专题12 导数与函数的零点（方程的根）（考点清单+知识导图+ 7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单12 导数与函数的零点（方程的根） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 【清单02】函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断函数零点（方程的根）的个数 【例1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【答案】(1)极大值点为1，无极小值点 (2)1个，理由见解析 【知识点】利用导数研究方程的根、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出，利用、解不等式可得答案； （2）令，利用导数判断出在区间上的单调性，结合极值、端点值可得答案. 【详解】（1）， 当时，；当时，， 在单调递增，单调递减， 的极大值点为1，无极小值点； （2）方程在区间上只有1个解，理由如下： 令， 则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 在有一个零点，在无零点， 所以方程在区间上只有1个解. 【变式1-1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)判断在上是否有零点，并说明理由． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； (2)函数在上有零点，理由见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先确定函数的的定义域，再求导确定单调区间和极值； （2）根据零点存在定理确定函数在上是否有零点. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，得，的增区间为， 令，得，的减区间为 的极小值为，无极大值. （2）在上有零点， 因为，， 所以， 由零点存在定理可知，函数在上有零点. 【变式1-2】（23-24高二下·河南郑州）已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)有极大值，无极小值 (2)在上有两个零点，理由见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先研究函数导数正负，进而得函数单调性即可求解函数极值. （2）根据（1）得函数单调性，从而根据函数在上的单调性和最值以及端点值情况即可求解判断. 【详解】（1）由题，则恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，无极小值. （2）在上有两个零点，理由如下： 由（1）在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有最大值， 又， 故在上有两个零点. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性 【例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：在上有唯一零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意转化为在上恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果； （2）对函数求导构造新函数，通过导数确定单调性，进而确定在上存在唯一的零点，分情况讨论函数各区间零点个数，即可得解. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即.令，， 因为且，所以在上恒成立. 所以在上单调递增，所以，即. （2）考虑，则. 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 即，①，所以，所以，即②. 令，则， 所以在上单调递增. 由①得，又，且的图象在上不间断， 所以在上存在唯一的零点，记为. 当时，，单调递减，又，所以在上恒成立，且； 当时，，单调递增，由②知 ， 又，所以在上存在唯一的零点. 综上所述，函数在上有唯一零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 【变式2-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：函数存在唯一零点． 【答案】(1)的增区间为； (2)详见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）由题可得，然后利用导数研究函数的性质可得，进而即得； （2）由题可得时，函数在上单调递增，结合零点存在定理可得函数存在唯一零点，时，利用导数研究函数的极值，结合函数的单调性进而即得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 设，则， 由，可得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递增，即函数的增区间为； （2）由题可知当时，函数在上单调递增， 又，令，则 ， 所以存在，使，即当时，函数存在唯一零点； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以存在，，使得， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数有极大值， 又， 设，则，函数在上单调递增， 所以，故， 又时，， 所以时，函数在上存在唯一的零点； 综上，函数存在唯一零点． 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 【变式2-2】（24-25高三上·浙江金华）设，已知函数，． （1）当时，证明：当时，； （2）当时，证明：函数有唯一零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）当时，构造函数，利用导数证明出当时，，即可证得结论成立； （2）分析出当时，，利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理可证得结论成立. 【详解】，令， （1）证明：要证原不等式，只需证：当时，． 则对任意的恒成立. 所以，函数在上单调递增，因此，即原不等式成立； （2）（i）由（Ⅰ）可得当时，， 故函数在上没有零点； （ii）当时，． 令，． 则递增，且，，在上存在唯一零点，记为， 当，，此时，函数单调递减； 当时，，此时，函数单调递增. ，，，， 在上存在唯一零点，当时，． 故当，；当时，． 在上递增，在上递减，且． 令，当时，则， 函数在上递增，，， 取，且，则， 则有， 又，由零点存在定理可得，在上存在唯一的零点． 综上可证：函数在上有唯一零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【考点题型三】讨论函数零点（方程的根）的个数 【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论方程的实根的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求得，，可求切线方程； （2）求导得，进而可得在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，可作大致图象，由图象可得绝地求生论. 【详解】（1），， 又， 函数的图象在点处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为，且， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 时，，时，， 时时. 的大致图象如图所示   当时，方程没有实数根； 当或时，方程有且只有1个实数根； 当时，方程有2个实数根. 【变式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1) (2)1 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数导数，利用极值点导数为0求出，再检验即可得解； （2）分三种情况讨论，讨论时，列出当变化时，的变化情况，再由零点存在性定理判断零点个数即可. 【详解】（1）的定义域为. 因为4是的极大值点， 所以，即，解得或 当时，当变化时，的变化情况如下表： 3 4 + 0 0 + 极大值 极小值 此时，4是的极小值点，不符合题意； 当时，当变化时，的变化情况如下表： 4 6 + 0 0 + 极大值 极小值 此时4是的极大值点，符合题意. 因此，此时. （2）①当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有一个零点， 因此的零点个数是1. ②当时，对任意，在上是增函数， 又，由零点存在定理知，有1个零点， 因此的零点个数是1. ③当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有1个零点， 因此的零点个数是1. 综上，当时，的零点个数是1. 【变式3-2】（23-24高三上·云南·阶段练习）已知． (1)当时，求在上的单调性； (2)若，令，讨论方程的解的个数． 【答案】(1)在上递增 (2)答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求出的导数，并判断在的正负，可得在上的单调性； （2）方程的解的个数问题转化为函数的图像与直线的交点个数问题，画出函数的图像，利用数形结合的手段即可解决. 【详解】（1）因为 所以当时，， 所以， 则当时，，，可得， 所以在上递增． （2）因为，， 所以，， 令，解得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，有极小值． 令，解得．令，可得， 当时，；当时，． 所以，的图像经过特殊点，，． 当时，，从而； 当时，，，从而． 根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示．    方程的解的个数为函数的图像与直线的交点个数． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个． 【点睛】方法点睛：解决方程的解的个数问题，可转化为两个函数交点的个数问题，画出两函数的图像，采取数形结合的手段解决. 【考点题型四】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 【例4】（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数在处取得极大值. (1)求的值； (2)若有且只有个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 由得或；由得. 此时，函数在上递减，在上递增， 则极小值为，不合题意； 当时，， 由得或；由得； 所以，函数在上递增，在上递减， 此时，函数极大值，合乎题意. 综上，. （2）解：由（1）可知，，， 函数的增区间为、，减区间为。 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先对求导，将代入推出斜率，即可推出结论； （2）先设切点，推出切线方程为，化简整理得，记，则有三个不同的零点，即可推出结论． 【详解】（1），所以， 则曲线在点处的切线方程为：． （2）设切点，则切线方程为， 又切线过点，所以，即， 由题意，上述关于方程有三个不同的实数解， 设，则有三个不同的零点， 而，令，得或， 当时，，则在和上单调递增， 当，，则在上单调递减， 若有三个不同的零点，则，解得， 所以实数b的取值范围为． 【变式4-2】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知函数，当时，取得极值． (1)求的解析式； (2)若在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点和函数极值，列出方程组，即可求得答案； （2）由题意求出函数在区间上的值域，即得答案. 【详解】（1）依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得，则， 当或时，；当时，； 即在上均单调递增，在上单调递减， 故为的极小值点，极小值为，符合题意， 所以； （2）由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为， 若在区间上有解，则的范围即为的值域， 所以. 【考点题型五】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 【例5】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求a的取值范围. 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令.参变分离.然后构造函数.将问题转化为函数的图象与直线的交点问题.利用导数研究函数的单调性.然后作图可知. 【详解】令.得. 记. 则. 记.因为.所以在R上单调递减. 又.所以.当时..即.单调递增； 当时..即.单调递减. 所以当时，有最大值. 而.又当时.恒成立. 所以可得函数的草图如图所示. 由图可知.当时.函数的图象与直线有两个交点. 所以有两个零点时.a的取值范围为. 【变式5-1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求的取值范围 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数有两个零点.转化为与有两个交点问题.利用导数研究并作出函数的图象.即得的取值范围. 【详解】令得. 设，则. 当时.在上递减； 当时.在上递增. 则. 又因时，，，时作出函数的图象. 由图可得.要使直线与函数的图象有两个交点.须使.即. 故的取值范围是. 【变式5-2】（2024·贵州贵阳）已知函数. (1)当时.求在处的切线方程; (2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）方程进行分离参数变形为，引入函数，利用导数确定函数的单调性与极值，结合函数图象得出结论． 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即． （2）由得，，易知， 显然当时等式不成立，所以当时， 令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增，且， 作出的大致图象，如图， 由的图象可知当时，方程有两个不同的解， 即方程有两个不等的实数根，所以的取值范围是． . 【变式5-3】（2024高二·河南南阳·专题练习）若函数，当时，函数有极值． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程即可得答案； （2）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案. 【详解】（1），当时，函数有极值， 所以，解得， 得到解析式为， 经检验，符合题意， 所以所求函数解析式为. （2）由（1）可知 令，得或 当变化时，、的变化情况如下表： ＋ － ＋ ↗ ↘ ↗ 因此，当时，有极大值，当时，有极小值， 所以大致图象如图所示， 又因为有三个零点，即有三个实数解， 所以实数的取值范围为. 【考点题型六】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 【例6】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用同构法整理不等式，构造函数并研究单调性，可化简不等式，利用分离参数，再构造新函数，利用单调性，可得答案. 【详解】由于在时恒成立， 则在时恒成立. 令，，则， 所以在上单调递增， 当时，由，则； 当时，由，则显然成立； 综上所述：，可得，即. 令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用幂指恒等代换进同构整理，由此构造函数即可. 【变式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 【变式6-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）若且关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先构造函数，由得在单调递增，将题目中不等式转化为，由单调性得出，再构造，根据导数求解参数范围即可． 【详解】由， 所以， 设，由得在单调递增， 所以， 设， 则，显然单调递增，令，得， ①当，即时， 在时，，则在单调递减， 在时，，则在单调递增， 所以， 因为当时，，不合题意； ②当，即时，则当时，，在单调递增， 所以，令得，， 则当时，， 当时，，不合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题关键在于构造，将转化为，简化运算进而求解． 【考点题型七】导数中新定义题 【例7】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数在上存在，使得，则称为在区间上的“奇点”，若存在、，使得，，则称是上的“双奇点函数”，其中、也称为在上的奇点. (1)已知函数是区间上的双奇点函数，求实数的取值范围； (2)已知函数，； （i）当时，若为在区间上的“奇点”，证明：； （ii）求证：对任意的，在区间上存在唯一“奇点”. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）根据“奇点”的定义分析可知，方程在有两解，令，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）（i）根据“奇点”的定义以及已知条件推导出，将要证的不等式变形为，即，令，可变形为，然后构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （ii）令，构造函数，根据单调性得出函数值的范围结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）因为，则， 由， 所以有两解，即在有两解， 令，所以， 解得：. （2）（i）因为，， 当时，，则， 因为，，所以，，即， 要证，即证，即， 令，因为，所以，设， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以，即证. （ii）令， 即， 因为，，所以， 所以在区间是单调递减的， 因为， 令，所以，所以， 设，所以， 当时，；当时，. 即在上单调递减，上单调递增， 所以，即， 因为，，所以； 同理， 因为，，所以，即， 所以，所以， 因为，且在区间是单调递减， 所以在区间上存在唯一零点， 即对任意的，在区间上的“奇点”是唯一的. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式7-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“对任意成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义 【分析】（1）要根据“S关联函数”的定义找出满足条件的函数； （2）需要利用导数分析函数单调性结合定义求出m的取值范围； （3）要从充分性和必要性两个方面进行证明. 【详解】（1）设是的关联函数. 对于任意，当时，. 因为，所以， 设，则， 令，，那么. 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数. 对任意，当时，. 设，（），则. 展开得. 对求导，. 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 即在上恒成立，设，. 令，得. 在上递减，在上递增，. 所以. （3）充分性： 假设存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数. 当时，. 对于任意，取，，当（足够大时）. 有，当时，，即.   必要性： 若，定义. 对于任意正整数，对于任意，当时. . 因为，所以. 故命题得证. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 【变式7-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)求证：为区间上的凹函数； (2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的导函数，利用为区间上的凹函数的定义证明； （2）求出函数的导函数，利用为区间上的凹函数的定义求解； （3）由题意得到，分，，讨论证明； 【详解】（1）由题意得，，记的导函数为（下同）， 则，所以在区间上单调递增， 所以为区间上的凹函数. （2）由题意得，，则， 令，则，故. 令，则， 故在上单调递增，故， 则，故，故实数的取值范围为. （3）由题意得，. 当时，，符合题意， 当时，因为，则，则即证， 即证， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 故当时，，即成立. 当时，由（1）知在上单调递增， 又，所以，使得， 所以，因为，所以，所以. i）当时，，即证， 设，则， 所以在上单调递减， 所以. ii）当时，，即，即证， 设，则， 令， 则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 故当时，. 综上，当时，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由时，根据在上单调递增，利用零点存在定理，得到，使得，再分和而得证. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合，即可判断出答案. 【详解】由，可得，即定义域为， 所以， 由于，故， 即，当且仅当时取等号， 即在上为单调递增函数，又， 所以仅有一个零点． 故选：A． 2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义域上的零点，进而得出结果． 【详解】因为，所以 当时，由，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 又，则需，所以； 当时，令，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 又, 所以仅有一个负数零点， 所以满足题意； 综上，的取值范围是或． 故选：D. 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【详解】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C.    【点睛】易错点睛：在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置. 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根 【分析】问题转化为有3个不同的根，令，，利用导数求出的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由方程有3个不同的根，即有3个不同的根， 令，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，作出图象如下： 所以，即. 故选：B. 5．（24-25高三上·山东·开学考试）若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围． 【详解】由题意可得：． 令，则或，令，则， 所以函数的单调增区间为和，减区间为， 所以当时函数有极大值，当时函数有极小值， 若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 6．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究方程的根、求已知函数的极值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先利用导数刻画的图像，再根据直线与 的图像有3个不同的交点可得实数a的取值范围. 【详解】， 当或时，；当时，， 故在，上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，的极小值为， 当时，，当时，， 故的图像如图所示： 故， 故选：A. 二、填空题 7．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根 【分析】将问题转化为与在上有两个交点，进而有有两个不同的正根，利用导数研究右侧函数的单调性及区间符号，即可得结果. 【详解】由题设，要使恰有两个“匹配点对”，只需与在上有两个交点， 所以有两个不同的正根， 令且，则， 所以时，即在上递减； 时，即在上递增； 又时，时，且最小值， 所以，要使有两个不同的正根，只需， 所以. 故答案为： 8．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】首先设，则方程转化为，转化为分析函数和和 的交点个数问题. 【详解】，设，则， ，得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时，函数取得最大值1， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为，如图， 则与有2个交点，，则， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查嵌套零点问题，解题的关键是需通过换元，转化为内外层函数的零点个数问题. 三、解答题 9．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 【答案】(1)当时,有极小值 2，无极大值. (2) (3) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值； （2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可； （3）有唯一解，构造函数参变分离，有唯一解，构造函数，借助导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）因为函数，所以的定义域为 令，则，注意到为增函数，且， 所以当时,，单调递减； 当时,，单调递增； 所以当时,有极小值 2，无极大值. （2）由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则 设，则 因为在区间上单调递增，所以 则在区间上单调递增，所以则 所以在区间上单调递增， 所以，所以. （3）由题意可知有唯一解， 设 注意到，当时,；当时, 所以至少有一个解. 因为有唯一解，所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立, 则 所以在区间上单调递增， 注意到所以当时,单调递减； 当时,单调递增； 故只需即可， 所以 10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数的解析式； (2)若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组，解出即可； （2）先将问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，再构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【详解】（1）由题意得， 故， （2）过点向曲线作切线，设切点为， 则，， 则切线方程为， 将代入上式，整理得. 过点可作曲线的三条切线， 方程有三个不同实数根. 记，， 令，得或1，则，，的变化情况如下表： 0 1 + 0 - 0 + 极大 极小 当，有极大值；，有极小值， 由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点.此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是. 11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数的值； (2)若在内有两个不同极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，得出在处的切线方程，过可得，根据函数求导判断单调性以及，即可得出； （2）对函数求导，由在内有两个不同极值点，转化为有两个不同的解，即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，通过分析二次函数在给定区间的值域，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，，且定义域为． 则在处的切线方程为． 则，即． 设，则． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 又，且在上单调递减，所以. （2）由（1）知，. 令，得有两个不同的解． 令，所以， 即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点． 因为时，最小，且为， 且时， ， 所以． 12．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1) (2)有3个零点 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）根据拐点与对称中心的关系可求出的值； （2）研究函数的极值与单调性，再结合零点存在定理即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以， 解得 （2）解：由（1）知，， ， 令，得或， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为， 又当时，； 当时，， 所以有3个零点. 13．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负确定单调性，结合极值点定义即可求解， （2）根据函数的单调性，求解极值，即可求解. 【详解】（1）定义域为； ； 令  或 列表如下： 1 ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极大值； 当时，取得极小值. （2）方程 ， 有三个不同的实数解， 等价于函数 与直线 有三个不同的交点； 当时，，；∴； 当时，，，∴； 由（1）知，只需； 即. 14．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知. (1)求的图象的以为切点的切线方程； (2)过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程即可，最后得解； （2）将切线条数问题，转化为与的图象有三个公共点问题，再借助导数，从而得解. 【详解】（1），所以， 由导数的几何意义可得，以为切点的切线的斜率为， 又，所以切点坐标为， 所求切线为，即. （2）设切点为， 由，所以切线斜率为 得切线方程为：， 所以，化简得：. 设， 由题意可知与的图象有三个公共点， ， 当或时，；当时，； 所以当时取极小值；时取极大值； 且， 所以时，中切点横坐标有三个不同的解. 故过点可对的图象作出三条切线时，实数的取值范围为 15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 【答案】(1)凸函数 (2) (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、导数新定义 【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可； （2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解； （3）令，，则问题转化为在上恒成立，对分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1），， 所以，， 因为，所以， 所以在为凸函数. （2）由（1）知在内为凸函数， 又，且（，，，）， 所以 所以 （3）令，，则在上恒成立， 则，且， 当，，不合题意舍去; 当，则， 故， 令，则 ， 令，，则， 所以在上递增，所以， 所以，即在上递增， 又，则，所以在上递增， 又，即，，符合题意; 当，令，则，， 所以，不合题意舍去， 综上，正整数a的取值集合为 【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单12 导数与函数的零点（方程的根） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 【清单02】函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断函数零点（方程的根）的个数 【例1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【变式1-1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)判断在上是否有零点，并说明理由． 【变式1-2】（23-24高二下·河南郑州）已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性 【例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：在上有唯一零点. 【变式2-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：函数存在唯一零点． 【变式2-2】（24-25高三上·浙江金华）设，已知函数，． （1）当时，证明：当时，； （2）当时，证明：函数有唯一零点． 【考点题型三】讨论函数零点（方程的根）的个数 【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论方程的实根的个数. 【变式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 【变式3-2】（23-24高三上·云南·阶段练习）已知． (1)当时，求在上的单调性； (2)若，令，讨论方程的解的个数． 【考点题型四】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 【例4】（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数在处取得极大值. (1)求的值； (2)若有且只有个零点，求实数的取值范围. 【变式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 【变式4-2】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知函数，当时，取得极值． (1)求的解析式； (2)若在区间上有解，求的取值范围. 【考点题型五】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 【例5】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求a的取值范围. 【变式5-1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求的取值范围 【变式5-2】（2024·贵州贵阳）已知函数. (1)当时.求在处的切线方程; (2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 【变式5-3】（2024高二·河南南阳·专题练习）若函数，当时，函数有极值． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围． 【考点题型六】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 【例6】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为 【变式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【变式6-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）若且关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ． 【考点题型七】导数中新定义题 【例7】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数在上存在，使得，则称为在区间上的“奇点”，若存在、，使得，，则称是上的“双奇点函数”，其中、也称为在上的奇点. (1)已知函数是区间上的双奇点函数，求实数的取值范围； (2)已知函数，； （i）当时，若为在区间上的“奇点”，证明：； （ii）求证：对任意的，在区间上存在唯一“奇点”. 【变式7-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； (3)对定义在上的函数，证明：“对任意成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”． 【变式7-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)求证：为区间上的凹函数； (2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东·开学考试）若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是 . 8．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 . 三、解答题 9．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数的解析式； (2)若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数的值； (2)若在内有两个不同极值点，求实数的取值范围． 12．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 13．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 14．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知. (1)求的图象的以为切点的切线方程； (2)过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$