专题07 指数与指数函数（考点清单+知识导图+ 15个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单07 指数与指数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【清单02】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【清单03】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【清单04】有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【清单05】指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【清单06】指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【清单07】指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【清单08】指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【考点题型一】根式的化简求值 核心方法：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【知识点】根式的化简求值 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算法则即可判断. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：CD. 【考点题型二】分数指数幂的化简求值 核心方法：根据分数指数幂定义 ①（，，） ②（，，） 【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据根式的运算与指数幂的运算法则化简即可； （2）根据根式的性质与指数幂的运算法则化简即可； （3）根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 【变式2-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）计算： . 【答案】3 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】 . 故答案为：3. 【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）计算: . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果. 【详解】易知原式； 故答案为： 【考点题型三】条件求值 核心方法：完全平方公式；立方公式 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】①7；②47 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果； ①由求解出结果；②由求解出结果. 【详解】①因为，所以，即，所以； ②由①知，两边平方得，. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用平方关系求解. 【详解】①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【考点题型四】指数幂的综合运算 【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据幂的运算性质，可得答案. 【详解】（1） . （2）. 【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数运算公式直接求值； （2）根据指数运算公式化简求值. 【详解】（1） ； （2） . 【变式4-2（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）108；（2）2 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质分别计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数） 【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数是指数函数求参数 【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案． 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 故选：B 【变式5-1】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于的取值范围. 【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题. 【考点题型六】指数函数的图象过定点 核心方法： 【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为 ． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可. 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过的定点为. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定的坐标． 【详解】令，解得，此时， 点的坐标为. 故答案为：. 【考点题型七】指数（型）函数图象的识别 【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域 【分析】由奇偶性及函数值即可判断. 【详解】由知：， ，偶函数，AC错， ，B错， 故选：D 【变式7-3】（多选）（24-25高一上·广东·期中）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用 【分析】结合指数函数的图象性质，分，分别研究单调性和渐近线，进而得到答案. 【详解】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合； 对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合； 故选：BC. 【考点题型八】画指数（型）函数图象 核心方法：根据函数图象变换方法 【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】． 【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围. 【详解】 由，作出函数的图象如图． 由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即. 故实数a的取值范围为． 【变式8-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案. 【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的． （2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （3）与的图象关于y轴对称， 作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （4）为偶函数，其图象关于轴对称， 故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象． 【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小 核心方法：根据指数函数的单调性 【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用指数函数和幂函数单调性来比较各选项中数的大小. 【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减. 又因为，，即. 所以，A选项正确. 对于B选项,对于，是单调递减函数，. 在单调递增，,所以，B选项错误. 对于C选项,，. 是单调递增函数，.所以，C选项正确. 对于D选项,，. 是单调递增函数，，则，其倒数关系为. 所以，D选项错误. 故选：AC. 【变式9-1】（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性，即可判断. 【详解】，，， 单调递减，， 所以，即. 故选：D 【变式9-2】（24-25高一上·天津南开·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：根据指数函数的单调性 【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1， (2) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）由奇函数的性质可得，即可求出m的值；由可得，即可求解； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为R，且为奇函数， 则有，即， 经检验，符合题意，所以. 又，则，即，即， 则，所以函数的值域为. 另解：显然是R上的增函数，且， 由函数单调性的性质可得在上递增， 即也在上递增，故当时，，同时， 由增函数性质可得，故函数的值域为. （2）由，可得， 又函数为奇函数，则， 所以 ， 又是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得是R上的单调减函数， 即是R上的单调增函数， 由可化为，即， 所以实数的取值范围为. 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)直接利用奇函数性质可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a. (2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可. 【详解】（1）因为函数（，且）是定义域为的奇函数， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 因为函数的定义域为关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，故满足题意， 又因为的图象过点， 所以，，且， 解得或（舍去）， 综上t和a的值分别为2，2. （2）由（1）可知函数是奇函数， 所以不等式等价于， 因为指数函数在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以不等式等价于， 即，不等式恒成立， 当且仅当，解得， 所以实数k的取值范围为. 【变式10-2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，在和上都是减函数． (2)． 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明． （2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得， ∴，， ，它在和上都是减函数， 设且均不为0，， 若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数， 同理若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数． （2），时，，时，， ，是奇函数，则， ，若，则，不合题意， ∴且，解得． 【变式10-3】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是定义在上的奇函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可； （2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解. 【详解】（1）解：因为，在上单调递增， 所以在上单调递减，证明如下： 证明： ． 设，则， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上是减函数； （2）解：因为函数是奇函数， 所以成立，等价于成立， 因为在上是减函数， 所以，，即，解得：， 所以实数的取值范围为． 【考点题型十一】指数型复合函数的单调性 核心方法：复合函数单调性法则 【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【变式11-1】（多选）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式11-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 核心方法：换元法 【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值； （2）首先将函数和在定义域的最小值设为，由题意可知，首先求得，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求，然后解不等式，即可求解. 【详解】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值； （2）设在上的最小值为，在上的最小值为， 由题意可知，， 若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2，即； 所以在上的最小值应该满足，； 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最小值为，则，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最小值为，则，解得：， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的最小值，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值. 【变式12-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 【变式12-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有最小值3，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解； （2）设，结合指数函数单调性可知的最小值为1，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）因为，所以. 设，则. 因为，所以为R上的单调递增函数. 又在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）设，则.因为，所以为R上的单调增函数. 因为有最小值3，所以，的最小值为1. 当时，，无最小值，不合题意； 当时，则，解得. 【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 核心方法：换元法 【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求已知指数型函数的最值、复合函数的最值 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)最大值为，最小值为． 【知识点】求已知指数型函数的最值、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据，列出方程组，解出的值，进而可得的解析式； （2）先求出，然后利用换元法，结合二次函数的知识可求出结果． 【详解】（1）由，得， 解得，．且． 所以a，b的值分别为1，2，的解析式为． （2）， 令，则由得， 所以变为，． 对称轴为直线，， 所以当，即时，； 当，即时，． 综上时，的最大值为，最小值为． 【变式13-2】（24-25高一上·青海海东·阶段练习）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为；单调递减区间为，单调递增区间为 【知识点】求指数函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式； （2）令，，利用复合函数的单调性可得出函数在上的单调增区间和减区间，并由此求出函数的值域. 【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，解得， 因此，. （2）解：，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 又因为函数单调递增， 所以，函数在上的减区间为，增区间为. 故当时，， 又因为，，故， 所以，函数在上的值域为. 【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 核心方法： 【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇偶性定义研究式子恒成立即可求得的值； （2）利用奇偶性定义判断，利用单调性定义证明即可； （3）可将不等式转化为，再应用函数的单调性转化成，再分类讨论解出的取值范围即可. 【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以恒成立，所以； 所以，即， 所以恒成立，所以 （2）因为， 则的定义域为， 因为，所以为奇函数； 因为， 于是任取，且， 则 ， ， 所以为上增函数； （3）解：因为， 所以即， 又因为为上增函数，所以对任意恒成立， 当时，解集不为，所以； 当时，只需，可得到. 综上实数的取值范围是 【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 【变式14-2】（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）定义域为的奇函数满足，据此求解即可； （2）根据定义证明单调性即可； （3）根据奇函数性质转化成，再结合函数单调性求解. 【详解】（1）因为为上的奇函数， 所以，得. 又，得. 经检验，符合题意. （2）任取，且， 则. 因为，根据指数函数单调性，所以. 又因为， 所以，所以为上的减函数. （3）因为，不等式恒成立， 所以. 因为为奇函数，所以. 因为为上的减函数， 所以，即恒成立， 而，取得等号. 所以. 【变式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 【考点题型十五】指数函数中新定义问题 【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 【答案】(1)不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由见解析 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次方程根的分布问题、函数新定义、等式的性质与方程的解 【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可． 【详解】（1）因为，其定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得， 所以不是“伪奇函数”． 若，则， 则，且，解得， 故在函数定义域内不存在非零实数满足， 所以不是“伪偶函数”． （2）因是幂函数， 则，所以，， 所以，， 因为在上是“伪奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，则，且， 令，且， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即，故， 因为是“伪偶函数”， 所以存在非零实数解， 即存在非零实数解，显然， 综上，实数的取值范围为． （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， ∵，当且仅当，即时取等号， 又，∴， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即， 故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为． 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 【变式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数新定义、判断指数函数的单调性 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意，结合在上的单调性和值域，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述，a的取值范围为. （3）当时，函数在上单调递减， 则，， 由题意，对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意. 综上所述，b的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 【变式15-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”. (1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由： (2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围； (3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值. 【答案】(1)函数为上的“卷函数”，理由见解析 (2) (3)4 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）写出函数的分段函数形式，再结合新定义判断即可； （2）令，结合二次函数的性质及题意可得不等式恒成立，进而结合函数的值域可得，进而求解即可； （3）根据题意可得存在区间和常数，使得恒成立，即，列出方程组即可求得m、c、n的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m、n的值，进而求解. 【详解】（1）函数为上的“卷函数”，理由如下： 对于函数， 当时，，且当或时，恒成立， 所以函数为上的“卷函数”. （2）由于，当且仅当，即时等号成立， 令，则， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以当时，， 由题意，不等式对恒成立， 即不等式恒成立， 由（1）知，当时，，且当或时，恒成立， 则，解得， 即实数x的取值范围为. （3）因为函数是区间上的“卷函数”， 则存在区间和常数，使得恒成立. 所以恒成立，即， 解得或， 当时，， 当时，，当时，恒成立. 此时，是区间上的“卷函数”. 当时，. 当时，，当时，， 此时，不是区间上的“卷函数”. 综上所述，，， 所以. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 2．（24-25高一上·广东清远·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 3．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可； 【详解】由题知，解得. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】根据奇偶性可排除CD，根据或时，可排除B. 【详解】由于的定义域为，关于原点对称， 且为偶函数，故图象关于轴对称，排除CD, 又当或时，，可排除B, 故选：A 6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】结合指数函数的单调性和奇偶性，以及运用参数分离和基本不等式、结合能成立思想，可得所求范围． 【详解】因为是上的奇函数，所以，所以. 因为，所以，解得， 所以， 检验，此时为上的奇函数， 因为函数为减函数， 所以函数为增函数； 因为能成立， 所以能成立， 参变分离，即能成立. 因为（当且仅当，即时取等号）， 故选：D. 7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可. 【详解】函数定义域为关于原点对称， ，所以为奇函数， 在定义域为内任意选取两个自变量，且， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 因为，即，即， 结合单调性知，即，解得， 所以的范围是， 故选：A. 8．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、函数新定义 【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增, 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解； 综上所述；. 故选；C. 二、多选题 9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 10．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．若是偶函数，则 B．无论取何值，都不可能是奇函数 C．在区间上单调递减 D．的最大值小于1 【答案】ABC 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求参数 【分析】对于A，由函数定义得，由此即可验算；对于B，由实数域上奇函数的必要条件即可判断；对于C，由指数函数、复合函数单调性即可判断；对于D，由复合型指数函数的值域和最值即可判断. 【详解】对于A项，若是偶函数，则， 所以，即可得，故A项正确； 对于B项，不过点，故B项正确； 对于C项，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递减，故C项正确； 对于D项，，又在上单调递增， 所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用图象以及的值域来求得实数的取值范围. 【详解】依题意，， ， ，当时，， 由解得或， 而，结合图象可知：. 故答案为： 12．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．（山东省百师联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求指数型复合函数的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 14．（广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据题意可得，进而解出a，b的值，再利用函数单调性的定义证明单调性即可； （2）根据函数的奇偶性可将不等式化为，再结合单调性及定义域求解即可. 【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，且 所以，解得， 此时，则，符合题意， 所以. 函数在上单调递增，证明如下： 由， 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （2）由题意，函数是定义在上的奇函数， 由，即， 由（1）知，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数m的取值范围为. 15．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若函数，求在[1,3]的最小值； (3)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、判断指数函数的单调性、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）根据指数函数的性质解指数不等式即可得解集； （2）利用指数函数的性质结合基本不等式求最值即可； （3）根据指数函数与二次函数的性质，结合换元转化求函数最值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，且函数在上为减函数， 所以不等式的解集为； （2） 因为，所以，则， 当且仅当，则，即时取等号，取得最小值为1． （3）因为，所以， 令，∴， 所以当时，． 因为，则只需，所以，解得或． 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数. (1)求，的解析式； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，再解关于，的方程组即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）参变分离可得对任意的恒成立，结合对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 因为，则，即， 解得，； （2）由（1）知，设且， 则 ， 因为且，所以，，即，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递增； （3）因为不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立， 由（2）可得当时， 所以对任意的恒成立， 令，则，又对勾函数在上单调递增，在上单调递减， ，，所以， 所以，当且仅当， 即时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 17．（辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)． (3) 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由解聘 ，再由判断是否不一定有即得； （2）由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得； （3）方法一：由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得的范围；方法二：令，求出，等价转化得在上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，最后对进行分类讨论即可. 【详解】（1）是区间上的“2阶自伴函数” 对任意的，， 则，首先中唯一的， 其次时，，，因此，不一定有， 例如取，由解得， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”； （2）由已知，对任意，，， ，所以且， 即，解得． （3）方法一：由题意，， ， ，则，所以， 设，则， 于是，， ，， 所以对，恒成立，或恒成立， 恒成立，则，解得， 恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是． 方法二：， 令，则，则， 所以. 因为是在区间上的"2阶伴随函数"， 所以对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以， 即在上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的； 又因为开口向上，对称轴为. ①当，即时，在$[0，1]$上单调递增，则必有，解得； ②当，即时，在$[0，1]$上单调递减，则必有，解得； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新意识，解题关键是理解新定义并能应用转化，对为区间上的“阶自伴函数”，求参数范围问题，只要解方程，用表示（注意唯一解），然后由求得的范围，再利用此范围是的子集可求得参数（或范围）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 指数与指数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 【清单02】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【清单03】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【清单04】有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【清单05】指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【清单06】指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 【清单07】指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【清单08】指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【考点题型一】根式的化简求值 核心方法：①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【变式1-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】分数指数幂的化简求值 核心方法：根据分数指数幂定义 ①（，，） ②（，，） 【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 【变式2-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）计算： . 【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）计算: . 【考点题型三】条件求值 核心方法：完全平方公式；立方公式 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【变式3-1】（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）（1）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【考点题型四】指数幂的综合运算 【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2)． 【变式4-2（23-24高一上·山东泰安·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【考点题型五】指数函数的定义与求值（参数） 【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 【考点题型六】指数函数的图象过定点 核心方法： 【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为 ． 【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 【考点题型七】指数（型）函数图象的识别 【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）（24-25高一上·广东·期中）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】画指数（型）函数图象 核心方法：根据函数图象变换方法 【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 【变式8-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小 核心方法：根据指数函数的单调性 【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·天津南开·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：根据指数函数的单调性 【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)若，求实数的取值范围. 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 【变式10-2】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 【变式10-3】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是定义在上的奇函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型十一】指数型复合函数的单调性 核心方法：复合函数单调性法则 【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 【变式11-1】（多选）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式11-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 核心方法：换元法 【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 【变式12-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【变式12-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有最小值3，求的值. 【考点题型十三】可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 核心方法：换元法 【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 【变式13-2】（24-25高一上·青海海东·阶段练习）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域和单调区间． 【考点题型十四】与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 核心方法： 【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【变式14-2】（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【考点题型十五】指数函数中新定义问题 【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 【变式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 【变式15-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”. (1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由： (2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围； (3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东清远·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A．B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．若是偶函数，则 B．无论取何值，都不可能是奇函数 C．在区间上单调递减 D．的最大值小于1 三、填空题 11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 13．（山东省百师联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 14．（广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 15．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若函数，求在[1,3]的最小值； (3)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数. (1)求，的解析式； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17．（辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$