专题02 高二上期末真题精选（选必一期末压轴77题12个考点专练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02 高二上期末真题精选（压轴77题12个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间向量数量积最值（或范围）问题 · 空间向量模最值（或范围）问题 · 线面角的最值问题 · 二面角的最值问题 · 线面角的探索性问题 · 二面角的探索性问题 · 椭圆中的离心率最值（或范围）问题 · 双曲线中的离心率最值（或范围）问题 · 圆锥曲线中面积定值问题 · 圆锥曲线中面积最值（范围）问题 · 圆锥曲线中的定点问题 · 圆锥曲线中的定值问题 圆锥曲线中的定直线问题 · 考点01 空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） 1．（23-24高三上·北京顺义·期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·安徽安庆·期末）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 5．（22-23高二上·广东江门·期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 ． 考点02空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） 1．（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（22-23高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .      4．（21-22高二上·河南新乡·期末）如图，在棱长为2的正方体中，P为正方形（包括边界）内一动点，当P为的中点时，与所成角的余弦值为 ；若，则的最大值为 ． 考点03线面角的最值问题（共5小题） 1．（21-22高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·辽宁·期末）如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（    ） A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大 C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大 3．（多选）（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面与平面的夹角为 C．三棱锥的体积为定值 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 4．（多选）（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 5．（多选）（23-24高三上·山东淄博·期末）如图，多面体，底面为正方形，底面，，，动点在线段上，则下列说法正确的是（    ） A．多面体的外接球的表面积为 B．的周长的最小值为 C．线段长度的取值范围为 D．与平面所成的角的正弦值最大为 考点04二面角的最值问题（共4小题） 1．（多选）（23-24高二上·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若为的中点，则直线平面 C．异面直线与所成角的正弦值的范围是 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 2．（22-23高三上·安徽·期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点． (1)求CE的长； (2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值． 3．（23-24高一下·天津南开·期末）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； (3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 4．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 考点05线面角的探索性问题（共5小题） 1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.      (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 2．（22-23高三上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，其对角线与交于点，，. (1)证明：平面； (2)若，，为锐角三角形，点为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中．    (1)证明：平面平面ABCD； (2)判断母线BC上是否存在点P，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，侧面为菱形，为中点，且平面，，，，为平面上一动点． (1)若与平面成角的正切值为，求的最小值． (2)若点在线段上，平面与所成角的正弦值为，求的值． 5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 考点06二面角的探索性问题（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． (1)求证：平面平面PBC； (2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 2．（23-24高二下·云南临沧·期末）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 4．（23-24高二下·云南大理·期末）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，.    (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值. 5．（23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 考点07椭圆，双曲线中的离心率最值（或范围）问题（共7小题） 1．（23-24高三上·河北·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 5．（23-24高二上·湖南·期末）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 . 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 考点08圆锥曲线中面积定值问题（共9小题） 1．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程． 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：（）与圆O的一个交点为． (1)求抛物线C及圆O的方程； (2)设直线l与圆O相切于点R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积． 考点09圆锥曲线中面积最值（范围）问题（共10小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 3．（22-23高三上·河南·期末）已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的左焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，求面积的取值范围. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知双曲线，是双曲线上一点． (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线C：，椭圆M：，． (1)若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围； (2)过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值． 9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，． (1)求抛物线C的解析式； (2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值． 10．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）. (1)求抛物线的标准方程，并证明； (2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 考点10圆锥曲线中的定点问题（共9小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 5．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于． (1)求直线l斜率的取值范围； (2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标． 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为抛物线上的一点，为的焦点. (1)设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积； (2)若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点. 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．    (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11圆锥曲线中的定值问题（共9小题） 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 4．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 5．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线：与圆的一个交点为. (1)求双曲线E的方程； (2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值. 7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点， (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值， 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知是过抛物线焦点且互相垂直的两弦， (1)若直线的倾斜角为，求弦长； (2)求的值. 考点12圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上． 4．（22-23高二下·江苏盐城·期末）已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足． (1)求双曲线的方程； (2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上． 5．（22-23高二下·福建福州·期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程； (2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上． $$专题02 高二上期末真题精选（压轴77题12个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间向量数量积最值（或范围）问题 · 空间向量模最值（或范围）问题 · 线面角的最值问题 · 二面角的最值问题 · 线面角的探索性问题 · 二面角的探索性问题 · 椭圆中的离心率最值（或范围）问题 · 双曲线中的离心率最值（或范围）问题 · 圆锥曲线中面积定值问题 · 圆锥曲线中面积最值（范围）问题 · 圆锥曲线中的定点问题 · 圆锥曲线中的定值问题 圆锥曲线中的定直线问题 · 考点01 空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） 1．（23-24高三上·北京顺义·期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果. 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 3．（21-22高二下·安徽安庆·期末）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以, 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4. 故选:A. 4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】    设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 5．（22-23高二上·广东江门·期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围． 【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． ，，． 点在线段上运动， ，且． ， ， ∵，∴，即， 故答案为：． 考点02空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） 1．（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的坐标表示、空间位置关系的向量证明、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，于是， 即有，向量是平面的一个法向量， ，则，而， 于是，因为平面，则， 即，化简得，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答. 【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，则，设，有， 线段EF长最短，必满足，则有，解得，即， 因此，，当且仅当时取“=”， 所以线段EF长的最小值为. 故选：B 3．（22-23高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .      【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、证明线面垂直 【分析】先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点T，,再建系根据两点间距离求解即可. 【详解】延长，与的延长线交于点， 是正方形， ， 易得，又,平面,平面,所以平面， 则平面，．E关于面MNPQ的对称点T, 易知，    以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． ，E， P，分别为，的中点, ，，则. 故答案为: . 4．（21-22高二上·河南新乡·期末）如图，在棱长为2的正方体中，P为正方形（包括边界）内一动点，当P为的中点时，与所成角的余弦值为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 3 【知识点】空间向量模长的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，当P为的中点时，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值；设，，由题意可得，令，，，根据两点间的距离公式及三角函数的知识即可求解的最大值. 【详解】解：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，． 当P为的中点时，，因为，， 所以， 所以与BD所成角的余弦值为； 设，，则， 因为，所以，即， 令，，，则，， 因为，所以， 因为，所以． 故答案为：；3. 考点03线面角的最值问题（共5小题） 1．（21-22高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角、线面角的向量求法 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， ∴，令，可得， 又， 设直线与平面所成的角为，则 ，又， ∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大. 故选：C. 2．（21-22高二上·辽宁·期末）如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（    ） A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大 C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大 【答案】C 【知识点】面面角的向量求法、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则 ，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断. 【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示, 设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N， 则， 所以， ， 设平面AMN的法向量为， 则，即， 令，则， 设平面PMN的法向量为， 则，即， 令，则， ， 对于A，B选项，令d =0，则 ， 显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误； 对于C，D， 对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作，垂足为， 当在下方时，， 设，则对于给定的，为定值， 此时设二面角为，二面角为， 则二面角为，且， 故， 而，故即， 当时，为减函数，故为增函数， 当时，为增函数，故为减函数， 故先增后减，故D错误. 当在上方时，， 则对于给定的，为定值，则有二面角为， 且， 因，故为增函数，故为减函数， 综上，对于给定的，随的增大而减少， 故选：C. 3．（多选）（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面与平面的夹角为 C．三棱锥的体积为定值 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误. 【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 则、、、、、、、， 设点，其中. 对于A选项，，， 则， 所以，A选项正确； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 由，取，可得，则， 设平面的法向量为，， 由，取，则，则， 可得， 所以，平面与平面的大小不是，B选项错误； 对于C选项，，平面，平面，平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， 而点到平面的距离为，即三棱锥的高为， 因此，，C选项正确； 对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且， 又，， 所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 4．（多选）（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】ACD 【知识点】线面角的向量求法、空间向量基本定理及其应用、异面直线夹角的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】由空间向量的线性运算可判断A；利用锥体的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法可判断C,D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，连接，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离即， ， 三棱锥的体积为，故B错误； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， ,， 设，则， 设平面的法向量为， ，， 所以，即， 令，则，则， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，， 设直线与直线所成角为， 因为，所以当时，， 当时，， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高三上·山东淄博·期末）如图，多面体，底面为正方形，底面，，，动点在线段上，则下列说法正确的是（    ） A．多面体的外接球的表面积为 B．的周长的最小值为 C．线段长度的取值范围为 D．与平面所成的角的正弦值最大为 【答案】AC 【知识点】空间距离公式的应用、余弦定理解三角形、线面角的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意将多面体放入正方体中，根据正方体外接球相关知识直接判断A，根据图形展开以及余弦定理判断B，建立合适的空间直角坐标系，结合线段长度和线面角公式判断C和D. 【详解】对于A，由题意可知，多面体可以放在如图所示的正方体当中，    设中点为，则为多面体的外接球球心， 所以多面体的外接球半径为， 则多面体的外接球的表面积为，故A正确. 对于B，的周长为， 将如下图所示展开，当三点共线时，最小，    由， 则，所以，所以， 在中，由余弦定理得，， 所以， 则的周长最小为，故B错误. 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，， 则，故C正确. 对于D，由， 所以， 设平面法向量， 由，令，则， 则与平面所成角的正弦值为， 因为，所以，当，即时， 取得与平面所成角的正弦值的最大值，故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 考点04二面角的最值问题（共4小题） 1．（多选）（23-24高二上·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若为的中点，则直线平面 C．异面直线与所成角的正弦值的范围是 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【知识点】线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算 【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，在正四棱柱中，，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，为定值，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、， 因为为的中点，则，则，， 所以，，所以，与不垂直， 故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错； 对于C选项，，设， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得，此时，， ， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 2．（22-23高三上·安徽·期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点． (1)求CE的长； (2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二面角的概念及辨析、证明面面垂直、平行公理、面面角的向量求法 【分析】(1)由条件证明，解三角形求即可； (2)建立空间直角坐标系，求平面PAD和平面PBC的法向量，结合向量夹角公式求平面PAD和平面PBC夹角余弦值，利用换元法和二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示： 则，且，， 所以四边形CDGE为平行四边形． 因为，所以为直角三角形，， 在中，因为，所以， 所以 所以CE的长为； （2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示， 则，， 以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，取AD的中点为N，连接PN，MN，则，，平面，所以平面，平面， 所以平面平面，在平面PMN内过点P作，垂足为F， 因为平面平面，所以平面， 由已知可得，则，设． 因为，所以， 因为，，为线段的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 设平面PAD的法向量， 则 令，则． 设平面的法向量， 因为， 则 令．则，所以为平面的一个法向量． 设平面PAD和平面PBC的夹角为， 则 ． 令，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为． 【点睛】本题解决的关键在于根据二面角的平面角的定义确定二面角的平面角，结合所建坐标系确定点的坐标. 3．（23-24高一下·天津南开·期末）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； (3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （3）连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 4．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、平面的基本性质的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值 【详解】（1）取AM的中点G，连接PG， 因为PA=PM，则PG⊥AM， 当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大， 四棱锥的体积取得最大值， 此时PG⊥平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为 （2）取AP中点Q，连接NQ，MQ， 则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线， 所以NQ∥AB且， 因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以CM∥AB且， 所以CM∥NQ且CM=NQ， 故四边形CNQM为平行四边形， 所以. （3）连接DG， 因为DA=DM，所以DG⊥AM， 所以∠PGD为的平面角，即， 过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，则， 设平面PBC的法向量为， 因为， 则 令，可得：， 设两平面夹角为， 则 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为 【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍. 考点05线面角的探索性问题（共5小题） 1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.      (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，线段的长为1. 【知识点】证明线面平行、由线面角的大小求长度、已知线面角求其他量 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而得到是的中位线，得到线线平行，证明出线面平行； （2）法一：作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点到坐标，设出，，利用空间向量线面角的求解公式列出方程，求出答案； 法二：作出辅助线，得到平面平面，得到直线与平面所成的角即为与平面所成的角，设，由三角形相似得到，表达出，，进而表达出或，故，从而列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）连接，与相交于点，连接， 因为，为的中点， 所以且，故四边形为平行四边形， 故， 又因为为的中点，所以是的中位线， 故， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）法一：存在，线段的长为1，理由如下： 取的中点，连接，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 连接，过点作⊥于点，因为， 则，， 因为与侧棱所在直线所成的角为45°，所以，， 所以， 设，，， 设平面的法向量为， 则， 令得， 则， 设直线与平面所成的角的大小为， 则， 解得或34（舍去），    故，线段的长为. 法二：存在，线段的长为1，理由如下： 连接，显然过点，连接，过点， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 由（1）知：且，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 故直线与平面所成的角即为与平面所成的角， 设，连接， 因为垂直于上下底面，上、下底面均是正方形， 所以⊥平面，故即为与平面所成的角， 连接，过点作⊥于点，因为， 则，， 因为与侧棱所在直线所成的角为45°，所以，， ，解得， 因为，所以，设， 则，即，解得， 故， 过点作⊥于点，则或， 故， 由勾股定理得，即， 解得， 故线段的长为.    2．（22-23高三上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，其对角线与交于点，，. (1)证明：平面； (2)若，，为锐角三角形，点为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量、锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）首先根据垂直关系的转化证明平面，再证明，根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）首先根据（1）的结果，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式，求点的坐标，再利用等体积转化求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为底面是菱形，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，与交于点，所以， 且，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，设， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 即令，解得，. 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或，所以或， 因为为锐角三角形，所以， 而，   . 3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中．    (1)证明：平面平面ABCD； (2)判断母线BC上是否存在点P，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)存在，. 【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量可解. 【详解】（1）由题意可知：在下底面圆中，为直径． 因为，所以为弦的中点，且． 因为平面． 所以平面，因为平面． 所以平面平面． （2）分别以下底面垂直于的直线、为轴， 建立空间直角坐标系如图所示． 因为，底面圆半径为3，所以． 则，设． 所以， 设平面的一个法向量为． 由得：即： 令则． 设直线与平面所成的角为， 所以， 解得， 所以存在点，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为，CP的长为4．    4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，侧面为菱形，为中点，且平面，，，，为平面上一动点． (1)若与平面成角的正切值为，求的最小值． (2)若点在线段上，平面与所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）如图过做于，过做于，根据线面垂直的性质和判定定理可得平面．结合三角函数求出OG，进而求出GM，BG，由即可求解； （2）建立如图空间直角坐标系，设，则．利用空间向量法求线面角建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】（1）如图，过做于，过做于． 又平面，平面，所以． 又有，平面，，则平面． 又因为平面，所以． 而，平面，，则平面． 由三角函数可得，，则，． 由题可知，若与平面成角为，则，则． 又，则． 所以． （2）以为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则． 所以，， 设平面的一个法向量为，由， 得，令y=-1，解得． 设，令平面与成角为， 则，解得． 代入解得或（舍），所以． 5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，结合向量夹角公式，即可求解点坐标，进而根据点面距离的向量法即可求解. 【详解】（1）因为在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，又平面， 所以，又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面，又平面， 所以； （2）如图，以点为原点，以，，所在直线为，，轴，建系如图， 则,0,,,0,,,0,,， 设点,3,，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 由于直线与平面所成角的正切值为，故直线与平面所成角的正弦值为 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 化简可得，即， 所以或（舍， 即点,3,，所以，，， 所以点到平面的距离． 考点06二面角的探索性问题（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． (1)求证：平面平面PBC； (2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）由四边形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD， 平面平面平面ABCD，则平面PCD， 又平面PCD，于是， 由，点为线段PC的中点，得， 又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF， 所以平面平面PBC. （2）由（1）知平面PCD，而，则平面PCD， 在平面PCD内过D作交PC于点G，显然直线DA，DC，DG两两垂直， 以D为原点，直线DA，DC，DG分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由，，得，， 设，则，设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 而平面PCD的法向量为，则， 而，解得，此时． 2．（23-24高二下·云南临沧·期末）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1). (2)或 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】（1）分别利用勾股定理得出，结合在直角中，，即可求解； （2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥的体积. 【详解】（1）因为，点O是的中点， 所以， 在直角中，， 又平面，平面，所以， 在直角中，， 又因为，所以， 在直角中，，所以，解得，所以. （2）如图： 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由题意平面的一个法向量为，设，则， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则， 因为二面角的正弦值为， 所以，化简得， 解得或， 当时，则，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为； 当时，则，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为； 所以三棱锥的体积为或. 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 4．（23-24高二下·云南大理·期末）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，.    (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知面面角求其他量 【分析】（1）比较好建系，可用相量法解题，只需要证明即可; （2）建立坐标系以后，写出关键点坐标，取出平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，运用余弦值为构造方程，解出即可. 【详解】（1）因为，则，即， 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 又因为，可得， 所以.    （2）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得. 5．（23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、已知面面角求其他量 【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； 法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论； （2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案； 【详解】（1）法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. （2）设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 考点07椭圆，双曲线中的离心率最值（或范围）问题（共7小题） 1．（23-24高三上·河北·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值. 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由离心率的定义分别表示出，即可得到，结合三角恒等变换化简，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是引入角度，从而得到，再利用三角恒等变换和三角函数的值域求出其最值. 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意在轴右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点，由距离公式求出，然后转化为二次函数问题，即只需对称轴位于，从而可求解. 【详解】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等， 不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得， 所以，， 要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可， 所以，即，即，即， 化简得，即， 即，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是设点并结合距离公式求出的表达式，再结合二次函数性质构建出关于系数的不等式，化简为，从而可求解. 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，，设，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，设，由余弦定理可得，，从而求解. 【详解】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质知， ，设， ，， 在中， ， 以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为， 以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为， 则， 在中，设，，，， 由余弦定理可知： 从而得到，. 由， ，． 【点睛】思路点睛： （1）充分利用所给图形，有利于分析数量关系； （2）借助“换元”，有利于从“数”的角度求解最值问题. 5．（23-24高二上·湖南·期末）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 【答案】 / 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义：，由椭圆的定义：， 可得：，又，由余弦定理得： ， 即 整理得：，所以：； 则，当且仅当时取等号. 为的内心，所以为的角平分线， 由于,则有， 同理：，所以，所以， 即， 因为，所以，故， 为的内心，三点共线， 即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， ， ，即为的角平分线. ， 即为的角平分线， 则有，又， 所以，即， 因为，所以，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据在椭圆内部、椭圆的定义列不等式，化简求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】点在椭圆的内部，则， . 因为， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 由于椭圆上存在点使得成立， 所以， 综上所述，离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解点和椭圆位置关系问题，如果点在椭圆上，则，如果在椭圆外，则，如果在椭圆内，则.要求椭圆的离心率的范围，可以考虑直接求得的范围，也可以先求的范围，再转化为的范围. 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围. 【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为， ，故， 所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上， ① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径， ，即，， 方程两边同除以得，，解得， 故， ②若，，解得， 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 考点08圆锥曲线中面积定值问题（共9小题） 1．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 【详解】（1）由题意可知，解得， 椭圆的方程为. （2），则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为，则， 解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立，得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或    2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，．在椭圆上下顶点，面积的最大值.求出，再求出，进而得到方程. （2）证明 设，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理计算，求得点到直线的距离，通过面积公式化简计算即可. 【详解】（1）根据题意，． 在椭圆上下顶点，面积的最大值. 此时. 所以，则求椭圆的方程. （2）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以． 综上，的面积为定值． 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程求解即可； （2）设点，求出直线和的方程，求出点M和N的坐标，从而求得，即可证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）依题意，所以， 又最大值为，所以，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为； （2）设点，由题意，，， 而，，所以直线，所以点， 所以， 又直线，所以点，所以， 所以 ， 所以是定值.    4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、直线的点斜式方程及辨析、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）已知过，讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时设直线的点斜式方程，由直线和圆相切得到圆心到直线的距离为半径，解出的值即可得到直线方程； （2）若直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，联立直线与双曲线方程得到点的纵坐标，由得到三角形的面积. 【详解】（1） 由知左顶点， 当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意； 当直线斜率存在时，设即， 由与圆相切得，解得或， 所以直线的方程为或. （2）由知，所以渐近线斜率为， 若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去； 若直线的方程为，与双曲线有两个交点， 联立消去并整理得，解得或， 因为，所以， 又因为，所以. 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可. 【详解】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4． (1)求的方程； (2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用离心率求出双曲线方程即可. （2）利用三角形的面积求出斜率，进而写出方程即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以， 故的方程为． （2）由（1）知，显然直线的斜率不为0，设的方程为，    联立方程组，消去得， 则． 设，则． 所以． 由，化简得， 解得（负值舍去），即， 所以直线的方程为或． 7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）利用两圆内切所满足的条件列出等式即可； （2）首先设直线的方程，和抛物线联立，，用弦长公式，则是点到直线的距离公式. 【详解】（1）如图： 设动点，显然动圆的半径要大于圆的半径，两圆内切，所以圆心距离，又因为动圆与直线相切， 所以，所以， 整理得，∴的方程为； （2）易知直线斜率不为0，故可设方程为，，， 联立得：， ，， ， 则 原点到直线的距离， 所以 解得，所以直线的方程为 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)48. 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）求出抛物线的方程，设出直线的方程，与的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得. （2）由（1）的结论求出，进而求出直线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，抛物线， 设直线的方程为，，显然， 由消去x得， ，则且，， 因此， 所以为定值. （2）由，得，则，由（1）知，， ，解得， 直线的方程为，， 而点到直线的距离， 所以的面积. 9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：（）与圆O的一个交点为． (1)求抛物线C及圆O的方程； (2)设直线l与圆O相切于点R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）将代入抛物线和圆上，求出答案； （2）求出直线AR的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出，从而得到三角形面积. 【详解】（1）因为抛物线C与圆O的一个交点为， 所以，所以，即抛物线C的方程为． 设圆O的方程为，所以， 所以，即圆O的方程为． （2）由题意得． 因为AR是圆O的切线，所以OR⊥AR，所以． 所以直线AR的方程为，即． 由与联立消去y得，则． 设点A和点R的横坐标分别为，． 则，． 所以． 所以的面积． 考点09圆锥曲线中面积最值（范围）问题（共10小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积列式求出，即可求出椭圆的方程. （2）联立直线l与椭圆的方程得到，再利用切割法得到，化简得到，进而利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据焦距和椭圆所过点可构造方程求得结果； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可整理得到，结合三角形面积公式和基本不等式可求得最值. 【详解】（1）椭圆的焦距，； 椭圆过点，，又， （舍）或，，椭圆的方程为：. （2） 由（1）知：，， 设，，， 由题意可设直线，其中，， 由得：，， ； 同理可得：； ， ， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将三角形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数最值的求法或基本不等式求得结果. 3．（22-23高三上·河南·期末）已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的左焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据直线过椭圆的左焦点，求出，得到，由椭圆离心率公式得，从而求得椭圆方程； （2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元后利用韦达定理得到面积的表达式，再利用换元法和导数可求面积的取值范围. 【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点，所以，， 又因为椭圆的离心率为， 由于，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2））因为直线过点，所以可设直线的方程为， 设， 联立，消去整理得， ， 则，， ， 令，则，且，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1). (2). 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）利用待定系数法及双曲线的定义，结合双曲线中三者的关系即可求解； （2）设直线方程为，，，直线方程与双曲线方程联立，利用应用韦达定理得由 求得的范围，由坐标求得三角形面积并代入韦达定理的结论化为关于的函数，换元并利用函数的单调性得面积最小值． 【详解】（1）法一：设双曲线的标准方程为 由题知：，故其左右焦点分别为，. 由，解得. 从而， 双曲线的标准方程为. 法二：设双曲线方程为， 由题知：得到. 又，得到. 得到，解得（舍）或， 双曲线的标准方程为. （2）由题意，设作出图形如图所示，    显然直线与轴不垂直，设，， 联立 故，. 由于，均在双曲线右支上， 故，即，解得. 由双曲线的对称性知的中点为， 故 ， 代入韦达定理得 令，则 易知随的增大而减小， 当时，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程； （2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值； （3）将表示为的函数，分析单调性求范围. 【详解】（1）依题意，，渐近线方程． 所以，又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得：，设， 则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3）由（2）知，点，，， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 所以三角形的面积的取值范围. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知双曲线，是双曲线上一点． (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线的顶点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】（1）先由题意求得双曲线的顶点坐标，由此求得，结合椭圆长轴长求得，从而得解； （2）先设出点坐标，然后表示出点坐标，将点坐标代入双曲线可求坐标，计算出以及到的距离则可求； 【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以双曲线的左右顶点为， 设椭圆方程为，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的渐近线方程为，不妨设， 又，即， 所以，所以， 又因为是双曲线上一点，所以，解得， 所以，所以， 又到直线的距离， 所以； 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用平向向量相等得到的坐标关于的表达式，再代入双曲线方程求得，从而得解. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线C：，椭圆M：，． (1)若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围； (2)过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、抛物线中的三角形或四边形面积问题、由导数求函数的最值（不含参）、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由抛物线方程与椭圆方程联立方程组，方程组无实解可得结论； （2）设直线AP和直线AQ得斜率为，，同时设切线方程为，与椭圆方程联立消元后由判别式为0得关系（关于的方程），由韦达定理得，由直线与抛物线相交求得交点坐标，利用平面向量数量积的定义得出，由数量积坐标表示及韦达定理的结论，可把面积表示为的函数，再利用导数求得最小值． 【详解】（1）联立得， ，由题意上述方程无实根， 所以，得，又， 所以． （2）设l：，与椭圆联立得 由直线与椭圆相切得，即     设直线AP和直线AQ得斜率为，，则，     联立，得，解得或， 于是，所以，同理可得， 令，，则 ， 所以 ， 令，，， 设，，则， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减．     易知在即时，趋向于正无穷大，又，， 故， 所以． 【点睛】关键点点睛：第一个难点是把三角形的面积用顶点坐标表示，利用三角形的面积公式和平面向量数量积的定义得出，从而把三角形面积用向量坐标表示，再转化为用点的坐标表示，第二个难点是为了建立两交点的坐标关系，首先设切线方程为，其与椭圆方程联立后消元，由判别式得出关系（关于的方程），设直线AP和直线AQ得斜率为，，利用韦达定理得，由得直线方程后直线与抛物线相交求得交点坐标后，两者结合可把三角形面积表示的函数，第三个难点是利用导数求得最小值． 9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，． (1)求抛物线C的解析式； (2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)过定点，定点为 (3)8 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、根据弦长求参数 【分析】（1）根据直线的斜率为2时列方程，得到即可得到抛物线方程； （2）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点； （3）联立直线与的方程得到，根据点，的坐标和不等式得到，通过分析、和三种情况得到，从而可得面积的最小值. 【详解】（1）   设，，由题意得，， 当直线的斜率为2时，直线的方程为， 联立得，则， ， 则， 所以抛物线的解析式为. （2）由（1）得， 设直线的方程为，的方程为，设，， 因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （3）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 过点作轴，交直线于点，则， 由，，得， 当且仅当时等号成立， 下证， 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方， ，直线过定点， 所以此时， 同理时，点在轴下方，点亦在轴下方，， 故此时， 当且仅当时，，， 所以恒成立，且时等号成立， 故， 所以的面积最小值为8. 【点睛】方法点睛：求定点问题常见的两种方法： （1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点. 10．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）. (1)求抛物线的标准方程，并证明； (2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）利用焦点重合可计算出抛物线方程，设出直线分别联立椭圆及抛物线,求出弦长,进行转化即可证明； （2）当斜率存在时，由（1）的过程可易得，，表示出四边形的面积，还需讨论斜率不存在. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 由椭圆得：，则，故抛物线的焦点坐标为， 所以，所以抛物线的方程为 易知过点的直线的斜率存在，故可设直线方程为， 设， 联立，消去得：， 则， 所以. 联立，消去得：， 则， 则, 又, ， 即. （2）设， 当直线的斜率存在且不为零时， 设直线方程为，则直线方程为， 由（1）的过程可知：， 由，以替换，可得， 所以四边形面积， 因为，所以， 所以 当直线的斜率不存在时， 联立，解得, 易得：， 所以四边形面积； 综上所述：，所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消元建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、四边形的面积等问题． 考点10圆锥曲线中的定点问题（共9小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）设，根据题意求得，结合椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程； （2）由过椭圆上一点的切线方程为，设动点，得到直线l的方程，令，求得Q，设定点为结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设， 由的中点在y轴上，且O为，的中点，可得轴，即， 又由，可得，即，， 所以，即， 解得，则， 所以椭圆C的方程为. （2）解：由（1）和题意，可得过椭圆上一点的切线方程为， 因为点在椭圆，可设点， 则直线l的方程为， 即， 令，则代入①，解得，所以Q坐标为， 假设存在点，使得以为直径的圆与轴交于定点， 则，即，， 于是 整理得， 由该方程对于任意的恒成立，可得，此时点， 所以存在定点符合条件，使得以为直径的圆与轴交于定点. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）首先得到，再根据离心率和关系即可得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算直线的方程，令化解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 又由，得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由消去整理得， ， 所以， 直线的方程为， 根据的对称性可知，若直线恒过定点，则定点在轴上， 令，解得 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再写出直线的表达式，令计算为定值即可. 3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据通径以及离心率公式即可列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及中点坐标公式，即可根据平行四边形的性质求解. 【详解】（1）解：当垂直于长轴时，设直线的方程为， 联立直线与椭圆可得， 故由题意得解得 椭圆的标准方程为：． （2）假设椭圆上是存在点，设为，使得四边形为平行四边形． ,显然当直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为：， 联立与消去得， 判别式， 设，，则， 则 则中点坐标为，中点坐标为， 则,解得， 代入椭圆方程化简得，解得． 此时， 所以椭圆上是存在点，使得四边形为平行四边形．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再求出中点坐标为，中点坐标为，最后得到方程组，解出即可. 4．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 5．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据离心率和上顶点确定、，进而可得双曲线方程； （2）直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的值，进而可得定点. 【详解】（1）解：设双曲线方程为， 因为该双曲线的上顶点坐标为，则， 则由可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：由（1）可得、，设、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称， 从而可知，直线、关于轴对称，则点在轴上，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， ， 设，则，，所以，， 又， 得，所以，， 即，化简得， 解得，所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于． (1)求直线l斜率的取值范围； (2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设，与双曲线联立由直线与双曲线的位置关系求解即可； （2）表示出直线的方程，令求出得坐标，则，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知直线的斜率存在，设， 与双曲线联立得：． 因为直线与双曲线交于两点，所以且， 由，得， 由，得， 解得直线斜率的取值范围为． （2），设，则， 令得，同理可得． 于是， ， 由韦达定理有， 代入上式可得： 所以线段的中点为定点． . 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为抛物线上的一点，为的焦点. (1)设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积； (2)若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，分析可知四边形为直角梯形，求出该梯形的两底边长和高，利用梯形的体积公式可求得四边形的面积； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的方程为，其焦点为， 抛物线的准线方程为，易知点，，， ，，则四边形为直角梯形，且， 所以，四边形的面积为. （2）证明：设点、， 因为、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，则，且，， ，同理可得， 因为，整理可得， 若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，，可得， 所以，直线的方程为， 由，可得，故直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．    (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程即可求解； （2）设， ，联立抛物线方程得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式即可求解. 【详解】（1）    设准线与轴的交点为， 直线的斜率为，又， ． 故抛物线的方程为：． （2）设，过点的直线方程为：． 则联立，整理得：， 由韦达定理可得：． 又设， 所以直线斜率为， 直线方程为，即的直线方程为：， 由三点共线可得：，即， 所以， 所以，因为，所以化简可得：， 同理，由三点共线可得：， 可得， ， 综上可得的直线方程为：， 变形可得：，所以直线过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是首先得，然后通过三点共线得与的关系，进一步和产生关联即可顺利得解. 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据抛物线过点，代入运算得解； （2）设直线，与抛物线联立方程组，得到根与系数关系，结合，坐标运算得解； （3）假设存在满足条件的点，使得，利用根与系数关系进行坐标运算求得的值. 【详解】（1）抛物线过点， ，即， 抛物线的方程为． （2）证明：不妨设，， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得， ， 又， ，即， ，解得或（舍）， 直线的方程为，即直线过定点． （3）假设存在满足条件的点，使得， ， ， 即，解得或， 存在点，使得直线与直线的斜率之和为0． 【点睛】思路点睛：本题第二，三问是考查圆锥曲线中的定点问题.第二问，设直线，与抛物线方程联立，得根与系数关系，由得，代入运算可得，得解；第三问，由，得，代入根与系数关系化简运算得解. 考点11圆锥曲线中的定值问题（共9小题） 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 【答案】(1); (2)1 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题可知，再由条件两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形可知，结合求解，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设直线的方程，联立直线和椭圆，由韦达定理得到两根的关系；根据平行得到斜率相等，可以写出直线的方程，进而得到的坐标，联立直线得到点的坐标，发现纵坐标之间的关系即可. 【详解】（1）依题意得， 解得, 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）由于，所以直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为:,， 联立，消去并整理得， 其中， 所以， 对于直线l的方程，令，得， 所以点M的坐标为， 由于直线的斜率为， 直线直线,所以， 从而直线的方程为， 令，有 将代入，得， 于是点N的坐标为 由于直线的斜为， 所以直线的方程为, 因为， ， 即 即， 其中， 所以， 于是有， 从而得 即点的坐标为， 因为 其中分子为 将和代入,有， 因此有 即， 即点为点和点的中点， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出的坐标，进而发现纵坐标之间的关系. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）利用坐标表示，即可求解； （3）首先联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，并求点的坐标，并表示，并利用韦达定理化简，求定值. 【详解】（1）由题可得， ，又， 解得，椭圆方程为； （2）若为钝角，则， 由题可得， ，又， 解得; （3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设，联立， 消去得， ， 直线的方程为，令，得， . 同理可得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标表示几何关系，比如直线方程，交点坐标，弦长，再转化为韦达定理表示. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设，根据题意得，用两点间距离公式代入计算即可. （2）（ⅰ）设，，则，把点代入方程可得，，结合斜率，化简即可证明. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，因为，结合（1）的结论可计算，从而可得直线的方程，继而可得，，所以四边形的面积为，利用结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，即，得， 化简得：.所以的方程为. （2）设，，则. （ⅰ）因为在椭圆上，所以，， 即，， 所以， 所以为定值. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0. 因为，所以，因为，所以. 由（ⅰ）得，所以，所以：. 令，得，所以，令，得，所以， 所以四边形的面积为. 因为， 又，即，所以， 当且仅当，时，等号成立. 所以，所以四边形的面积的最大值为. 4．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【知识点】双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线：与圆的一个交点为. (1)求双曲线E的方程； (2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值，且该定值为 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）将点代入方程后计算即可得； （2）设出点坐标，由点坐标可求得，的表达式，借助点坐标在双曲线上满足双曲线方程，则可化简，从而得解. 【详解】（1）由题意可得，即有， 则有，整理得， 即，即（舍去）或，， 故双曲线E的方程为； （2）设，，，则， 则，令，则， 即，则， 代入，故， 化简得， 则有，即， 故， 即， 则，， 由在双曲线上，故有，即， 则 ， 即， 即为定值，且该定值为. 【点睛】关键点睛：本题关键在于借助在双曲线上，得到，从而化简，得到，从而得解. 6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②存在定点. 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由给定的点和离心率求出即可得双曲线的方程. （2）设出点的坐标，在斜率存在时设方程为，联立直线与双曲线方程，结合已知求得的关系，进而得直线恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【详解】（1）由双曲线的离心率为2，得，则， 由双曲线过点，得，于是， 所以双曲线的方程为. （2）①设点，当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由消去得，， 显然，即，， 由，得，而， 则， 整理得， 即， 整理得，显然直线不过点，即， 因此，即，符合题意，直线：过定点， 当直线斜率不存在时，点，， 而，显然，解得，直线：过点， 所以直线过定点. ②由①知，直线过定点，而点，线段中点， 又，当点与不重合时，点是以线段为斜边的直角三角形的直角顶点， 则，当点与重合时，， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点， (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值， 【答案】(1) (2) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题、基本不等式求和的最小值、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，，利用韦达定理计算，即可求得值. （2）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，利用弦长公式求得，再用中点坐标公式求得的纵坐标，消去，最后用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：, 由，消去得，， 则由题意可知： ， 因为，所以,，所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：. 设.则： 联立方程：得：.所以. 又知：，得， 当且仅当，即时取等号，则点的纵坐标的最小值为. 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)和 (2)证明见解析 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线中的定值问题、根据抛物线方程求焦点或准线、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程； （2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值. 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知是过抛物线焦点且互相垂直的两弦， (1)若直线的倾斜角为，求弦长； (2)求的值. 【答案】(1)16 (2). 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，得到直线的方程为，结合弦长公式，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组得到，，结合抛物线的定义，求得，同理得到，进而求得的值 【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点为， 因为是过焦点F且互相垂直的两弦，可得直线的斜率一定存在， 又由直线的斜率为，且，可得， 则直线的方程为， 设，，联立方程组，整理得， 则，且， 根据抛物线的定义，可得. （2）解：由直线的斜率一定存在， 设的方程为，且，， 联立方程组，整理得且， 可得，， 又由抛物线的定义，可得，， 所以， 由，设直线方程为，且，， 联立方程组，整理得， 同理有，，所以， 综上可得. 考点12圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）根据体积确定椭圆中、的值，得出椭圆的标准方程. （2）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，利用一元二次方程根与系数的关系，写出，，再表示出直线、，确定其交点，并判断它们的交点在一条定直线上. 【详解】（1）由，， 所以所求椭圆的标准方程为：. （2）如图：过点的直线与椭圆相交于、两点，因为、不与A、重合，故直线的斜率一定存在. 设直线方程为：，联立方程组：，消去得：. 设，，则，.所以. 直线：； 直线:. 所以：. 所以：.即直线与的交点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求证点在定直线上的问题，一般可以采用以下方法： （1）求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上； （2）大胆猜测定直线的性质，如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与轴平行，所以直接消去x，得到y的值，从而确定交点在定直线上. 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、利用椭圆定义求方程 【分析】（1）由椭圆的定义、、求出可得答案； （2）设，设直线的方程，与椭圆方程联立，求出直线的方程、直线的方程，然后联立利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）由椭圆的定义得，且， 得到，， 因为，所以，解得， 所以， 故所求的椭圆方程为； （2）由题意得， 直线的方程，设， 联立，消去，整理得， ， 直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得 ， 解得，即直线与的交点在定直线上.    【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是求出直线、直线的方程，然后方程联立利用韦达定理求出答案. 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定直线、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设出椭圆方程，由两点在椭圆上，代入坐标解方程组可得； （2）先由对称性猜测点横坐标为常数.再设两点坐标，得方程，联立解交点的横坐标，利用韦达定理得到与及其关系，代回点坐标，化简整理可证. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以椭圆方程为； （2）由椭圆对称性及点在轴上， 故若点在定直线上，则该定直线关于轴对称. 设直线的方程为，，， 由得，， 所以，． 则有 ， 又， 则直线AC方程为，直线BD方程为， 由得，． 又因为，， 所以 ， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（22-23高二下·江苏盐城·期末）已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足． (1)求双曲线的方程； (2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的动点在定直线上问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）结合余弦定理和二倍角公式，利用双曲线定义即可得出，，进而得出双曲线的方程. （2）设直线的方程为，，，联立方程利用韦达定理以及表示直线和直线的方程，两方程相减即可表示出定直线. 【详解】（1）在中， ， 即， 所以， 因为双曲线的焦点在轴，，， 所以，则双曲线的方程为. （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 并整理得， 设，，则， 又设， 则得直线的方程为， 直线的方程为， 两个方程相减得， 因为， 把它代入得， 所以， 因此直线与的交点在直线上．    【点睛】方法点睛：直线和双曲线的位置关系问题，从以下几个角度分析： （1）双曲线定义在几何图形中的使用； （2）涉及三角形问题中，解三角形的余弦定理等三角函数的应用； （3）直线和双曲线交点，联立方程使用韦达定理表示参数； （4）数形结合思想的应用. 5．（22-23高二下·福建福州·期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程； (2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、抛物线中的定直线 【分析】（1）由题意，建立平面直角坐标系，利用双曲线的渐近线方程以及焦距的定义，结合其标准方程，可得答案； （2）由题意，设出直线方程，联立直线与双曲线，写出韦达定理，利用向量数乘的坐标表示，建立方程，解得动点坐标，可得答案. 【详解】（1）如图，连接交于点，以点为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，    则，，即，， ，，直线方程：， ，则，，则，解得，， 双曲线. （2）由题意，直线的斜率存在，则其方程可设为， 联立可得，消去可得：， ，，化简得， 设，则，， ，，，，， 设，，， ，，则，， ，， ，， ，解得， 由，，则在同一直线上，即， 故在直线上. 【点睛】圆锥曲线与直线问题解题关键思想为：设而不求，联立直线方程与圆锥曲线方程并化简整理一元二次方程，写出韦达定理，结合题目中的其他等量关系，联立方程即可. $$