专题01 高二上期末真题精选（选必一期末常考123题23类考点专练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01 高二上期末真题精选（常考123题23类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用基底表示向量 · 空间向量共面 · 空集中两个向量乘锐角（钝角） · 借助向量证明平行（垂直）关系 · 借助向量求点到直线距离 · 向量法求异面直线所成角 · 向量法解决线面角问题 · 向量法解决二面角问题 · 向量法解决点到平面的距离问题 · 直线的倾斜角和斜率 · 求直线方程 · 两条直线平行于垂直的判断 · 直线中的距离问题 · 二元二次方程表示圆的条件 · 求圆的方程 · 直线与圆的位置关系 · 圆与圆的位置关系 · 圆锥曲线中的定义问题 · 圆锥曲线中上的点到定点的和差问题 · 焦点三角形问题 · 离心率问题 · 弦长问题（含焦点弦） · 中点弦问题 一、用基底表示向量（共3小题） 1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 二、空间向量共面（共3小题） 1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D．12 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 三、空集中两个向量乘锐角（钝角）（共4小题） 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三上·安徽安庆·期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量． (1)证明：； (2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 四、借助向量证明平行垂直关系（共5小题） 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）正方体中分别是的中点. (1)证明：平面； 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.    (1)证明：平面平面； 5．（23-24高二上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点. (1)证明：平面； 五、借助向量求点到直线距离（共4小题） 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ． 六、向量法求异面直线所成角（共5小题） 1．（23-24高三上·江西·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值 ． 3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 5．（21-22高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 七、向量法解决线面角问题（共7小题） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.    (1)证明：. (2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面，，，为的中点.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. 八、向量法解决二面角问题（共7小题） 1．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.    (1)证明：平面. (2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值． 3．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 4．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. (1)求证：平面平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长． 九、向量法解决点到平面的距离问题（共5小题） 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求点C到平面的距离． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 十、直线的倾斜角和斜率（共4小题） 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ． 十一、求直线方程（共5小题） 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为． (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程； (2)求边上的高线的长． 十二、两条直线平行与垂直问题（共5小题） 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则 . 5．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 十三、直线中的距离问题（共3小题） 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 十四、二元二次方程表示圆的条件（共4小题） 1．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是 ． 十五、求圆的方程（共3小题） 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 十六、直线与圆的位置关系（共4小题） 1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 3．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 十七、圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 . 十八、圆锥曲线中的定义问题（共4小题） 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 3．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . 十九、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共6小题） 1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（多选）（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 5．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ． 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 二十、焦点三角形问题（共6小题） 1．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 2．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（    ） A．四边形的周长为12 B．当时，的面积为 C．直线，的斜率之积为 D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为 3．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论正确的有（    ） A．存在点P使得 B．的最小值为 C．若，则的面积为1 D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值 5．（多选）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 6．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 二十一、离心率问题（共11小题） 1．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 7．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 10．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为 .    二十二、弦长问题（含焦点弦）（共10小题） 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 6．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左顶点的直线与椭圆相交于另一点，设点为线段的中点，点，求的取值范围． 10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 二十三、中点弦问题（共10小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 2．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 5．（23-24高二上·江西·期中）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程. 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．    (1)求直线的方程； (2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 10．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. $$专题01 高二上期末真题精选（常考123题23类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用基底表示向量 · 空间向量共面 · 空集中两个向量乘锐角（钝角） · 借助向量证明平行（垂直）关系 · 借助向量求点到直线距离 · 向量法求异面直线所成角 · 向量法解决线面角问题 · 向量法解决二面角问题 · 向量法解决点到平面的距离问题 · 直线的倾斜角和斜率 · 求直线方程 · 两条直线平行于垂直的判断 · 直线中的距离问题 · 二元二次方程表示圆的条件 · 求圆的方程 · 直线与圆的位置关系 · 圆与圆的位置关系 · 圆锥曲线中的定义问题 · 圆锥曲线中上的点到定点的和差问题 · 焦点三角形问题 · 离心率问题 · 弦长问题（含焦点弦） · 中点弦问题 一、用基底表示向量（共3小题） 1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果． 【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】如图，因为分别是的中点，，又， 所以， 得到， 故选：A. 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解. 【详解】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 二、空间向量共面（共3小题） 1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案. 【详解】由，，共面，可设，则， 由，解得，代入第三个方程可得：，解得. 故选：A. 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】用向量来判定点在平面内，只需要满足：（） 【详解】因为A、B、C三点不共线，则不共线， 若四点共面，则存在唯一的一组实数使得， 即，变形得， 对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确； 对于，，可得： 则，故不在平面内，故选项错误； 对于C，，可得：， 则，故不在平面内，故选项C错误； 对于，，可得： 则，故不在平面内，故选项错误； 故选： 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解. 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 三、空集中两个向量乘锐角（钝角）（共4小题） 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据且与不共线，可求出结果. 【详解】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（20-21高三上·安徽安庆·期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题 【解析】由题意可得，且、不共线，由此求得实数的取值范围． 【详解】向量，若与的夹角为钝角， 则，且、不共线，即， 求得，且， 则实数的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意考虑向量共线是不成立的. 3．（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意可得且与不反向共线，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】若与共线，则，得，此时，与方向相反， 因为与的夹角为钝角，所以且与不反向共线， 即且，解得 且， 则的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量． (1)证明：； (2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)且 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明； （2）转化为，且不平行. 【详解】（1）根据题意，， 则，所以； （2）与的夹角为钝角，， 则， 解得， 若向量，则，得，经验证满足同向共线， 所以且. 四、借助向量证明平行垂直关系（共5小题） 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求空间中两点间的距离、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得. （2）利用向量法来证得. 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）正方体中分别是的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【详解】（1）设正方体的棱长是2， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以，则， 又平面，故平面. 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.    (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用面面垂直的判定定理证明即可； 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 因为，，所以，，即，， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 5．（23-24高二上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求证， 【详解】（1）因为是直三棱柱， 所以底面. 因为底面，底面， 所以，. 因为，如图建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. 因为D，E分别为，的中点， 所以，. 所以，. 因为底面，所以是平面的一个法向量. 因为，所以. 因为平面，所以平面. 五、借助向量求点到直线距离（共4小题） 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 可得在方向上的投影为， 又， 由勾股定理可得点到直线的距离为. 故答案为： 4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为： 六、向量法求异面直线所成角（共5小题） 1．（23-24高三上·江西·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，假定的坐标，结合已知解出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可. 【详解】 如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，， 故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，， 易知底面圆方程为，则，， 故，， 故， 设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，， 故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为， 故得，解得(负根舍去)，易得，故，， ，，设直线与所成角为，故有. 故选：D 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值 ． 【答案】/ 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值. 【详解】不妨设，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 则，， 所以，. 因此，与所成角的余弦值为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角. 【详解】直三棱柱，且， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设直线与成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面； （2）设，且，则,0,，由直线与直线所成角的余弦值，利用向量法能求出线段的长． 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,， ,2,，,0,，,2,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,0,， ，平面，平面． （2）设，且，则,0,，,,，,2,， 则，整理得 解得或，所以线段AH的长为或2． 5．（21-22高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点M位置为 【知识点】已知线线角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、求平面的法向量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值； （2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解. 【详解】（1）设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. （2）设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. 七、向量法解决线面角问题（共7小题） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】 由题意，因为为正方形，且底面， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，设，， 则，所以，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 因为单调递增，所以当时，最大， 此时，即直线与平面所成角的最大值为. 故选:C 2．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】 以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点的坐标，然后利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设的横坐标为，则， 所以（）， 设与平面所成角的为，则 ， 令（），对称轴为， 所以的最小值为， 所以的最大值为， 因为， 所以的最大值为， 故选：D 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）连接，得到为的中位线，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质、证明线面平行、线面垂直证明线线平行 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、线面平行的判定性质推理即得. （2）结合已知可得直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再利用线面角的向量求求解即得. 【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 所以. （2）令，则，有， 于是，由已知得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.    (1)证明：. (2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）结合已知线面垂直的判定定理证明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，从而得出均为直角三角形，利用勾股定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）底面平面，   ，又平面， 平面，又平面， 平面平面. 过作交于，又平面平面， 平面，平面． 点到平面的距离为. 在中，， 设，则. 均为直角三角形，且， ，解得， ，即. （2）， ，过作交于，则为的中点. 由直线与之间的距离为4，得， 在中，. 以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，， 显然为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则 则直线与平面所成角的正弦值为. 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、线面角的向量求法 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面，，，为的中点.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据条件得到平面，从而得出，再利用条件得到四边形是菱形，从而有，利用线面垂直的判定定理即可得出结果； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设，求出及平面的一个法向量，利用线面角的向量法及条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为，O为AD的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以四边形是菱形，得到， 又，平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，因为是等腰梯形，所以， 以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，，易得， 则， 所以，， 令，所以，得到， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 整理得到，解得或（舍），所以. 八、向量法解决二面角问题（共7小题） 1．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.    (1)证明：平面. (2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理以及线面平行的性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求解二面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以平面. （2）因为，所以直线与直线所成的角为， 因为底面，底面，所以， 所以，即， 设为2个单位长度， 以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，    设平面的法向量为，则 取，则，，得， 易得平面的一个法向量为， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意易得四边形为平行四边形，进而可证平面． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】（1）连接．因为为四边形的中心，所以为的中点． 又为的中点，所以， 因为为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． （2）在正四棱柱中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则． 设平面的法向量为， 则令，得，即． 连接．易知是平面的一个法向量， 则． 因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 3．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 4．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可. 【详解】（1），为中点， . 又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， . 又为的中点， ，又， . 又平面， 平面. （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 故，，，. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， ， 二面角的正弦值为. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥. (1)求证：平面平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在满足题意的点，且. 【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直 【分析】（1）线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直； （2）由三直线两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标求得面的法向量，由法向量与面面角的余弦值建立等式，解出点的位置，得到比值. 【详解】（1）在正方形中，， 又∵，∴，∴ 即，，且，平面，平面， ∴平面， 由∵平面， ∴平面平面 （2）由（1）可知，，， ∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则向量是平面的一个法向量， 设，则，， ∵在线段上，∴，∴， ∴，， 设是平面的一个法向量，则， ∴，∴， 设为平面与平面夹角， 则， 则，则，为中点， ∴. 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可； （2）设边长，应用空间向量法求出二面角余弦值即可求出边长. 【详解】（1）由题意知平面，又平面， 所以， 因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面． 又平面，所以， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则， 所以， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以线段的长为6． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】 （1）由长方体的性质得到平面，即可得到，结合，得到平面，从而得到，同理可证，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设， 则，，， 则，，， 由（1）平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得（负值舍去）， 所以平面与平面的夹角的余弦值为时. 九、向量法解决点到平面的距离问题（共5小题） 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、点到平面距离的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得解； （2）只需证明平面，在结合面面垂直的判定定理即可得解； （3）首先证明面，由等体积法即可列方程求解. 【详解】（1）设，连结， ∵E为中点，O为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）连结，∵，O为中点，∴， 又∵底面为菱形，∴，∵且两直线在平面内，∴平面， 又∵平面，∴平面平面； （3）由（2）得：，由，同理可得：， 而平面， ∴面可求：，，， ∴， 而中，，可求：，， 可求：， 而，则， 则即为所求点C到平面的距离． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面一个的法向量，根据平面法向量平行可得证 （2）根据到平面的距离的空间向量公式即得 【详解】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，．     设平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以 设可得平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以， 因为，两平面又不重合， 所以平面平面． （2）因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量， 则． 3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果. 【详解】（1）连接交于，连接， 在三角形中，是三角形的中位线， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）由是直三棱柱，且， 故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则， 设平面的法向量为， 由，得到，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则. 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）利用空间向量方法证明即可； （2）利用空间法向量求解点面距离即可. 【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 因为，分别是，的中点，所以，， 所以， 平面的一个法向量为， 因为， 又因为平面， 所以平面； （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为， 故点到平面的距离为 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点M，连AM，MF，由四边形AEFM是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系．求得平面的法向量，由点到平面的距离求解. 【详解】（1）证明：如图， 取中点M，连AM，MF，则易证，且， 所以四边形AEFM是平行四边形，从而， 又面，面， 所以平面． （2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系． 则，，，， 则，， 设平面的一个法向量， 由，即， 令，得，则， 所以点到平面的距离 十、直线的倾斜角和斜率（共4小题） 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小. 【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则， ∵，∴， 故选：D． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】解：因为直线经过， 所以经过该两点的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：D 3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、根据直线的方向向量求直线方程、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 即直线的倾斜角为. 故答案为： 十一、求直线方程（共5小题） 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)24. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可； （2）设，得到面积表达式求出值即可. 【详解】（1）由题意设直线的方程为:， 由直线经过得:，解得:， 直线的方程为:，即. （2）由题意设直线的方程为:， 令，则;令，则， 所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积， 解得:， 所以直线的一般式方程为. 4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为． (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程； (2)求边上的高线的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程； （2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长. 【详解】（1）设的坐标为，则，， 即，所以 ， 则中线所在直线方程为，即 ． （2）由题意得 ． 则直线的方程为，即 中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ． 十二、两条直线平行与垂直问题（共5小题） 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由直线平行求出，注意检验重合情形即可. 【详解】因为两直线平行， 所以， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：D 3．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 解得，所以的值为. 故答案为： 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则 . 【答案】2 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：2. 5．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 十三、直线中的距离问题（共3小题） 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线l：的距离为. 故选：A 2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由两条直线平行求方程、求点到直线的距离、求平行线间的距离 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 十四、二元二次方程表示圆的条件（共4小题） 1．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由计算即可得. 【详解】，即. 故选：D. 2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案. 【详解】方程表示一个圆， 则，得. 故答案为： 4．（23-24高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，在根据等号右边的式子大于0求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故答案为： 十五、求圆的方程（共3小题） 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 2．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【答案】 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论. 【详解】设所求圆的一般方程为， 因为点，，在圆上， 所以， 解得， 则所求圆的一般方程为：， .故答案为：. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求圆的一般方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 十六、直线与圆的位置关系（共4小题） 1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线恒过点， 曲线即， 表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图）， 由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1. 故选：B. 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 3．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可得，结合的任意性以及恒成立问题分析求解即可． 【详解】设直线，则到直线的距离， 若要对任意恒成立，则，且， 解得，由，有． 故选：A 4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案． 【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、， 所以圆心到直线的距离，解得， 选项中只有3,4满足， 故选：AB． 十七、圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解. 【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为， 因为两圆外离， 所以圆心距满足，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 十八、圆锥曲线中的定义问题（共4小题） 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程. 【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则， 由椭圆定义知，故， 所以椭圆方程为. 故选：C 2．（多选）（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析、轨迹问题——圆、利用双曲线定义求方程 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、轨迹问题——椭圆、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . 【答案】 【知识点】由距离求点的坐标、利用双曲线定义求方程 【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。 【详解】原方程可化为， 其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于， 则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以， 又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：， 令得，所以原方程的解为。 故答案为： 十九、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共6小题） 1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B    3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可. 【详解】    由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点 作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：； 圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有： ，因为点是圆上的一点,所以, 即,由此有：， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值， 所以， 所以的最小值为6. 故选：B. 4．（多选）（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】BC 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案 【详解】由双曲线的方程可得，焦点为， 圆：的圆心为，半径为2， 圆：的圆心为，半径为1， 所以，， 所以, ， 所以， 故选：BC 5．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 8 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设右焦点为，根据椭圆的定义得到，则，求出椭圆的左准线方程，根据圆锥曲线的第二定义，设到左准线的距离为，则，所以，则，即可得解. 【详解】椭圆中，，，则， 设右焦点为，则，离心率， 则，所以， 所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；    又椭圆左准线方程为， 设到左准线的距离为，则，所以， 所以， 当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..    故答案为：； 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示：      由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 二十、焦点三角形问题（共6小题） 1．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】A选项，根据椭圆定义求出答案；B选项，数形结合得到当在上顶点或下顶点时，面积最大，求出最大值；C选项，由直接求解即可；D选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到，当三点共线且在之间时,取得最小值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得， 由椭圆定义可得，A正确； B选项，当在上顶点或下顶点时，面积最大， 最大值为，B错误； C选项，离心率，C正确； D选项，因为，所以点在椭圆内，连接， 由椭圆定义可知，故， 故， 当三点共线且在之间时，取得最小值， 最小值为， 所以最小值为，D正确. 故选：ACD 2．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（    ） A．四边形的周长为12 B．当时，的面积为 C．直线，的斜率之积为 D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为 【答案】AD 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题 【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用焦点三角形的面积公式可判断B；设，，表示出，的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，判断C；将转化为，利用图形的几何意义求解，判断D. 【详解】对于A，由题意知对于椭圆，， 与椭圆交于，两点， 则，关于原点对称，且，, 故四边形的周长为，A正确； 对于B，因为，所以，的面积为， 故B错误； 对于C，设，则，而， 故， 而在椭圆上，即， 即，故，C错误； 对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故, 则，故， 当且仅当共线时，且P在之间时等号成立， 而，， 故的最小值为，D正确， 故选：AD. 3．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆上点的坐标 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 4．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论正确的有（    ） A．存在点P使得 B．的最小值为 C．若，则的面积为1 D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值 【答案】AC 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中的定值问题 【分析】设椭圆短轴顶点为根据的符号即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】设椭圆短轴顶点为， 由题知椭圆：中，， 则，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，故A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理得 ，当且仅当时取“”，故B错误； 对于C选项，由于， 故 ， 所以，故C正确； 对于D选项，设， 则，， 于是，故D错误. 故选：AC. 5．（多选）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、等轴双曲线、余弦定理解三角形 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 6．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可. 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 二十一、离心率问题（共11小题） 1．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率. 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可. 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可. 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可得，设，在中，利用余弦定理求出，再利用双余弦定理得出的关系式，即可得解. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为， 所以，所以， 设，则， 故， 在中，由余弦定理得， ， 解得（舍去）， 所以， 因为，所以， 即， 即， 整理得，所以， 即的离心率是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故选：B． 6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 7．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为： 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 10．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】## 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为， 即， 由点到直线距离公式可知：， 又， ， ∵，即， 设，则， 而，， 由正切二倍角公式可知：， 即，化简可得：， 即， 由双曲线离心率公式可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为 .    【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据光学性质可得，进而根据可得，故，结合双曲线的定义，以及相似即可求解. 【详解】    过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点， 由题意可得，， 又，所以，所以，故， 由双曲线定义可得，故， 因为，，所以，故， 故离心率为， 故答案为：. 二十二、弦长问题（含焦点弦）（共10小题） 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆中的弦长、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 4．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由弦长求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设，，求出直线的方程与抛物线方程联立，利用计算即可. 【详解】设，，直线， 联立得， 则，，又l经过C的焦点， 则，解得，故的准线方程为． 故选：D． 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】设出点，根据两点间距离公式列式运算得解. 【详解】设，则，，又， 所以， 当且仅当时，取得最大值. 所以的最大值为. 故答案为：. 6．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离. 【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】由弦长求参数、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】联立直线与抛物线方程可求得，再利用抛物线的焦点弦公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标，准线为， 则直线过抛物线的焦点，且由题意可知直线的斜率不为0， 不妨设直线为，，， 联立，消去，得， 易知，则，故， 因为，所以，即，故， 所以直线的方程为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的弦长、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求的值，从而得解； （2）分的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解. 【详解】（1）已知，故， 的周长为， 故，， 故椭圆C的方程为； （2）    ①当的斜率不存在时，则的斜率为0， 设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程， 解得，同理可得，所以，AB为长轴， ∴； ②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得： ，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 令，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，即. 综上①②可知，的取值范围为. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左顶点的直线与椭圆相交于另一点，设点为线段的中点，点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由题意根据已知条件以及平方关系求出即可. （2）通过三角代换设点的坐标，从而得点的坐标，结合两点间距离公式以及三角函数值域即可求解. 【详解】（1）由题意椭圆的一个焦点为， 不妨设它的标准方程为， 所以， 又椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由题意设，所以点， 又因为， 所以， 所以. 10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据弦长求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求. 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 二十三、中点弦问题（共10小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、求椭圆中的弦长、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 2．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据点差法，整理直线斜率与中点的等量关系，分别检验四个选项，利用一元二次方程根的存在性求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【答案】/0.25 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、由椭圆的离心率求参数的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据椭圆的离心率可得，设，利用点差法，结合直线与的交点恰好为线段AB的中点，即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆的离心率为， 故，， 设，由题意知l的斜率存在，则， 设线段AB的中点为， 则直线l的斜率为，直线的斜率， 由，两式相减得， 即得，即， 故， 故答案为： 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 5．（23-24高二上·江西·期中）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 （1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求. 【详解】（1） 由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以，，， 因此的标准方程为. （2） 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得或， 故，，不满足，即不是的中点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线：，，. 联立可得， 即. 所以. 由于为的中点，所以，即，解得. 综上，直线的方程为，即. 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．    (1)求直线的方程； (2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）． 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、由韦达定理或斜率求弦中点、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得； （2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得. 【详解】（1）由已知，点在直线上， 又因为直线过原点， 所以所求直线的方程为：．    （2）（i）方法1：因为，所以 设，则， 两式相减得， 整理得， 即，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 方法2：因为，， 所以设， 由， 由韦达定理得，于是， 从而，所以线段的中点在直线上． （ii）由（i）可知为的中点，而为的中点， 所以． 由解得，设， 由， 由， 由韦达定理得． 点到直线的距离， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以的最大值为． 【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得. 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解； （2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解. 【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为 联立方程解得 ，又， ，则 而 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设直线的方程为即 联立方程 得① 解得 将代入①，得 故直线的方程为. 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设 得， , 直线的方程为，即， 联立方程 得， 故直线的方程为. 8．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、抛物线的中点弦 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】抛物线的中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）由题意得，设圆心，由已知有，求解即可得出答案； （2）直线的斜率存在，设，，方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点， 圆的圆心设为，半径， 则， 又，可得. （2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为， ，， 由，可得， 所以，， 因为线段的中点为， 所以， 即，所以， 所以， 所以. 法二：设，， 由，可得， 即， 因为线段的中点为， 所以，， 所以， 由，由，可得：，所以，所以， 所以. 10．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的中点弦 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； （2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为. （2）设，则，两式相减得， 即.因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线的斜率为2.    $$