专题08 数列求通项与求和（考点清单+知识导图+17个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单08 数列求通项与求和 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 【清单02】累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 【清单03】数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 【清单04】构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 【清单05】倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 【清单06】裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项 核心方法：形如： 【例1】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【考点题型二】累乘法求通项 核心方法：形如： 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【变式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足， ，其中n∈N*． (1)求数列的通项公式； 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系 核心方法：用，得到 【例3】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； 【变式3-1】（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 【考点题型四】已知与的关系；或与的关系 核心方法：替换题目中的 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【变式4-1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； 【考点题型五】已知等式中左侧含有： 核心方法：作差法（类似） 【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足：，数列满足：. (1)求数列的前15项和； 【变式5-1】（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如） 【例6】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 【变式6-1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【变式6-2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，． (1)求数列的通项公式； 【考点题型七】数列求通项之构造法（形如） 【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式． 【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如） 【例8】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为 . 【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若数列中，，则这个数列的 【考点题型九】数列求和之倒序相加法 【例9】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【变式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 【变式9-2】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如） 【例10】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式10-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如） 【例11】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 【变式11-1】.（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足. (1)求证:数列为等比数列; (2)已知，求数列的前2n项和. 【变式11-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如） 【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【变式12-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【变式12-2】（24-25高二上·甘肃白银·期中）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例13】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【变式13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式及； (2)设______，求数列的前n项和． 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【考点题型十四】数列求和之列项相消法（形如） 【例14】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【变式14-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【变式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【考点题型十五】数列求和之错位相减法 【例15】（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【变式15-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 【变式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点题型十六】数列求和之通项含绝对值求和 【例16】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【变式16-1】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 【变式16-2】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【考点题型十七】数列中新定义题 【例17】（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，则称为“自然递增数列”. (1)若，，试判断：数列，是否为“自然递增数列”？ (2)若等差数列是“自然递增数列”，且，求的公差的取值范围. (3)若数列是“自然递增数列”，共有5项，且，求所有满足条件的数列中的概率. 【变式17-1】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． (1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； (2)若数列为的8增数列，求的最小值； (3)若存在60的增数列，求的最大值． 【变式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 3．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 5．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，其中，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·模拟预测）已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 9．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 11．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 12．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 13．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 数列求通项与求和 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 【清单02】累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 【清单03】数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 【清单04】构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 【清单05】倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 【清单06】裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项 核心方法：形如： 【例1】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【知识点】对数的运算、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项. 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 【考点题型二】累乘法求通项 核心方法：形如： 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； 【详解】（1）因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. 【变式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足， ，其中n∈N*． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）根据已知条件，利用累乘法求； 【详解】（1）由得：， 故，，，……，，， 以上个式子相乘得，， 故； 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系 核心方法：用，得到 【例3】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）利用、等比数列定义可得答案； 【详解】（1）当时，，解得， 因①， 当时，②， ①②得，，即， 则，即，，又. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 可得，即； 【变式3-1】（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (答案】(1) 【分析】（1）根据数列的前项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得：. 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以. 当时，上式也成立. 所以数列的通项公式为： 【考点题型四】已知与的关系；或与的关系 核心方法：替换题目中的 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系及已知得到，由等差数列的定义写出的通项公式，进而求通项公式. 【详解】由， ， ， ，即是以2为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当时，， 显然，时，上式不成立， 所以． 【变式4-1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与关系和平方差公式可得，再结合等比数列的基本量计算，可得； 【详解】（1）由已知当时，，， 所以， 又， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以当时，， 又， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 解得，所以； 【考点题型五】已知等式中左侧含有： 核心方法：作差法（类似） 【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足：，数列满足：. (1)求数列的前15项和； 【答案】(1)130 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意得，去绝对值后利用分组求和，结合等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】（1）因为，解得， 所以 . 【变式5-1】（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用时，，推得，代入，求出答案． 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①②得，所以，所以． 故选：C． 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如） 【例6】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式6-2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式； 【详解】（1）解：因为数列满足，，则， 且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为， 所以，，则. 【考点题型七】数列求通项之构造法（形如） 【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而求的通项公式. 【详解】由，得， 整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故，则． 【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如） 【例8】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项 【分析】根据递推公式，通过构造数列法求得，再利用等比数列的前项和公式，求得，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以数列为等比数列， 所以，所以， 所以， 若，则，所以，故正整数的最大值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查通过构造数列法求通项公式，以及利用公式法求等比数列的前项和，属中档题. 【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若数列中，，则这个数列的 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项 【解析】取倒数，推出数列是等差数列，然后求解数列的通项公式即可． 【详解】解：由题意，数列中，，可得， 所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列， 所以，即， 故答案为： 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 【考点题型九】数列求和之倒序相加法 【例9】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【知识点】求函数值、等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【变式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】158 【知识点】由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和 【分析】利用已知确定数列的通项公式，得出，，由函数解析式得出，结合倒序相加法求和． 【详解】，则， 所以，整理得， 即是常数数列，又， 所以，， ， 则， 所以， 又，所以，， 所以， 所以． 故答案为：158． 【变式9-2】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、倒序相加法求和 【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项. 【详解】函数的定义域为R，， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得，当时，， ， ， 于是，即，所以数列的通项公式为. 故答案为：； 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如） 【例10】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，两个等式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）解：因为为数列的前项和，且， 当时，则有，解得； 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，. （2）解：因为， 所以， . 【变式10-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式可求出公差，从而得到通项公式； （2）利用分组求和法，分别计算两种情况下数列的前项和. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或. 当时，. 当时，. 所以数列的通项公式为或. （2）由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和 当时，， 则，且， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则 . 故数列的前项和或. 【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 则 ， 所以. 【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如） 【例11】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系求出，利用等差数列的基本量求解； （2）可分组求和，分别依据等差数列求和与错位相减求和. 【详解】（1）解：因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得， 所以. 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）解：因为可得 则数列的前2n项和， 令， ， 则， 所以， ， . 【变式11-1】.（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足. (1)求证:数列为等比数列; (2)已知，求数列的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当n=1时代入求出，当时仿写作差即可； （2）将数列的前2n项和转化为，利用等比数列的求和公式求出，利用错位相减法求出即可； 【详解】（1）当n=1时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以， 设数列的前项和为， 所以， 即， 令，知， ，， 作差得，化简， 所以 【变式11-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如） 【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)72 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式； （2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求. （3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数. 【详解】（1）设指数函数，则，即，． ， ． 又数列成等比数列，，． 又公比，． （2）， 又，，， 故为首项为1、公差为1的等差数列，． 当，，当时也满足， （3），则 由 ，得，即， 则最小正整数为72 【变式12-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3)证明见解析 【知识点】由定义判定等比数列、数列不等式恒成立问题、根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用递推公式逐项计算可得出、、的值； （2）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （3）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得. （2）解：由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （3）解：设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，. 【变式12-2】（24-25高二上·甘肃白银·期中）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）由得，相减可得递推公式，进而判断为等比数列，从而可得等比数列的通项公式； （2）根据题意计算可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法可得前n项和. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，得，满足． 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，． （2）因为， 所以． 所以. 故数列的前n项和为，. 【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例13】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可. 【详解】（1）因为为函数的两个零点，且， 所以，又因为， 所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． （2）因为 所以 【变式13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式及； (2)设______，求数列的前n项和． 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）设出等差数列的公差，由题意列方程求出首项和公差，即可求得答案； （2）不论选①、选②还是选③，都要利用（1）的结果，可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案. 【详解】（1）由题意知等差数列的前n项和为，，， 设公差为d，则，解得， 故，； （2）若选①，则， 故； 若选②，则， 故； 若选③，则， 故. 【考点题型十四】数列求和之列项相消法（形如） 【例14】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【详解】（1）（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）（3）解：因为 ， 所以， ， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得， 因为，则的值为. 【变式14-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据数列递推式可推出，求出，由此可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出表达式，即可证明结论. 【详解】（1）将两边同时除以， 得. 所以是等差数列. 当时，，公差是， 得，则，① 当时，，② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以. 【变式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项； （2）根据裂项相消和分组求和法求解即可； 【详解】（1）由题设，当时或（舍）， 由，知， 两式相减得， （舍）或，即， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，． 又． （2） 则 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 所以. 【考点题型十五】数列求和之错位相减法 【例15】（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 【变式15-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等边数列， 则， 故 （2）， 故 则 故 故 则 【变式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． （2）由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 【考点题型十六】数列求和之通项含绝对值求和 【例16】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)36 (3) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）解：由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， ∴通项公式为； （2）解：由（1）可得前项和， ∴当时，取最大值； （3）解：∵， ∴当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时， ， 综上所述. 【变式16-1】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 【答案】(1)，； (2)25； (3). 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项及前n项和. （2）求出，再利用等差数列前n项和公式求解即得. （3）判断数列的正数项与负数项，再借助（2）中结论分段求和即得. 【详解】（1）设数列的公比为，，由成等差数列，得， 即，整理得，而，解得，又， 所以数列的通项公式，. （2）由（1）得，，则，且， 于是数列是首项为9，公差为的等差数列， 所以， 所以当时，取得最大值25. （3）由（2）知，当时，，当时，， 当时，，； 当时，， 所以. 【变式16-2】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 【考点题型十七】数列中新定义题 【例17】（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，则称为“自然递增数列”. (1)若，，试判断：数列，是否为“自然递增数列”？ (2)若等差数列是“自然递增数列”，且，求的公差的取值范围. (3)若数列是“自然递增数列”，共有5项，且，求所有满足条件的数列中的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）由，单调递增即可判断，对于数列，通过反例即可说明； （2）通过讨论或.两类情况可求解； （3）通过，和确定基本事件总数，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）对于数列，，随的增大而增大， 满足， 所以是“自然递增数列”. 对于数列，， 则，，，， ，不满足，故不是“自然递增数列”. （2）由题意可得，则， 由是“自然递增数列”可得对任意的，单调递增， 由可得，解得或. 当时，令，得， 所以当时，单调递增，又，所以对任意的，单调递增，符合条件. 当时，， 由，可得单调递增，符合条件. 综上可知，公差的取值范围为. （3）由可知的最小值为0，最大值为5. （ⅰ）若，则或，则，，，， 所以，或，或，或， 此时满足条件的数列的个数为. （ⅱ）若，则，则或4. ①若，则或， 则，即或， 则，即或， 则，即， 此时满足条件的数列的个数为. ②若，则. 当时，， 若，则，则或，即或， 若，则或，则，即； 当时，或，则，，即或，. 此时，满足条件的数列的个数为. 综上可知，所有满足条件的数列的个数为. 故所有满足条件的数列中的概率. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 【变式17-1】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． (1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； (2)若数列为的8增数列，求的最小值； (3)若存在60的增数列，求的最大值． 【答案】(1)35 (2)8 (3)450 【知识点】数列新定义 【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值. （2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值. （3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值. 【详解】（1）由题意得，根据m的k增数列的定义， ， 因为， 所以对于，使得的正整数对有： 共10对， 所以，于是. （2）由题意得，数列为的8增数列， 即， 且对于，使得的正整数对恰有个. 所以数列各项中必有不同的项，所以且. 若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以； 若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2， 此时数列为，满足要求的整数对分别为 ，符合m的8增数列， 所以当时，存在m的8增数列， 故m的最小值为8. （3）由题意得，若数列中的每个项都相等，则， 若，则数列中存在大于1的项， 若首项，则将拆分成个1后k变大， 所以此时k不是最大值，故. 当时，若， 则交换和顺序后k变为， 所以此时k不是最大值，所以. 若，则， 此时将变为，并在数列首位添加一项1， 则k值变大，所以此时k不是最大值， 所以. 若数列中存在相邻的两项， 设此时中有x项为2， 将改为2，并在数列首位前添加个1后， k的值至少变为， 所以此时k也不是最大值. 综上，若k为最大值，则数列中的各项只能为1或2， 所以数列为的形式. 设其中有x项为1，y项为2， 因为存在60的k增数列，所以， 所以， 所以当且仅当时，k取最大值450. 【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“的增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来. 【变式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数，则称数列为等方差数列，p为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和 【答案】(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【详解】（1）因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为d， 则 又是等方差数列，所以 故， 所以， 即， 所以，故是常数列. （3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以； 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，，解得， 当时，，可得，即. 故是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】分析奇数项和偶数项的特点，分组求和即可. 【详解】根据递推公式可知：数列的奇数项依次为：，，，…，为等比数列； 数列的偶数项为：，，，…，为等差数列. 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和 【分析】运用裂项相消法，结合指数的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意得， 则，则， 得，解得， 故选：A 5．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，其中，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】根据给定条件，可得，再利用对数运算法则求得，利用裂项相消法求和即得. 【详解】函数，由，得 ，， 因此，， 所以. 故选：A 6．（2024·河北·模拟预测）已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、数列求和的其他方法 【分析】利用累加法计算数列通项再求和即可. 【详解】由题意可知，则， 累加可得， 且，即，满足上式， 所以， 所以的前n项和的表达式为. 故选：C 7．（2024高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】由诱导公式和特殊角三角函数值求，结合等差数列通项公式求公差，由此可求，再利用组合求和法求. 【详解】由已知，故， 设数列的公差为，可得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 8．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 二、解答题 9．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据数列递推式可得，结合等差数列定义，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消求和法，即得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为各项均为正数，， 所以， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 故. （2）， 所以 . 11．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】前n项和与通项关系、错位相减法求和 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 12．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【详解】（1）（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）（3）解：因为 ， 所以， ， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得， 因为，则的值为. 13．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系求出，利用等差数列的基本量求解； （2）可分组求和，分别依据等差数列求和与错位相减求和. 【详解】（1）解：因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得， 所以. 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）解：因为可得 则数列的前2n项和， 令， ， 则， 所以， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$