专题04 第四章 指数函数与对数函数（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期末考点大串讲 专题04 第四章 指数函数 与对数函数 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】整数指数幂 【清单02】根式 【清单02】根式 【清单03】分式指数幂 【清单04】有理数指数幂 【清单05】指数函数的概念 【清单06】指数函数的图象与性质 【清单06】指数函数的图象与性质 【清单07】指数函数的定义域与值域 【清单08】指数函数的图象变换 【清单09】对数概念 【清单09】对数概念 【清单10】指数式与对数式的相互转化 【清单11】对数的性质 【清单11】对数的运算性质 【清单12】对数的换底公式 【清单13】对数函数的概念 【清单14】对数函数的图象及其性质 【清单15】函数零点的概念 【清单16】函数零点存在定理及其应用 【清单17】二次函数的零点问题 【清单18】二分法 【清单19】常见函数模型 考点一：根式的化简求值 4 考点二：分数指数幂的化简求值 考点三：条件求值 考点四：指数幂的综合运算 考点五：指数函数的定义与求值（参数） 【答案】B 考点六：指数函数的图象过定点 考点六：指数函数的图象过定点 【答案】C 考点七：指数（型）函数图象的识别 【答案】B 考点七：指数（型）函数图象的识别 【答案】A 考点八：画指数（型）函数图象 考点八：画指数（型）函数图象 考点九：利用指数函数的单调性比较大小 【答案】AC 考点十：利用指数函数的单调性解不等式 考点十：利用指数函数的单调性解不等式 考点十：利用指数函数的单调性解不等式 考点十一：指数型复合函数的单调性 考点十一：指数型复合函数的单调性 【答案】A 考点十二：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 考点十二：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 考点十二：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 考点十三：可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 考点十三：可化为一元二次函数型指数型复合函数值域问题 考点十四：与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 考点十四：与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 考点十四：与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 考点十四：与指数函数的相关的综合问题（单调性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等问题） 考点十五：指数函数中新定义问题 考点十五：指数函数中新定义问题 考点十五：指数函数中新定义问题 考点十五：指数函数中新定义问题 考点十六：指数与对数综合运算 考点十七：指数式与对数式的相互转化 【答案】B 考点十八：利用换底公式化简求值 【答案】AC 考点十九：有附加条件的对数求值问题 考点二十：对数函数概念辨析 【答案】A 考点二十一：与对数函数有关的定义域问题 考点二十二：对数函数过定点问题 【答案】C 考点二十三：指数与对数函数的图象综合 【答案】A 考点二十四：对数型复合函数值域 【答案】D 考点二十五：对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型） 考点二十六：对数型复合函数的单调性问题 考点二十七：根据对数型复合函数的单调性求参数 考点二十七：根据对数型复合函数的单调性求参数 【答案】D 考点二十八：利用对数函数单调性比大小 【答案】A 考点二十九：利用对数函数单调性解不等式 考点二十九：利用对数函数单调性解不等式 考点二十九：利用对数函数单调性解不等式 考点三十：对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题） 考点三十：对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题） 考点三十：对数函数综合问题（单调性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等综合问题） 考点三十一：对数函数中新定义问题 考点三十一：对数函数中新定义问题 考点三十二：求函数的零点 考点三十三：求函数零点个数 考点三十四：判断函数零点所在区间 【答案】B 考点三十五：已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 考点三十五：已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 【答案】D 考点三十六：根据零点（根）所在区间求参数 考点三十七：用二分法求函数的零点的近似值 【答案】C 考点三十八：指数函数模型 【答案】B 考点三十九：对数函数数模型 【答案】D 考点四十：拟合函数模型的应用题 考点四十：拟合函数模型的应用题 考点四十一：零点个数问题（解答题） 考点四十一：零点个数问题（解答题） 考点四十一：零点个数问题（解答题） 考点四十二：零点代数和问题 考点四十二：零点代数和问题 考点四十二：零点代数和问题 考点四十二：零点代数和问题 考点四十二：零点代数和问题 【答案】A 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①（，） ②（，） ③（，） 无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当且， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 换底公式：（且，，，且） 特别的： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一上·天津·期中）计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）原式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）原式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）原式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（23-24高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高三上·河北·阶段练习）函数的图象恒过的定点为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过的定点为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由，作出函数的图象如图． 由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即. 故实数a的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D选项,，. 是单调递增函数，，则，其倒数关系为. 所以，D选项错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（多选）（24-25高一上·河南洛阳·期中）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减.又因为，，即. 所以，A选项正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B选项,对于，是单调递减函数，. 在单调递增，,所以，B选项错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C选项,，. 是单调递增函数，.所以，C选项正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为的定义域为R，且为奇函数， 则有，即， 经检验，符合题意，所以. 又，则，即，即， 则，所以函数的值域为. 另解：显然是R上的增函数，且， 由函数单调性的性质可得在上递增， 即也在上递增，故当时，，同时， 由增函数性质可得，故函数的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，可得， 又函数为奇函数，则， 所以 ， 又是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得是R上的单调减函数， 即是R上的单调增函数， 由可化为，即， 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为函数（，且）是定义域为的奇函数， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为函数的定义域为关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，故满足题意， 又因为的图象过点， 所以，，且， 解得或（舍去）， 综上t和a的值分别为2，2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知函数是奇函数， 所以不等式等价于， 因为指数函数在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以不等式等价于， 即，不等式恒成立， 当且仅当，解得， 所以实数k的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以.故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设在上的最小值为，在上的最小值为， 由题意可知，， 若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2，即； 所以在上的最小值应该满足，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最小值为，则，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最小值为，则，解得：， 综上可知，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有最小值3，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以. 设，则. 因为，所以为R上的单调递增函数. 又在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设，则.因为，所以为R上的单调增函数. 因为有最小值3，所以，的最小值为1. 当时，，无最小值，不合题意； 当时，则，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，得， 解得，．且． 所以a，b的值分别为1，2，的解析式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 令，则由得， 所以变为，． 对称轴为直线，， 所以当，即时，； 当，即时，． 综上时，的最大值为，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以恒成立，所以； 所以，即， 所以恒成立，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 则的定义域为， 因为，所以为奇函数； 因为， 于是任取，且， 则 ， ， 所以为上增函数； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）解：因为， 所以即， 又因为为上增函数，所以对任意恒成立， 当时，解集不为，所以； 当时，只需，可得到. 综上实数的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，其定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得， 所以不是“伪奇函数”． 若，则， 则，且，解得， 故在函数定义域内不存在非零实数满足， 所以不是“伪偶函数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，且， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即，故， 因为是“伪偶函数”， 所以存在非零实数解， 即存在非零实数解，显然， 综上，实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因是幂函数， 则，所以，， 所以，， 因为在上是“伪奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，则，且， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， ∵，当且仅当，即时取等号， 又，∴， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即， 故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高一上·云南昆明·期中）计算下列各式： (1)； (2). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）原式； （2）原式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（23-24高三上·四川泸州·阶段练习）实数满足，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，可得，所以， 则. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B：， ， 所以，故B错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C： ，故C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②因为，， 所以 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一上·江苏扬州·期中）（1）已知，，①求的值； ②求的值； （2）已知，，①用，表示；  ②用，表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）①因为，，所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②，， ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①因为，， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】（也对） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例27】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式27-1】（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例28】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围; (2)若，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意在上单调递减，所以， 所以由， 解得，所以 ，                  解得，即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）依题意， 即，从而有                      解得或，                                         即不等式解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29-2】（23-24高一上·山东泰安·期中）函数. (1)如果时，有意义，求实数的取值范围； (2)当时，值域为，求实数的值； (3)在（2）条件下，.解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），，即， 令，，则恒成立， ，，故， a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，的值域包含， ①时，，其值域为，满足条件； ②时，，令，，， 函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件； 综上所述：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3），定义域为，，函数单调递增， ，即， 即，且， ①当时，解集为或； ②当时，解集为； ③当时，解集为或； ④当时，解集为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式29-1】（24-25高一上·吉林延边·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）， 则<3，化简得 且， 解得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例30-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例30-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例30-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例31】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，， 令，令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例32】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则，或， 解得，或， 则函数的零点是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例33】（23-24高一下·贵州遵义）函数的零点个数为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，令，则，解得，故为函数的零点； 当时，令，则，解得，故为函数的零点. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例34】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，且， 当时，在上单调递增， 因此当时，函数和函数图象有三个交点， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例35】（24-25高二上·宁夏·期中）定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由题意，在同一坐标系下画出，的图象，由图可知， ，所以，则， 由函数有三个零点得方程有三个解， 所以函数和函数图象有三个交点， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式35-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 作出函数的图象如图所示：    由图可得，的图象与的图象有解， 则. 故选:D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例36】（23-24高一下·云南玉溪）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数在区间上存在零点， 即与在上有交点， 又， 在上单调递增， 故时，则， 设，则， 由可得， 即与在上有交点，则. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例37】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例38】（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，当时，，解得， 所以，由得， 所以，则，故， 所以的最小整数值为.故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例39】（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（    ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A．29 B．30 C．31 D．32 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得， 两式相减得，而，故，故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例40】（24-25高一上·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， (1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； (2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式； 只有符合题意； 将代入表达式可得， 解得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知， 由基本不等式可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立； 因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例40】（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图，与有2个交点，则或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式41-1】（18-19高一上·浙江宁波·期中）已知函数 (1)若函数在上有最大值，求实数a的值； (2)若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题， 因为，所以令，对称轴为 ， 当时， ，解得（舍）， 当时，，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）， 由，令，对称轴为， 因为函数在上有且只有一个零点， 所以的图像在上与轴只有一个交点， 所以 ，解得， 或者，即，解得， 当时，与轴在上有两个交点，故舍去， 综上，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例42】（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意， 得，解得， 所以m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， 则的最小值为4，最大值为5. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若，求的最值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由韦达定理得，，且，即或， 则，且恒成立， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，， 则，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式42-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求的表达式； (2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）时，，， 为奇函数，则， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）作出的大致图象，如图，要满足题意， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，解得， 所以实数的取值范围是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由得，， 同理 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，所以， 所以， 恒成立，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一上·上海·期中）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 令，关于的方程有两个不相等的实根， 等价于函数的图像与函数有两个不同的交点， 函数图像如图所示，由图可知：当时， 函数的图像与函数有两个不同的交点， 此时，关于的方程有两个不相等的实根. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为的值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数． (1)当时，求满足的的值； (2)若函数是定义在上的奇函数. ①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围； ②令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由条件可得：，且，令，则且， 所以，解得，所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若函数是定义在上的奇函数. ①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为是定义在上的奇函数，所以且 所以，解得，所以， 因为定义域为且关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足条件； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①因为， 因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增， 因为存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解，所以且， 因为的对称轴为，所以在上单调递减， 在上单调递增，又时，，时，，所以， 所以，即实数的取值范围为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②因为， 因为，所以， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间； (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值； (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，最小值为，当时，最小值为1； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)解不等式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6．（24-25高一上·重庆·期中）不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数 (1)若时，讨论不动点的个数； (2)若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题设，令，整理得， 所以， 当或时，，此时有两个不同的不动点； 当或时，，此时有一个不动点； 当时，，此时没有不动点； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设，令，整理得， 且， 所以，，又，，则， 则 ， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$