专题03 高二上期末真题精选（数列常考63题 压轴17题）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题03 高二上期末真题精选（数列常考65题 压轴17题） 数列常考 题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考点01：等差数列通项的基本量计算 · 考点02：等差数列角标和性质 · 考点03：等差数列前项和基本量计算 · 考点04：等差数列前项和性质 · 考点05：等比数列通项的基本量计算 考点06：等比数列角标和性质 · 考点07：等比数列前项和基本量计算 · 考点08：等比数列前项和性质 · 考点09：数列求通项 · 考点10：数列求和之倒序相加法 · 考点11：数列求和之分组求和法 · 考点12：数列求和之裂项相消法 · 考点13：数列求和之错位相减法 数列压轴 题 · 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论） · 压轴二：数列求和之裂项相加法 · 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题 一、等差数列通项的基本量计算（共4小题） 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 2．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 二、等差数列角标和性质（共4小题） 1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 三、等差数列前项和基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列的前项和为，若，则 ． 四、等差数列前项和性质（共6小题） 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（    ）. A．若为等差数列，则一定是等差数列 B．若为等比数列，则一定是等比数列 C．若，则一定是等比数列 D．若，则一定是等比数列 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 五、等比数列通项的基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（     ）. A．1 B．2. C．3 D．5 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则 . 六、等比数列角标和性质（共3小题） 1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 七、等比数列前项和基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ． 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 八、等比数列前项和性质（共3小题） 1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为 . 3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则 . 九、数列求通项（共16小题） 1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 . 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 9．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ . 13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式 . 15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 16．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 十、数列求和之倒序相加法（共4小题） 1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，且，设函数，则 ， . 3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ． 4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则 . 十一、数列求和之分组求和法（共6小题） 1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和． 3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列的前项和为，首项，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列的前n项和为，点在直线的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 十二、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. (1)证明数列是等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的通项公式及其前项和； (3)若数列，证明：数列的前项和. 3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 十三、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列的首项为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题） 1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列，满足的前项和，，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） (1)求数列的通项公式； (2)记正项数列的前项和为，，，，求. 4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，. (1)求数列和通项公式； (2)求的值； (3)证明 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题） 1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列是递增的等差数列，是等比数列，，求， (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，求的值. 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，求证： 3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题） 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值. 4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记. (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值. $$专题03 高二上期末真题精选（数列常考65题 压轴17题） 数列常考 题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 考点01：等差数列通项的基本量计算 · 考点02：等差数列角标和性质 · 考点03：等差数列前项和基本量计算 · 考点04：等差数列前项和性质 · 考点05：等比数列通项的基本量计算 考点06：等比数列角标和性质 · 考点07：等比数列前项和基本量计算 · 考点08：等比数列前项和性质 · 考点09：数列求通项 · 考点10：数列求和之倒序相加法 · 考点11：数列求和之分组求和法 · 考点12：数列求和之裂项相消法 · 考点13：数列求和之错位相减法 数列压轴 题 · 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论） · 压轴二：数列求和之裂项相加法 · 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题 一、等差数列通项的基本量计算（共4小题） 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案 【详解】∵， ∴，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列基本量运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先根据等差数列求和公式化简即得. 【详解】是等差数列，可得, 所以. 故选：A. 二、等差数列角标和性质（共4小题） 1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【知识点】判断等差数列、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 故选：B. 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】直接由等差数列性质以及求和公式即可得解. 【详解】由题意，解得， 所以. 故选：D. 4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 三、等差数列前项和基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 2．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】CD 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】110 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列性质得，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】因为，所以． 故答案为：110. 四、等差数列前项和性质（共6小题） 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】先通过求出，再利用求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 由已知， 则 ， 得， . 故选：D. 2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列前项和公式及其性质计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（    ）. A．若为等差数列，则一定是等差数列 B．若为等比数列，则一定是等比数列 C．若，则一定是等比数列 D．若，则一定是等比数列 【答案】AC 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列片段和性质及应用、等差数列片段和的性质及应用、由定义判定等比数列 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 则， 同理可得， 所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确； 对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确； 对于C，由可得时，，相减可得（）， 由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确， 对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误． 故选：AC． 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】46 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得. 【详解】由等差数列的性质可知成等差数列， 即1，8，成等差数列，且公差为， 所以， 得. 故答案为：. 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，故. 故答案为：. 五、等比数列通项的基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（     ）. A．1 B．2. C．3 D．5 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差与首项的关系即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 整理得，则，所以的公比. 故选：C 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项. 【详解】设等比数列的公比为，， 即，， ，． 故选：B． 3．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则 . 【答案】32 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案. 【详解】设的公比为，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为：32 六、等比数列角标和性质（共3小题） 1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【答案】B 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列下标和性质及应用 【分析】结合等比数列的性质求解． 【详解】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解. 【详解】，则， 根据等比数列的性质，知道, 则，则，即，则. 故选：C. 3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 【答案】3 【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列性质和对数运算即可. 【详解】由题意得. 故答案为：3. 七、等比数列前项和基本量计算（共3小题） 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ． 【答案】1 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列前项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比，从而由即可得解. 【详解】设公比为，由题意， 所以，又， 所以，解得满足题意， 所以. 故答案为：1. 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 【答案】1 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列的定义 【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾， 所以数列为等比数列，且公比为， 又由，解得. 故答案为：1. 3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】64 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列前项和公式列出方程组，解出首项公比，根据通项公式求出. 【详解】设等比数列公比为，首项为，由已知，可得 ，解得， 所以， 故答案为：64. 八、等比数列前项和性质（共3小题） 1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】AB 【知识点】数列不等式恒成立问题、累加法求数列通项 【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足， 所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解. 2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为 . 【答案】35 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列的前ｎ项和的性质得也是等比数列,运算即可． 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则． 故答案为：． 3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】28 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案. 【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列， 所以，因为，解得， 故答案为：28 九、数列求通项（共16小题） 1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 【知识点】由定义判定等比数列、构造法求数列通项、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以当时，， 两式相减得，即， 可得， 当时，可得，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】160 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则，解得或（舍去）， 则，解得． 故答案为：160 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 . 【答案】/0.375 【知识点】裂项相消法求和、求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意可知， ， ， ， …… ， 所以， ， ，， 当时，上式也成立， 故，， 所以数列， . 故答案为： 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【知识点】对数的运算、累加法求数列通项 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、累乘法求数列通项 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【详解】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，，，……，，， 所以， 所以， 因为，所以符号该式， 故答案为： 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案. 【详解】因为， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 当时， ， 因为不满足上式， 所以. 故答案为： 9．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出. 【详解】由题意,则， 又， ， ， ，，为等差数列， ，， ，，， 故答案为： 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据的关系即可得，进而根据构造法可证明为等差数列，即可求解. 【详解】当时，， 相减可得，所以， 又，所以 故为等差数列，且公差为，首项为2， 故，， 故答案为： 12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ . 【答案】192 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用的关系求出，进而可得，然后结合等差数列的求和公式求即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验不满足上式，所以， 设，则， 所以. 故答案为：192. 13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、构造法求数列通项 【分析】构造，得到是等比数列，求出通项公式，进而得到. 【详解】设，即，故，解得：， 故变形为，， 故是首项为4的等比数列，公比为3， 则， 所以， 故答案为： 15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式、确定数列中的最大（小）项 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 16．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 十、数列求和之倒序相加法（共4小题） 1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【知识点】倒序相加法求和 【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果. 【详解】令， ， 两式相加得： ， ∴， 故选:C． 2．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，且，设函数，则 ， . 【答案】 / 【知识点】倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用倒序相加法求和. 【详解】解：由于，①， 当时，所以， 当时，，②， ①②得：， 所以，显然时也成立， 当时，， 当时也成立，所以； 根据函数， 所以，， 所以； 所以 ． 故答案为：； 3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ． 【答案】/9.5 【知识点】求函数值、倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答. 【详解】函数，当时，， 因数列是正项等比数列，且，则， ，同理， 令， 又， 则有，， 所以. 故答案为： 4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则 . 【答案】0 【知识点】对数的运算、倒序相加法求和、函数对称性的应用 【分析】由函数的解析式可得，由倒序相加法可得答案. 【详解】由题意， 所以 由    ① 则  ② 由①+②得 所以 故答案为：0 十一、数列求和之分组求和法（共6小题） 1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由题意列出方程组，解方程可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得解得 数列的通项公式为． （2）由题意得，数列为等比数列，公比为， 所以的通项公式为． ． 当为偶数时，； 当为奇数时，． 综上所述，． 3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列的前项和为，首项，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用数列的前项和与的关系，确定数列的通项公式； （2）利用并项求和法求数列的前项和. 【详解】（1）因为：. 当时，； 两式相减得： 即：. 所以：是以为首项，以为公差的等差数列， 故. （2）因为：，所以， 所以：. 所以：. 4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题意得，代入等差数列通项公式即可求解； （2）由，代入求和即可. 【详解】（1）由已知，得，解得，故 （2）由（1）得， 所以， 得． 5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）直接由等差数列前和以及等差数列基本量的计算可得公差，由此即可得解； （2）直接由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解. 【详解】（1）由题意，，因为，解得， 所以等差数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以数列的前10项和 . 6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列的前n项和为，点在直线的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)（） (2) 【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、由Sn求通项公式 【分析】（1）先求出，当时，，再检验是否符合； （2）利用分组求和求解. 【详解】（1）∵点在直线的图象上， ∴，即 当时， 当时， 又符合上式，∴（） （2）由题设可知 则 十二、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等比中项的应用 【分析】（1）先根据等比中项得出等式再结合等差数列基本量运算即可； （2）应用裂项相消法求出即可. 【详解】（1）由，得． 因为12是，的等比中项，所以， 则， 则． 设的公差为d，则， 故． （2）由（1）可知， 则． 2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. (1)证明数列是等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的通项公式及其前项和； (3)若数列，证明：数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2)， (3)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）首先根据公式，求通项公式，再根据定义证明数列是等差数列； （2）首先根据（1）的结果，计算数列的第2项和第3项，再根据等比数列基本量计算求数列的通项公式和前项和； （3）根据前2问可知，，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 经验证，当时也满足； 所以； 又， 所以是公差为2的等差数列，通项公式为. （2）由（1）知，于是 又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项， 所以， 则，，则， 所以. （3）由已知， 于是. 3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 当时，， 当时，，解得， 所以， 故的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 故. 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意，根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明. 【详解】（1）当时，， 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）， ， 因为，所以. 5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用变形整理可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由题意知：且， 两式相减，可得， ，可得， 又，当时，，即， 解得或（舍去），所以， 从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由， 可得 ， 所以. 十三、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由定义判定等比数列、错位相减法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式， ， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出 【详解】（1）. 则 是以1为首项2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， ， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， . 5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列的首项为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1); (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用取倒数构造等差数列来求通项； （2）利用错位相减法来求和. 【详解】（1）由，两边取倒数得：， 可得：是等差数列，首项为，公差为3， 所以通项为，即； （2）由得：， , 则两式相减得：， ， ， 即. 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题） 1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 【答案】(1) (2)135 【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）利用累加法可得答案； （2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 可得 ， 即； （2）， 当n为偶函数，， ， ，∴， 则，，…，满足题意， ，， ∴，，，，满足题意， ∴A中所有元素和为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是分、求和，再求满足条的. 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列，满足的前项和，，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）通过数列的通项公式，求数列的通项公式即可. （2）利用求得，分为奇数和为偶数两种情况，分组求和求出，再利用求出数列的通项公式，检验是否符合，最终确定的通项公式. 【详解】（1）由题可知：，将化为, 可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由题，，则， 两式相减可得，即， 整理得，所以； 令，可得，即，所以 ； 当为偶数时，可得： ①； 当为奇数时，可得： ， ②； 结合①②可得：， 则 ， 且满足上式， 综上所述， 【点睛】利用求数列的通项公式,检验是否符合； 分组求和，讨论为奇数和为偶数两种情况. 3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） (1)求数列的通项公式； (2)记正项数列的前项和为，，，，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比中项的应用、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）选择条件①：先由为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案； 选择条件②：先由得出，两式做减即可得出，再验证时即可利用等比数列通项公式得出答案； （2）通过得出，两式相减结合已知即可得出，即数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将转化即可得出答案. 【详解】（1）选条件①： 数列为等比数列， ， 即， ，且设等比数列的公比为， ， 解得或（舍）， ， 选条件②： ， ， 即， 由①②两式相减得：， 即， 令中得出也符合上式， 故数列为首项，公比的等比数列， 则， （2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即， 则，， ， ， 由③④两式相减得：， 即， 数列为正项数列， 则， 则数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列， ， 即， 数列前2n项中的全部偶数项之和为：， 则. 4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，. (1)求数列和通项公式； (2)求的值； (3)证明 【答案】(1)，； (2)－5000； (3)证明见解析. 【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)设等差数列的公差为，根据题意列出关于和d的方程组即可求出；构造数列为等比数列，即可求出； (2)分奇数项和偶数项求和即可； (3)先求出，再求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得， 解得， 故数列的通项公式. ∵，∴， 即，又， ∴是以2为首项，2为公比的等比数列， ， ∴. （2）当，时，， 当，时，， ∴ . （3）， ∴， 当时，， ∴. 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题） 1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列是递增的等差数列，是等比数列，，求， (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列和的通项公式； （2）由（1），利用并项求和法可求出，则将问题转化为对恒成立，令，求出的最大值即可； （3）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）解：根据题意设数列的公差为，数列的公比为， 因为，所以， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 所以； （2）解：由（1）知， 所以 ， 由，得， 所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，， 当时，， 所以由二次函数的性质可知当时，， 所以最大， 所以； （3）由（1）知 ， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的综合问题，考查分组求和与裂项相消求和法，考查数列与不等式的综合问题，第（2）问解的关键是求出后，将问题转化为对恒成立，再次转化为求出的最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、由Sn求通项公式 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解； （2），利用裂项相消法求解. （3）由，利用分组求和法求解. 【详解】（1）当时，．①， ②， ①-②得：， 当时，也符合上式， 所以； （2）， ， ， ． （3），③ ，④ ③-④得：， ， ， ， ． 故. 3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意，求得数列的公差，结合等差数列的通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：因为是等差数列，且数列满足，， 设数列的公差为，则， 所以，所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知，可得， 所以 . 4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、判断等差数列 【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果. 【详解】（1）由，可得，又， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，得到． （2）由（1）可知， 故． 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设公比为，根据已知求出，再求； （2）求出，利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）设公比为，因为，所以， 又， 解得，所以； （2）由（1）知， 则， 所以 ， 所以数列的前项和. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据和的关系、等比数列的定义即可解答. （2）利用裂项相消求和法即可求解. 【详解】（1）由，， 当时，，即； 当时，，整理得，即. ， 当时上式也成立. 数列是以首项，为公比的等比数列， 则，即. （2）， . 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题） 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：由已知可得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）证明：， 所以， . 故对任意的，. 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)11 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解. （2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得，， 故． （2）由（1）可得，则， 所以，则数列是等差数列， 故． 因为，所以，所以， 所以或． 因为，所以的最小值是11． 3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2) (3)2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据与的关系证明为等比数列，根据等差数列性质求的首项及公差，再利用等比数列和等差数列通项公式求，的通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可； （3）由（1）求，由条件可得，判断数列的单调性求其最值，由此可得，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由，得， 当时，，即， 所以，且， 所以， 所以为首项为，公比为3的等比数列， 所以. 设等差数列的公差为， 则，解得，， 所以. （2）由（1）知，，， 则， 令为的前项和， 则 即. （3）因为，， ， 所以， 故恒成立， 设， 当时，； 当时，，即， 所以，即， 所以， 所以恒成立， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故的最大值为2. 4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可； （2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值. 【详解】（1）， 当时，， 两式相除得；， 又符合上式，故； （2）， ， ， 错位相减得： ， ， 即，由，得， 设，则， 故， 由， 由可知，随着的增大而减小， 故， 故恒成立，知单调递减， 故的最大值为，则 5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) (3) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，， ，分别利用“ ”法和“ ”法求解. （2）由（1）知当n为奇数时，， 当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可. (3)把恒成立转化为求最大值问题,作差比较大小,应用单调求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 因为，， 所以， 解得d=1. 所以的通项公式为. 由， 又，得， 解得， 所以的通项公式为. （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， ① 由①得 ② 由①②得， ， ， 所以. 所以. 所以数列的前2n项和为. （3）因为,且, 而,故 即,可得,对于恒成立 令, 当时, ,即,所以, 当时, ,即 所以,所以 6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、累乘法求数列通项、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数整理得，即可得到数列表示首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可； （3）由（1）可得，利用累乘法求出，则问题转化为存在，使成立，令，利用作差法说明单调性，求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，可得 可得，所以 即 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：因为，所以， 故①， 所以②， 两式相减可得， 所以； （3）解：由，可得， 则， 存在，使得成立， 即存在，使成立，即存在，使成立， 设，则， 令， 当时，，即， 当时，，即， 当时，可得，即的最小值为3， 所以，即实数的取值范围． 7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记. (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值. 【答案】(1)，. (2)5. 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】(1)根据数列的递推公式探求出其项间关系，由此求出的公比，进而求得，的通项公式. (2)利用(1)的结论结合错位相减法求出，再将不等式变形，经推理计算得解. 【详解】（1）解：设正项等比数列的公比为，当时，，即， 则有，即，而，解得， 又，则，所以， 所以数列，的通项公式分别为：，. （2）解：由(1)知，， 则， 则， 两式相减得： 于是得， 由得：，即，令，， 显然，，，，，， 由，解得，即数列在时是递增的， 于是得当时，即，，则， 所以不等式成立的n的最小值是5. $$