 【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式： (1)； (2). 【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）求值： (1)； (2). 【变式1-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）求下列各式的值． (1) (2) 【考点题型二】指数式与对数式的相互转化 核心方法： 【例2】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】（多选）（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点题型三】利用换底公式化简求值 核心方法：换底公式：（且，，，且） 特别的： 【例3】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【变式3-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型四】有附加条件的对数求值问题 【例4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值； ②求的值； （2）已知，，①用，表示；  ②用，表示． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示 . 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【变式4-3】（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 【考点题型五】对数函数概念辨析 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)； ②y＝2log4(x－1)(x＞1)； ③y＝ln x(x＞0)； ④，(x＞0，a是常数)． 其中为对数函数的是 (只填序号)． 【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题 【例6】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【变式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【考点题型七】对数函数过定点问题 核心方法： 【例7】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【变式7-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 【考点题型八】指数与对数函数的图象综合 【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·江苏宿迁）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】对数型复合函数值域 【例9】（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 【变式9-2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 【变式9-3】（23-24高一上·广东·期中）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【考点题型十】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型） 核心方法：换元法（特别题型：换元必换范围） 【例10-1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）已知函数. (1)若，求方程的解集； (2)当时，求函数的最小值. 【变式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为 ． 【变式10-2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为. (1)设，求t的取值范围； (2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值 【考点题型十一】对数型复合函数的单调性问题 核心方法：复合函数求单调性法则（特别题型，容易忽视定义域而造成错解） 【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为 ． 【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 【考点题型十二】根据对数型复合函数的单调性求参数 核心方法：复合函数求单调性法则 【例12】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【变式12-1】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】.（24-25高三上·广东惠州·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型十三】利用对数函数单调性比大小 核心方法：单调性 【例13】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十四】利用对数函数单调性解不等式 核心方法：单调性 【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围; (2)若，解不等式. 【例14-2】（23-24高一上·山东泰安·期中）函数. (1)如果时，有意义，求实数的取值范围； (2)当时，值域为，求实数的值； (3)在（2）条件下，.解关于的不等式. 【变式14-1】（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【变式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【考点题型十五】对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题） 核心方法：单调性 【例15-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【变式15-1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【变式15-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【考点题型十六】对数函数中新定义问题 【例16】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【变式16-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 【变式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 提升训练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·期中）（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题）函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知， 则（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知． (1)求的解析式； (2)函数，若对任意，总存在，使成立，求a的取值范围． 15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 16．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 对数与对数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 【清单02】指数式与对数式的相互转化 当且， 【清单03】对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【清单04】对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【清单05】对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【清单06】对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 【清单07】对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点题型一】指数与对数综合运算 【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】（1）由指数、对数运算法则运算即可； （2）由对数运算法则即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1） ； （2） . 【变式1-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果. （2）利用对数的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 【考点题型二】指数式与对数式的相互转化 核心方法： 【例2】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可. 【详解】由，可得，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（多选）（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AD 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解. 【详解】因为正实数，满足，且， 所以，所以， 所以， 所以即解得或， 当时，当时， 故选：AD. 【考点题型三】利用换底公式化简求值 核心方法：换底公式：（且，，，且） 特别的： 【例3】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【答案】AC 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AC 【变式3-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数幂的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【考点题型四】有附加条件的对数求值问题 【例4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值； ②求的值； （2）已知，，①用，表示；  ②用，表示． 【答案】（1）①，②；（2）①，② 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质及法则计算可得. 【详解】（1）①因为，，所以； ②，， ； （2）①因为，， 所以； ②因为，， 所以 ． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 【变式4-3】（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 【答案】（1）2；（2） 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据对数运算性质化简求值即可； （2）根据换底公式及对数运算性质化简求解即可. 【详解】（1） . （2）. 【考点题型五】对数函数概念辨析 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)； ②y＝2log4(x－1)(x＞1)； ③y＝ln x(x＞0)； ④，(x＞0，a是常数)． 其中为对数函数的是 (只填序号)． 【答案】③ 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数满足，且，判定即可 【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数． 故答案为：③ 【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题 【例6】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数的真数大于、分式分母不为求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数的性质求函数定义域. 【详解】由题设，可得，即定义域为. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围 【详解】由，得，记为， 由，得，且， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，则，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，， 则集合是集合的真子集，则，所以； 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 【考点题型七】对数函数过定点问题 核心方法： 【例7】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 【变式7-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】利用指数函数与对数函数的性质求得两定点的坐标，从而得解. 【详解】对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 所以. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，此时，， 所以，函数（且）的图象恒过定点， 因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，故. 故答案为：. 【考点题型八】指数与对数函数的图象综合 【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、函数图象的变换、对数函数图象的应用 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 【例8-2】（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高二下·江苏宿迁）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断 【详解】由，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC 【考点题型九】对数型复合函数值域 【例9】（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、基本不等式求和的最小值 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 【变式9-2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域 【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高一上·广东·期中）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数式与对数式的互化、求对数函数在区间上的值域、求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域 【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案. （2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，可得，整理可得， 分解因式可得，由，解得，则. （2）由，根据函数在上单调递增，则， 令，， 根据二次函数的性质，则， 由函数在上单调递增，则. 【考点题型十】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型） 核心方法：换元法（特别题型：换元必换范围） 【例10-1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域 【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）已知函数. (1)若，求方程的解集； (2)当时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域、对数函数单调性的应用 【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集； （2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）， 若，则， 令，则方程为，解得：或， 则或， ∴或， ∴方程的解集为. （2）∵， ∴，令， 则在上的最小值等价于在上的最小值， 对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 综上，. 【点睛】关键点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题. 【变式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域、复合函数的值域 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式10-2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为. (1)设，求t的取值范围； (2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值 【答案】(1) (2)的最大值为12，此时；最小值为，此时. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数函数在区间上的值域、与二次函数相关的复合函数问题、求对数函数的最值 【分析】（1）根据对数函数的单调性求出的取值范围； （2）在（1）的基础上，化简得到，求出最值和对应的x的值. 【详解】（1）在单调递增， 故； （2）， 令，， 则函数变形为， 当时，，此时，解得， 当时，，此时，解得 【考点题型十一】对数型复合函数的单调性问题 核心方法：复合函数求单调性法则（特别题型，容易忽视定义域而造成错解） 【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】（也对） 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 【变式11-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是. 故答案为： 【考点题型十二】根据对数型复合函数的单调性求参数 核心方法：复合函数求单调性法则 【例12】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式12-1】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 【变式12-2】.（24-25高三上·广东惠州·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】若函数在上单调递增，则，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点题型十三】利用对数函数单调性比大小 核心方法：单调性 【例13】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论. 【详解】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 【变式13-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用对数函数单调性可比较大小. 【详解】因对数函数，在上单调递增， 则，即. 故选：A 【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，即. 故选：C 【考点题型十四】利用对数函数单调性解不等式 核心方法：单调性 【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围; (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）在上单调递减，所以，求出函数的定义域，则为其定义域的子集，求解即可. （2）利用对数的加法运算化简解析式，然后利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）依题意在上单调递减，所以， 所以由， 解得，所以 ，                  解得，即的取值范围是. （2）依题意， 即，从而有                      解得或，                                         即不等式解集为. 【例14-2】（23-24高一上·山东泰安·期中）函数. (1)如果时，有意义，求实数的取值范围； (2)当时，值域为，求实数的值； (3)在（2）条件下，.解关于的不等式. 【答案】(1) (2)0 (3)答案见解析 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）变换，令，计算最值得到答案. （2）令，的值域包含，考虑和两种情况，计算得到答案. （3）确定，函数单调递增，得到，考虑，，，几种情况，解得答案. 【详解】（1），，即， 令，，则恒成立， ，，故， a的取值范围为. （2）令，的值域包含， ①时，，其值域为，满足条件； ②时，，令，，， 函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件； 综上所述：. （3），定义域为，，函数单调递增， ，即， 即，且， ①当时，解集为或； ②当时，解集为； ③当时，解集为或； ④当时，解集为； 【变式14-1】（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义求解； （3）将转化为求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则<3，化简得 且， 解得或. 【变式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增 (3) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）求出函数定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性； （2）将变形为，根据复合函数的单调性的判断方法，即可判断出答案； （3）根据函数的单调性，可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得函数定义域为，关于原点对称， 则， 故函数为奇函数； （2）由于， 由于函数在上单调递减，而在上单调递减， 故在上单调递增； （3）因为在上单调递增， 故成立，需满足， 解得. 【考点题型十五】对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题） 核心方法：单调性 【例15-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【详解】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求对数函数在区间上的值域、由奇偶性求参数、指数不等式 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递增；证明见解析 (3)． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入可得解析式，利用结合可得解析式； （2）证明当时，即可； （3）不等式可化简为，后令，结合双沟函数单调性可得答案. 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； （2）在单调递增. 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 【变式15-1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数 【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可； （2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可. 【详解】（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得， 经检验，对于，成立，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以，，， ，， 所以当时的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即实数m的取值范围是． 【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求对数函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； （2）令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 【变式15-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明； （2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】（1） 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即 . 函数在上单调递增. （2）由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， 为单调递增函数， ， ， 解得 . 实数a的取值范围 【考点题型十六】对数函数中新定义问题 【例16】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 【变式16-1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”． (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上是“和一函数”． ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1)不是“和一函数”；理由见解析 (2)①；②． 【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数新定义、对勾函数求最值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）举出反例即可； （2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下： 在上是减函数， ， 当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义， 故在区间上的函数不是“和一函数”； （2）①在上是增函数， ， ∴值域， 又在定义域上是“和一函数”， 对任意，，存在，使成立， 则， ，， 则，即， ，则， ②，即， ， ，解得， 则， 令，， 在上是减函数，在上是减函数， ∴在上是减函数，则， ， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【变式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的所有可能值为或 【知识点】函数新定义 【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得； （2）结合定义可得，，即可得解； （3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得. 【详解】（1）不是关于的“函数”． 解法一：当时，，所以不存在，使得 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则， 不存在，使得； （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． 同理，由是关于的“函数”， 可得， 综上，； （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得， ①当时， ，， 从而，解得， 因唯一，令，解得(舍)或(舍)； ②当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； ③当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； 综上，的所有可能值为或． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论. 提升训练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏·期中）（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】运用对数运算性质计算即可 【详解】由，， 则， 故选：C 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 5．（辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题）函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由即可求解. 【详解】是奇函数，故 ， 则，解得，经验证符合. 故选：D 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由幂函数性质比较，再结合指数函数性质即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 7．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、研究对数函数的单调性 【分析】 由已知得出函数图象的对称中心，函数是奇函数，从而得出函数为周期函数，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化简计算函数值． 【详解】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数， 因为， 故函数的周期为4，则，而， 所以由可得，而， 所以，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】CD 【知识点】研究对数函数的单调性、根据全称命题的真假求参数 【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解． 【详解】因为命题“”为真命题， 所以． 令， 根据增函数减去减函数知：为增函数， 当时，有最小值， 故实数的取值范围为． 故选：CD． 10．（24-25高三上·河南三门峡·期中）在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】对数的运算、比较对数式的大小 【分析】根据对数的运算法则和单调性求解即可. 【详解】由换算公式和图表可知，，，， 又因为函数在上单调递增， 所以对于A：，说法正确； 对于B：，说法错误； 对于C：，，，说法正确； 对于D：，说法错误； 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】分析可知，内层函数在上为减函数，且，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以，内层函数在上为减函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意当，，则可转化为，可求得参数的取值范围. 【详解】因为，， 依题意，，即，得. 所以所求实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，过定点． (1)若，求函数的定义域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据求出的值，即可得到解析式，从而得到，结合对数函数的性质求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得到在上恒成立且恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为过定点， 所以，解得，所以， 所以， 则，解得，所以的定义域为. （2）因为， 所以不等式在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立且恒成立， 则且在上恒成立， 因为， 且，均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，解得，即的取值范围. 14．（2024高三·全国·专题练习）已知． (1)求的解析式； (2)函数，若对任意，总存在，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由换元法求出的解析式； （2）令，则代入化简，由对勾函数的性质可求出的值域，再由二次函数的性质求出的值域，由题意可知的值域是值域的子集，列出不等式组，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）令，得到，即，； （2）令，则，， 所以， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， ∴值域为， 当时，，令， 所以， 由二次函数的性质可得， ∵的值域是值域的子集，∴，解得． 15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 16．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”． (1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；； 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）根据函数是“倍缩函数”，结合题意中的定义即可求解； （2）由题意可得，然后分类讨论，从而求解出的值，从而求解. 【详解】（1）由题意得，为“倍缩函数”，则， 因为在其定义域上为单调递增函数， 在其定义域上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递增， 所以，解得， 所以为的两个解，令，， 得有两大于零的不同的根，所以，解得. 故的取值范围为. （2）存在，，，理由如下： 由题意得为区间上的“倍缩函数”， 所以， 所以当时，因为，故此种情况不符合题意； 所以当时，，此时在区间上单调递减， 所以，解得：，故此种情况不符合题意； 当时，，此时在区间上单调递增， 所以，解得， 所以是方程的两正根，所以，得， 此时：，，故此种情况符合题意； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有最小值，故此种情况不符合题意. 综上所述：存在，使为区间上的“1倍缩函数”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$