专题04 高二上期末真题精选（一元函数的导数及其应用常考 59题 压轴35题）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04 高二上期末真题精选 （一元函数的导数及其应用常考59题 压轴35题 一元函数的导数及其应用常考59题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考点01导数的定义 · 考点02借助导数求切线 · 考点03已知某点的导数求参数值 · 考点04导数的四则运算 · 考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 考点06由函数在区间上的单调性求参数 · 考点07函数与导数图象之间的关系 · 考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间 · 考点09求函数的极值（极值点） · 考点10根据函数的极值（极值点）求参数 · 考点11求函数的最值 · 考点12根据函数的最值求参数 一元函数的导数及其应用压轴 35 题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一：已知切线条数求参数 · 压轴二：构造函数解决不等式问题 · 压轴三：利用导数研究函数的恒成立问题 · 压轴四：利用导数研究函数的能成立问题 · 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根 · 压轴六：利用导数研究双变量问题 · · 考点01 导数的定义（共4小题） 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 考点02借助导数求切线（共6小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 3．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 5．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 6．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 考点03已知某点的导数求参数值（共3小题） 1．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．11 B．7 C． D． 2．（22-23高二上·吉林·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 考点04导数的四则运算（共3小题） 1．（多选）（23-24高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·四川眉山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 3．（22-23高三上·山东东营·期末）函数的单调递增区间为 ． 4．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 考点06由函数在区间上的单调性求参数（共10小题） 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 6．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则 ． 8．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 9．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 10．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递减，设实数a的取值集合为M． (1)求； (2)若函数在区间M上单调递增，求实数m的取值范围． 考点07函数与导数图象之间的关系（共4小题） 1．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 2．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ）    A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 3．（多选）（23-24高二下·河北邢台·期末）已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 4．（多选）（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是（     ） A．在区间递增 B．的递减区间是 C．为函数 极大值 D．的极值点个数为4 考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共6小题） 1．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； 4．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)讨论的单调性. 5．（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 6．（23-24高二下·湖北·期末）已知. (1)判断的单调性； 考点09求函数的极值（极值点）（共5小题） 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 2．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数在点处的切线与x轴平行． (1)求a的值； (2)求的单调区间与极值． 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值. 考点10根据函数的极值（极值点）求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·广东东莞·期末）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 5．（23-24高二下·河北·期末）已知是函数的极大值点，则 . 考点11求函数的最值（共5小题） 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 2．（23-24高二下·天津西青·期末）函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 3．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数在处取得极值，在点处的切线的斜率为. (1)求的解析式； (2)求在区间上的单调区间和最值. 4．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值与最大值. 5．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数 (1)求函数的极值点； (2)若的极小值为，求函数在上的最大值． 考点12根据函数的最值求参数（共4小题） 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 4．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 压轴一：利用切线解决距离问题（共5小题） 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ． 压轴二：构造函数解决不等式问题（共5小题） 1．（23-24高二下·湖北·期末）已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 压轴三：构造函数比较大小（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题（共5小题） 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 2．（23-24高二下·广西·期末）设，. (1)求函数，的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 压轴五：利用导数研究函数的能成立问题（共5小题） 1．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 5．（2022·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数. (1)当时，求在区间上的极大值； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围. 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数． 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 4．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若的导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. 压轴七：利用导数研究双变量问题（共5小题） 1．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 2．（23-24高二下·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 4．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. $$专题04 高二上期末真题精选 （一元函数的导数及其应用常考59题 压轴35题 一元函数的导数及其应用常考59题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考点01导数的定义 · 考点02借助导数求切线 · 考点03已知某点的导数求参数值 · 考点04导数的四则运算 · 考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 考点06由函数在区间上的单调性求参数 · 考点07函数与导数图象之间的关系 · 考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间 · 考点09求函数的极值（极值点） · 考点10根据函数的极值（极值点）求参数 · 考点11求函数的最值 · 考点12根据函数的最值求参数 一元函数的导数及其应用压轴 35 题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一：已知切线条数求参数 · 压轴二：构造函数解决不等式问题 · 压轴三：利用导数研究函数的恒成立问题 · 压轴四：利用导数研究函数的能成立问题 · 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根 · 压轴六：利用导数研究双变量问题 · · 考点01 导数的定义（共4小题） 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义式化简，结合导数的计算公式可得解. 【详解】由， 又，， 所以， 所以原式等于， 故选：D. 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：A 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】与极限的定义式比较，配凑出导数极限的形式：． 【详解】， 故选：A． 考点02借助导数求切线（共6小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出与其垂直的直线方程. 【详解】由，求导得，则切线的斜率为， 因此过与垂直的直线斜率为1，方程为. 故选：A 2．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 3．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意， 故选：D 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】导数的乘除法、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程． 【详解】，所以， 故切线方程为， 故答案为：． 5．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【详解】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 6．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，讨论函数有两个零点的a的取值范围. 【详解】依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为， 则斜率， 所以切线方程为： 又点在切线上， 所以 ， 即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程 有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， 若， 由，得或， 由，得， 即函数在， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 又， 当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意； 若恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； 若，由，得或 ， 由， 得， 即函数在上单调递增，在 上单调递减， 则当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 显然当时，恒成立， 所以函数最多1个零点，不合题意； 若， 显然， 当时， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得 ， 当时，， 而函数在(0,1)上的值域为 ， 因此在上的值域为， 当时，令，求导得， 所以函数在上单调递减， 则， ， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据切点构造出切线方程，然后分类讨论，求解零点个数. 考点03已知某点的导数求参数值（共3小题） 1．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．11 B．7 C． D． 【答案】A 【知识点】导数的加减法、已知某点处的导数值求参数或自变量、求函数值 【分析】求导，令可得，代入运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得， 解得，即， 所以. 故选：A. 2．（22-23高二上·吉林·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解. 【详解】由，得， 又因为， 所以，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 【详解】函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 考点04导数的四则运算（共3小题） 1．（多选）（23-24高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】由导数的基本运算求解． 【详解】对于A项，为常数，则，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，则，故C项正确； 对于D项，，故D项错误， 故选：BC 2．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】利用求导四则运算和复合函数求导法则进行计算即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：BC 3．（多选）（23-24高二下·四川眉山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的求导公式分别求导即可. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD . 考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出导函数，由得减区间． 【详解】函数定义域是， 由已知，由得，∴减区间为， 故选：A． 2．（23-24高二下·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再解不等式得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 3．（22-23高三上·山东东营·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间. 【详解】因为函数，则． 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，， 则当时，． 所以的单调递增区间为，， 故答案为：，. 4．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 考点06由函数在区间上的单调性求参数（共10小题） 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意可知，在内恒成立，利用参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围； 【详解】函数求导得由题意可知， 在内恒成立，即在内恒成立， 故，令， 令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 则函数在有最大值为， 故， 故选：B. 2．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可. 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 3．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意转化为存在，使，参变分离后，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】，， 由题意可知，存在，使，即， 则，， 当时，取得最小值， 即，得. 故选：B 4．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 故选：D. 5．（多选）（23-24高二·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 【答案】BCD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得． 【详解】. 当，时，，所以对恒成立， 设，则且， 则解得. 故选：BCD． 6．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，分和两种情况，作出函数的图象，结合图象，利用二次函数的对称性，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，， 作出函数的图象，如图（2）所示， 要使得在上单调递增，则满足或，解得或， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则 ． 【答案】4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可得在上单调递增，从而可得在上恒成立，从而可得在上恒成立，再证明在上恒成立，即可求解. 【详解】对任意且，都有， 不妨设，对任意且，都有， 对任意且，都有， 设，对任意且，都有， 在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 显然时，在上不恒成立，， 在上恒成立， 在上恒成立， 又在上恒成立，证明如下: 设，， 当时，单调递减; 当时，单调递增， ，即， 在上恒成立， 故. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造得在上单调递增，再利用导数和分离参数法并利用经典不等式即可得到答案. 8．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导可得，由题意可得对恒成立，求得上最大值，可求实数的取值范围. 【详解】由， 可得， 因为在区间上单调递减， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立(*). 令， 则 所以在上单调递增， 所以， 所以为使（*）成立，必须且只需， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解. 【详解】由题意单调递增，且， 所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数， 则，解得. 故答案为：. 10．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递减，设实数a的取值集合为M． (1)求； (2)若函数在区间M上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、由函数的单调区间求参数 【分析】(1)由导数与函数的单调性的关系列不等关系求； (2)根据对数函数的单调性和复合函数的单调性结论列不等式求m的取值范围． 【详解】（1）因为，所以． 因为函数在上单调递减， 所以对成立， 所以对成立， 又 所以， 所以实数a的取值集合为； （2）函数在区间上单调递增， 所以函数为上的增函数， 且当时，恒成立， 由函数性质可得 所以0<m<2． 所以m的取值范围为． 考点07函数与导数图象之间的关系（共4小题） 1．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 【答案】BCD 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图象判断的单调性及其极值情况，再结合各选项描述判断正误. 【详解】A：由题意知，当时，， 所以不是的极小值点，故A错误； 由图知， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 所以当或时，取得极大值，故B正确； 且在区间单调递增，故C正确； D：由题意知，由图，得，， 所以区间内单位增长率大于1，且，可得，故D正确； 故选：BCD 2．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ）    A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 【答案】ABC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、零点存在性定理的应用、函数极值点的辨析、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项． 【详解】解：由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数， 即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确； 若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确； 函数可能没有零点，所以C正确． 故选：ABC．    3．（多选）（23-24高二下·河北邢台·期末）已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可. 【详解】由题意得． 由图可知有3个零点，则，令，得或或． 当时，，若，则，不符合题意． 当时，，则或时，， 当或时，符合题意，A，B正确． 由图可知，，得，C错误． 因为当时，，所以在上单调递减，D正确． 故选：ABD 4．（多选）（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是（     ） A．在区间递增 B．的递减区间是 C．为函数 极大值 D．的极值点个数为4 【答案】ABD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值点的辨析 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，再逐项分析判断即可. 【详解】令函数的导数为，观察图象知，当或时，， 当时，，且当时，；当或时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，AB正确； 函数在处都取得极大值，在处都取得极小值，的极值点个数为4，D正确； 由于在及邻近区域值得，因此在处没有极值，C错误. 故选：ABD 考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共6小题） 1．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）设出切点，根据题意得出关于的方程组，解之即可得解； （2）求导，对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）先求得，令，分类讨论的值即可求解； 【详解】（1）由，， 得， 令， ①当时，，则，所以在单调递增； ②当时，，令，则，解得或， i)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ii)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值； （2）求出分、讨论，可得答案； （3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 在区间上有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为， 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时， 若，则，从而； 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 4．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，即可求出结果； （2）对求导，得到，再对进行分类讨，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果. 【详解】（1）当时，， 又在区间恒成立，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递增， 得到在上的最小值为，最大值为， 所以在上的值域为. （2）易知定义域为， 因为， 当时，时，，时，， 当时，时，，时，， 当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号， 当时，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为； 当时，的减区间为，增区间为； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. 5．（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导求得曲线在点处的切线方程为，由已知可得，求解即可； （2）求导得，对分类讨论可求得的单调性. 【详解】（1）因为，所以. 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， （2）. 若，则当时，，当时，. 若，则当时，， 当时，. 若，则在上恒成立. 若，则当时，，当时，. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 6．（23-24高二下·湖北·期末）已知. (1)判断的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求得，分、、和，四种情况讨论，即可求得函数的单调性； 【详解】（1）解：由函数，其定义域为 可得， 令，可得 ①当时，即时， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，即时，可得，则在单调递增； ③当时，即时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； ④当时，即时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； 综上所述： 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. 考点09求函数的极值（极值点）（共5小题） 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 2．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . （2）由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数在点处的切线与x轴平行． (1)求a的值； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，极小值5，函数无极大值． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由求解； （2）求导，给出函数的单调性求出极值． 【详解】（1）解：因为，所以，即， （2）因为的定义域为，由（1）知， 所以， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以当时，取得极小值，函数无极大值． 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【详解】（1）因为，则， 可得，，即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 由（1）可知：， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且函数的极小值为，无极大值. 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)； (2)当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程； （2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值. 【详解】（1）由，得切点为， ， 从而切线的斜率， 故所求的切线方程为，即． （2）的定义域为，且， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如下表 x 0 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 0 单调递增 作出的图象，如图 由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 考点10根据函数的极值（极值点）求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】先由在处取得极大值求得值，再分别分析与时的在处的极值情况，从而得解. 【详解】因为， 所以， 因为在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； 综上，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得值后，要进行检验满足题意与否，从而得解. 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点，则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案. 【详解】的定义域为，， 因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根， 所以， 解得. 故选：B. 3．（多选）（23-24高二下·广东东莞·期末）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A，B；根据函数在处取到极大值，则函数在的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C，D. 【详解】因为，则. 函数在处取到极大值1.则，则A正确； 两式子相减，得到，即，则B正确； 由前面知道，，则， 由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为“左增右减”. 则，对于时，， 即，即，即， 即，则.则C正确，D错误. 故选：ABC. 4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得. 【详解】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 5．（23-24高二下·河北·期末）已知是函数的极大值点，则 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可. 【详解】由题可知， 令，则，解得，. 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 故为极大值点. 故答案为：. 考点11求函数的最值（共5小题） 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【详解】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 2．（23-24高二下·天津西青·期末）函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，求出其解，判断函数在上的单调性，求出端点处的函数值以及极值，比较大小，即得答案. 【详解】（1）由已知得：，则， 当时，， 故在处的切线方程为：， 即为：； （2）． 令：，得或， 则关系如下：， x 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减， ， 所以，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． 3．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数在处取得极值，在点处的切线的斜率为. (1)求的解析式； (2)求在区间上的单调区间和最值. 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由题意得，待定系数可得函数，再验证处取到极值即可； （2）先通过函数的导函数得函数的单调区间及极值，再比较区间端点处的函数值与极值大小可得最值. 【详解】（1）函数， 则， 依题意，，解得， 所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则在处取得极值，满足题意. 所以的解析式是. （2）由（1）知，， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极大值，在处取得极小值， 又， 因此. 所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为， 的最大值为，的最小值为. 4．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值与最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可； （2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可； 【详解】（1）. 令，得； 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，. 由（1）知，在处取得极大值，且极大值为. 当时，在上单调递增， . 当时，， 若，则， 因为，所以. 5．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数 (1)求函数的极值点； (2)若的极小值为，求函数在上的最大值． 【答案】(1)是函数的极小值点；是函数的极大值点. (2)最大值. 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值； （2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可. 【详解】（1） ，            令，得或.        ，的情况如下： 0 0 递减 a 递增 递减 所以 是函数的极小值点；是函数的极大值点. （2）因为的极小值为，即 解得 ， 又 ，  . 所以当时，取得最大值. 考点12根据函数的最值求参数（共4小题） 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、分段函数的值域或最值 【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围. 【详解】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）求导可得，分类讨论、时对应的单调性即可； （2）由（1）可知的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，，则在上单调递增； 当时，由得；由得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 解得. 4．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)的极小值为，极大值为11； (2). 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答. （3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答. 【详解】（1）当时，函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增， 因此当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以的极小值为，极大值为11． （2）函数，，求导得， 因为，则由得，显然， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，则函数在上的最小值为，解得， 所以实数a的值为1. 压轴一：利用切线解决距离问题（共5小题） 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方. ∵，∴，由，可得，此时. ∴曲线在处的切线方程为，即：. 直线与直线的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为2. 故选：D. 2．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、简单复合函数的导数 【分析】分析可知当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】设，由题意得， 当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 则，得，， 所以点到直线的距离的最小值为． 故选：A. 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据在点处的切线与平行时，点到的距离最小，利用导数求切点坐标，然后由点到直线的距离公式可得. 【详解】记，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 易知，当在点处的切线与平行时，点到的距离最小， 设，则，整理得， 解得，则， 此时，点到的距离为. 故选：B 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、导数的运算法则 【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论． 【详解】设，函数的定义域为，求导得， 当曲线在点处的切线平行于直线时，， 则，而，解得，于是， 平行于的直线与曲线相切的切点坐标为， 所以点到直线的最小距离即点到直线的距离． 故选：D 5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据两点间距离公式，函数可看作上任意一点与图象上任意一点的距离的平方，利用平行的切线切点求解即可. 【详解】设，， 则函数可看作图象上任意一点与图象上任意一点的距离的平方． 设函数在点的切线平行于直线， 由，令，解得，所以切点坐标为， 点到直线的距离，此时的最小值为8． 所以存在唯一的，使． 过点且与直线垂直的直线方程为， 联立，解得，． 所以，时，存在，使成立． 故答案为： 压轴二：构造函数解决不等式问题（共5小题） 1．（23-24高二下·湖北·期末）已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可. 【详解】解：令， 对于任意的实数都有，即为偶函数； ； 当时，， 当时，为增函数； 又， ，即. 故选：C. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式. 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 4．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由，可得， 令，结合，则， 所以在R上递减，故， 则原不等式解集为. 故选：A 5．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 压轴三：构造函数比较大小（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故选：A． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 3．（23-24高二下·河南郑州·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较指数幂的大小 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案 【详解】构造函数，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，所以， 又因为，所以，则， 故选：B 4．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小. 【详解】设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以， 又，，所以. 再设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以. 又，即. 故. 故选：A 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用指数对数的运算法则，构造函数利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 构造函数则，，， 令 所以，当，为增函数，当，为减函数， 所以 因为，又因为， 所以，所以. 故选：A 压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题（共5小题） 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为，利用导数求出最小值，由可得答案． 【详解】（1）的定义域，当时，， ，，， 所以过点的切线方程为，即； （2）由得，． 当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以存在极小值，且． 令，， ，因为，所以， 所以在上单调递增， 且，由得， 所以． 2．（23-24高二下·广西·期末）设，. (1)求函数，的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 【答案】(1)增区间：与；减区间：与. 极小值为，极大值为， (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）求函数的导函数，解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间，解方程，由此确定函数的极值点； （2）令，由已知可得在区间上恒成立，证明当时，函数单调递增，再判断时，不满足要求，由此确定的范围. 【详解】（1）由题设，有，可得 令可得，所以， 所以函数在区间上单调递增； 令可得，解得，. 函数在区间上单调递增； 令可得，所以， 所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：. 当时，函数取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为， （2）关于不等式在区间恒成立， 即：在区间上恒成立. 令， 则， 令 则， 由（1）知：在上的极大值为， 又， 从而在上的最大值为1，即在上恒成立. 于是在上恒成立， 所以在上单调递增； 从而， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增； 从而在上恒成立. 所以，当时在上恒成立. 当时，存在，使得， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以当时，，与已知矛盾， 综合上述，得：. 3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）在函数表达式中代入，利用导数研究函数单调性、最值即可； （2）求导得，对的取值进行适当划分并分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 恒成立， 在上单调递减. 所以， 当时，的最大值是0； （2）， . 当时，恒成立，则在上单调递增. ，不满足题意. 当时，. 在上恒成立， 在上单调递增. ，不满足题意. 当时，令. （i）若时，， 令， 在上单调递增，上单调递减. 所以当时，矛盾，不满足题意. （ii）若时，在上恒成立， 在上单调递减. ，满足题意. 综上所述，的取值范围为满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求导后，找到适当的临界值，对进行分类讨论，由此即可顺利得解. 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，的图形，利用数形结合求实数 取值范围； （2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值. 【详解】（1）由题可得， 若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根， 即方程有两个不同的正实根． 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，，所以，即， 所以a的取值范围为． （2）由题得在[0,)上恒成立， 即恒成立． 令， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，． 令（）， 则（）， 所以函数在[0,1)上单调递增， ，， 所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以，原式得证． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求函数的最值，其中涉及导数求函数的二次导数，且涉及隐零点问题，求函数的最值. 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【详解】（1）， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 当当， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，， 故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以， 由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数， 故函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：由得，利用的单调性得，进而根据指对互化得，，代入求最值. 压轴五：利用导数研究函数的能成立问题（共5小题） 1．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】把不等式转化为，令，求得，令，在上单调递增，存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合，，，，的值和题设条件，得出，求解即可. 【详解】∵，等价于. 令 则， 令，在上单调递增， 又由，， ∴存在唯一的使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，，，. 所以当有且仅有三个整数解时， 有，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B 2．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可得以，令，利用导数判断出函数在上的单调性即可得答案. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 又因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值. 【详解】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，递增，当时，，递减， 即，故的最大值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】首先不等式参变分离为在能成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可求解. 【详解】在能成立，即在能成立， 即，， 令，则，令有， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，即实数的最大值为. 故答案为： 5．（2022·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答. （2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 而，当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则， 任意，存在，使等价于，恒成立， 则有，成立，令， 则，当时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，最大值为，则， 所以实数的取值范围是. 压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数. (1)当时，求在区间上的极大值； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性与极值即可； （2）分离参数，将问题等价转化为在定区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 由三角函数性质可知时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即是函数在区间上的极大值； （2）问题等价转化为在区间上有解， 令，，则， 令，所以单调递减， 则，即， 故在时单调递减，此时， 所以. 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数． 【答案】(1) (2)2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性，极值，判断函数的零点即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以切点为，， 所以切线的斜率为， 所以切线的方程为. （2）的定义域为：， ， 令，解得，或， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 所以当时，有极大值为， 当时，有极小值为，所以为函数的一个零点， 当时，，所以在上有一个零点， 故函数有2个零点. 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【详解】（1），则，又， 所以的切线方程为； （2）， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 4．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若的导函数满足恒成立. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论零点的个数. 【答案】(1)见解析 (2)（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）分类讨论，，，结合导数得出单调区间； （2）（Ⅰ）根据极值的定义确定是的极小值点，进而得出的值；（Ⅱ）分离参数，构造函数，并结合导数得出其图像，数形结合得出零点的个数. 【详解】（1）时，， 当时，在上单调递减； 当时，， 若，则时，单调递减； 时，单调递增； 若，则时，单调递增； 时，单调递减； 综上，时，的单调减区间为，无单调增区间； 时，的单调减区间为，单调增区间为； 时，的单调增区间为，单调减区间为； （2）（Ⅰ）由，得， 因为恒成立，所以是的最小值， 即是的极小值点. 令， 且，解得. 此时时，单调递减，即单调递减； 时，单调递增，即单调递增， 所以，符合题意.     故. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因为，所以零点的个数等价于方程实根的个数. 令，则， 所以当或时，； 当或时，， 即在和上单调递增，在和上单调递减， 当时，，，所以， 又，所以的大致图象如图所示: 所以当或或时， 方程恰有一个实根，零点的个数为1； 当或时， 方程恰有两个实根，零点的个数为2； 当时，方程无实根，零点的个数为0. 【点睛】关键点睛：解决问题（Ⅱ）时，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出单调性，进而由图像判断零点个数. 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②两个 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据导数的几何意义代入计算解方程可得； （2）①对函数求导并构造函数利用函数单调性即可证明得出结论； ②对不同区间上的单调性进行分类讨论，并利用零点存在定理可得在上有两个零点. 【详解】（1）由可得， 可得，解得； （2）当时，，其定义域为； 可得； ①当时，令， 则， 令， 则； 因此可知在上单调递增，即， 因此，可得在上单调递增； 所以，即在上单调递增， 因此， 即可得时，； ②由，可知在上单调递增， 易知当趋近于时，趋近于，又； 根据零点存在定理可得在上存在唯一零点； 设，， 即可得时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，当趋近于时，趋近于， 令， 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增； 即可得，当趋近于时，趋近于， 即可得在上有唯一零点，且，即的一个零点为0，上无零点， 综上可知，在上有两个零点. 【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时，要利用导数求出函数单调性并由零点存在定理得出零点所在区间，即可求得函数的零点个数. 压轴七：利用导数研究双变量问题（共5小题） 1．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由求得值； （2）设，利用导数确定其单调性后可证； （3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明． 【详解】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明． 2．（23-24高二下·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 【答案】(1)或； (2)8 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）首先求函数的导数，再设切点，利用导数的几何意义求切线方程，并代入原点，即可求解切点，以及切线方程； （2）首先构造函数，利用导数分析函数的性质，从而证明当时，在代入，即求最值. 【详解】（1），设函数的图象上一点为， 则该点处的切线为， 即切线为， 解得或此时或切线的方程为或； （2）设，则，再设，则， 由得在上单调递增，同理得在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 容易得到当时，，当时，， 时，的最大值为，即， 由，得，而， 必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增， 而， 当时，， 当时，，即，当且仅当时等号成立， ，故当时，， 即当时，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，的最大值为8. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并证明当时， . 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解； （2）方法一：利用导数求函数的最小值； 方法二：分离参数法，等价于恒成立； 方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立； （3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明； 方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【详解】（1）当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. （2）方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. （3）方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 4．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【详解】（1）当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3）， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案； （2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案.. 【详解】（1）由知， 1）当时，且有，，单调递增，故无极值； 2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值. 综上，当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值； （2）由（1）可知当时，，， 且， 由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得 ，令，且，即，， 将其代入，整理可令得， 而， 1)当时，且，有，单调递增，，满足题设； 2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设； 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a可得，令得、， 将其代入构造函数，本题还考查了学生思维能力、运算能力. $$