第二章《有理数及其运算》考点复习(2)讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 第2节 有理数的加减运算 目录：基础点拨、巩固拔高、试题析解 一 基础点拨 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数 .。 知识点2 相反数的性质 如果两个数互为相反数，那么它们的和为0，反过来，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数. 符号表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0 . 反之，如果a+b=0，那么a+b互为相反数 . 知识点3 有理数加法的运算律 交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b=b+a. 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c). 知识点4 有理数减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。符号表示：a−b=a+(−b) 知识点5 数轴上任意一个两点间的距离 数轴上任意两点间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值 .符号表示：AB=|a−b|=|b−a|. 【例1】已知|a|＝3，|b|＝4，并且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．+7 B．﹣7 C．±1 D．﹣7或﹣1 【分析】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键。 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，且a＞b， ∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4， 则a+b＝﹣1或﹣7． 故选：D． 【变式练习1】已知|a|＝5，|b|＝4，且a+b＜0，则a﹣b的值是（　　） A．9或1 B．﹣1或﹣9 C．9或﹣1 D．﹣9或1 【分析】本题考查了绝对值知识点，难度不大，求出符合题意的值即可。 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝4， ∴a＝±5，b＝±4， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣5，b＝4或a＝﹣5，b＝﹣4， ∴a﹣b＝﹣5﹣4＝﹣9或a﹣b＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1， ∴a﹣b的值为﹣9或﹣1． 故选：B． 【变式练习2】若|x﹣2|+|y+3|＝0，则（x+y）2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．25 D．5 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴（x+y）2＝（2﹣3）2＝1． 故选：B． 【变式练习3】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答。 【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离， |a﹣3|表示a到3点的距离， 因为﹣5到3点的距离为8， 故﹣5到3之间的所有点均满足条件， 又由a为整数， 故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个， 故选：D． 【变式练习4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，则m的值不可能是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义。 【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， 因此有三种情况，即①a、b为负，c为正，②a、c为负，b为正，③b、c为负，a为正， ∵a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ， ①当a、b为负，c为正时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4， ②当a、c为负，b为正时，m＝﹣1﹣2+3＝0， ③当b、c为负，a为正时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2， 故选：D． 【例2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+9﹣2020+2021﹣2022﹣2023+2024＝　﹣2011　． 【分析】本题考查有理数的加减运算．解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，利用结合律进行简算。 【解答】解：原式＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+9﹣2020+（2021﹣2022﹣2023+2024） ＝0+0+9﹣2020+0 ＝﹣2011． 故答案为：﹣2011． 【变式练习1】计算：（+1）+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+⋯+（+99）+（﹣100）． 【分析】本题考查有理数的加减运算． 【解答】解：原式= =50. ＝﹣50． 【变式练习2】计算：1﹣2+3﹣4+⋯+2023﹣2024. 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键。 【解答】解：1﹣2+3﹣4+⋯+2023﹣2024 ＝﹣1012． 【变式练习3】计算：（1）|3﹣6|＝ 　 　； （2）计算：|3.14﹣π|+|3﹣4|（计算结果保留π）． （3）计算：． 【分析】本题主要考查有理数的加减运算、绝对值，熟练掌握有理数的加减运算法则、绝对值的定义是解决本题的关键 【解答】解：（1）|3﹣6|＝|﹣3|＝3， 故答案为：3； （2）|3.14﹣π|+|3﹣4| ＝π﹣3.14+4﹣3 ＝π﹣2.14； （3）原式 ． 【例3】【阅读】|4﹣1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离． （1）4﹣（﹣1）＝ 　 　； （2）在数轴上，有理数5与﹣4所对应的两点之间的距离为 　 　（只填得数）： （3）结合数轴找出所有符合条件的x，若|x+1|＝4，则x＝ 　 　； （4）利用数轴分析，若|y﹣1|+|y+2|＝5，则满足条件的所有y的值为 　 　 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的加减运算，分类讨论的思想方法，正确理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键。 【解答】解：（1）4﹣（﹣1）＝4+1＝5． 故答案为：5； （2）在数轴上，有理数5与﹣4所对应的两点之间的距离为5﹣（﹣4）＝5+4＝9． 故答案为：9； （3）∵|x+1|＝4， ∴数轴上表示x的点与﹣1的距离为4． ∵数轴上表示数3和﹣5的点与﹣1的距离为4， ∴x＝3或﹣5． 故答案为：3或﹣5； （4）∵|y﹣1|+|y+2|＝5， ∴数轴上表示y的点与1的距离和表示y的点与﹣2的距离之和为5． ∵数轴上表示1的点与﹣2的距离为3， ∴数轴上表示y的点在1的右侧或在﹣2的左侧． 当表示y的点在1的右侧时，y＝2， 当表示y的点在﹣2的左侧时，y＝﹣3． 综上，若|y﹣1|+|y+2|＝5，则满足条件的所有y的值为﹣3或2． 故答案为：﹣3或2． 【变式练习1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． （1）将A，B，C三点所表示的数在如图中的数轴上表示出来； （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ （3）如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【分析】本题主要考查的是数轴上点的移动，并考查了有理数的运算 【解答】解：（1）0+4＝4，点A表示的数是4， 4+2＝6，点B表示的数是6， 6﹣10＝﹣4点C表示的数是﹣4； （2）根据点C在数轴上的位置， ﹣4+4＝0， 点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬 了4个单位长度； （3）共有3种移动方法， ①移动A、B两点到C， A向左移动8个单位到C，B向左移动10个单位到C，10+8＝18； ②移动A、C两点到B， A向右移动2个单位到B，C向右移动10个单位到B，2+10＝12； ③移动B、C两点到A， B向左移动2个单位到A，C向右移动8个单位到A，2+8＝10。 【变式练习2】平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 （1）平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 　． A、（+4）+（+1）＝+5 B、（+4）+（﹣1）＝+3 C、（﹣4）﹣（+1）＝﹣5 D、（﹣4）+（+1）＝﹣3 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是 　 　． （2）翻折变化 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示 　 　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点和B点表示的数分别是多少？请回答并写出理由。 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，平移和翻叠性质，读懂题意发现平移和翻折的规律是解题的关键 【解答】解：（1）①根据移动过程可得，（﹣4）+（+1）＝﹣3． 故选：D． ②机器人跳动过程可以用算式表示为： （﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+⋯+（+2022）+（﹣2023）+（+2024） ＝1×1012 ＝1012， ∴当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是：1012， 故答案为：1012． （2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴折叠中点表示的数为1， ∴2024﹣1＝2023， ∴1﹣2023＝﹣2022， ∴表示2024的点与表示﹣2022的点重合， 故答案为：﹣2022． ②∵折叠中点表示的数为1，AB＝2024， ∴点A所表示的数为：， 点B所表示的数为：。 【变式练习3】探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2﹣5|＝ 　 　；数轴上表示数3和﹣1的两点距离为|3﹣（﹣1）|＝ 　 　； 则|6+3|的意义可理解为数轴上表示数 　 　和 　 　这两点的距离； |x+4|的意义可理解为数轴上表示数 　 　和 　 　这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式|x+3|+|x﹣4|的最小值是 　 　，此时x的范围是 　 　； ②代数式|x+6|+|x+3|+|x﹣2|的最小值是 　 　，此时x的值为 　 　； ③代数式|x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值是 　 　，此时x的范围是 　 　． 【分析】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究2的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键。 【解答】解：（1）|2﹣5|＝3， |3﹣（﹣1）|＝4， |6+3|＝|6﹣（﹣3）|， |x+4|＝|x﹣（﹣4）|， 故答案为：3、4、6、﹣3、x，﹣4． （2）①＜1＞当点P在点A左边， PA+PB＝2AP+AB， ＜2＞当点P在点A时， PA+PB＝AB， ＜3＞当点P在点A右边， PA+PB＝2PB+AB． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． ②＜1＞当点P在点A左边， PA+PB+PC＝2PA+AC+BP， ＜2＞当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ＜3＞当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ＜4＞当点P在点C右边， PA+PB+PC＝AC+BP+2PC， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小． ③＜1＞当点P在点A左边， PA+PB+PC+PD＝4PA+2AB+CB+AD， ＜2＞当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝2PB+BC+AD， ＜3＞当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD， ＜4＞当点P在点C、点D之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2PC， ＜5＞当点P在点D右边时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2DC+4PD， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）①由探究材料2得，当﹣3≤x≤4时，有最小值，最小值为7． |x+3|+|x﹣4|＝x+3+4﹣x＝7， ∴有最小值，最小值为7． ②由探究材料2得，这是在求点x到﹣6、﹣3、2三点的最小距离， ∴当x＝﹣3时，有最小值，最小值为8， |x+6|+|x+3|+|x﹣2|＝|﹣3+6|+|﹣3+3|+|﹣3﹣2|＝8． ③由探究材料2得，这是在求点x到﹣7、﹣4、2、5四点的最小距离， ∴当﹣4≤x≤2时，有最小值，最小值为18， |x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|＝x+7+x+4+2﹣x+5﹣x＝18． 故答案为：①7，﹣3≤x≤4，②8，﹣3，③18，﹣4≤x≤2． 二 巩固拔高 时间：60分钟 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．在数﹣9，0，4，π，﹣0.01，中，属于非负整数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在数轴上分别表示m和﹣3的两个点的距离是10，则m的值是（　　） A．﹣13 B．7 C．﹣7或13 D．7或﹣13 3．下列说法中，错误的是（　　） A．任何有理数的绝对值都是非负数 B．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．数轴正半轴上距原点5个单位长度的点表示的数是5 4．数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．﹣m﹣n＞0 B．m+n＞0 C．m＜0 D．|m|﹣n＜0 5．若|x|＝5，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值是（　　） A．8或2 B．8或﹣2 C．﹣8或﹣2 D．﹣8或2 6．小于2024且大于﹣2023的所有整数的和是（　　） A．1 B．﹣2021 C．2022 D．2023 7．若|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足整数x的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则的值为3．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损35元记为　 　元． 10．若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 　 　． 11．若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则|a+b|的化简结果是 　 　．（用含有a、b的代数式表示） 12．定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则；若x＜0，则．计算[3]+[﹣1]的结果为 　 　． 13．若|a|＝4，|b|＝2，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝ 　 　． 14．在1，2，3，…，2024前面任意添加正号和负号，并且使得这2024个数的和是非负数，则这2024个数的非负数和中，最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．把下列各数填在相应的大括号里： ﹣0.56，．0.，0． ①正整数集合：{ 　 　…}； ②负整数集合：{ 　 　…}； ③正分数集合：{ 　 　…}； ④非负整数集合：{ 　 　…}． 16．把下列各数：+1，﹣|﹣3|，0，，（﹣2）2在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 17．计算下列各题： （1）﹣49+19； （2）； （3）； （4）． 18．2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） +3.1 +1.78 ﹣0.58 ﹣0.8 ﹣1 ﹣1.6 ﹣1.15 ①10月3日的人数为 　 　万人． ②八天假期里，游客人数最多的是10月 　 　日，达到 　 　万人． 游客人数最少的是10月 　 　日，达到 　 　万人． ③请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 19．数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示： （1）完成填空：c﹣a＝　 　，d﹣c＝　 　，d﹣a＝　 　； （2）比较a+d和b+c的大小； （3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值． 20．类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　 　所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　 　所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　 　． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　 　． 三 试题析解 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．在数﹣9，0，4，π，﹣0.01，中，属于非负整数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键 【解答】解：非负整数包括正整数和0． 在数﹣9，0，4，π，﹣0.01，中，属于非负整数的有0，4，共2个， 故选：A． 2．在数轴上分别表示m和﹣3的两个点的距离是10，则m的值是（　　） A．﹣13 B．7 C．﹣7或13 D．7或﹣13 【分析】本题主要考查数轴和绝对值的意义，熟练掌握数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|是解题的关键． 【解答】解：由题意得：|m+3|＝10， ∴m+3＝±10， ∴m＝7或﹣13． 故选：D． 3．下列说法中，错误的是（　　） A．任何有理数的绝对值都是非负数 B．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．数轴正半轴上距原点5个单位长度的点表示的数是5 【分析】本题考查了有理数的绝对值以及相反数的性质，理解性质是关键． 【解答】解：A、任何有理数的绝对值都是非负数，正确； B、如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则命题错误； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确； D、数轴正半轴上距原点5个单位长度的点表示的数是5，正确． 故选：B． 4．数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．﹣m﹣n＞0 B．m+n＞0 C．m＜0 D．|m|﹣n＜0 【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数的加法，掌握相应的运算法则是解题关键 【解答】解：根据数轴可知，﹣4＜m＜﹣3，4＜n＜5， 所以m+n＞0，m＜0，|m|﹣n＜0， 所以﹣（m+n）＜0，即﹣m﹣n＜0， 选项A结论不正确，符合题意． 故选：A． 5．若|x|＝5，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值是（　　） A．8或2 B．8或﹣2 C．﹣8或﹣2 D．﹣8或2 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减法，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法法则 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， 又∵x+y＜0， ∴x＝﹣5时，y＝±3． ∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8或x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2， 故选：C． 6．小于2024且大于﹣2023的所有整数的和是（　　） A．1 B．﹣2021 C．2022 D．2023 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是关键 【解答】解：小于2024且大于﹣2023的所有整数从﹣2022，﹣2021，⋯，2022，2023， ∴[﹣2022+（﹣2021）+（﹣2020）+⋯+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+⋯++2021+2022]+2023 ＝[（2022﹣2022）+（2021﹣2021）+……+（1﹣1）+0+2023] ＝0+2023 ＝2023， 故选：D． 7．若|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足整数x的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义 【解答】解：∵|x+3|+|x﹣2|＝5， ∴满足整数x的值有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2共计6个． 故选：D． 8．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则的值为3．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义 【解答】解：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2，错误，x＝2时也成立； ②若a＞b，则|a|＞|b|，错误，例如a＝0，b＝﹣1； ③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0，错误，也可能是a＜0，b＞0，c＞0； ④若ab＞0，则的值为3．错误，的值为3或﹣1． 其中错误的是①、②、③、④，共计4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损35元记为　﹣35　元． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果盈利100元记为+100元，那么亏损35元记为﹣35元． 故答案为：﹣35． 10．若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 　﹣1或﹣7或5　． 【分析】本题主要考查的是绝对值的几何意义以及方程的应用，掌握绝对值的几何意义和方程是解题的关键 【解答】解：①当MA＝MB时，； ②当MA＝AB时，﹣3﹣m＝1﹣（﹣3）得m＝﹣7； ③当MB＝AB时，m﹣1＝1﹣（﹣3）得m＝5． 综上所述，m的值可以是﹣1或﹣7或5． 故答案为：﹣1或﹣7或5． 11．若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则|a+b|的化简结果是 　﹣a﹣b　．（用含有a、b的代数式表示） 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键 【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0， ∴|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b， 即|a+b|的化简结果是﹣a﹣b， 故答案为：﹣a﹣b． 12．定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则；若x＜0，则．计算[3]+[﹣1]的结果为 　3　． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，新定义，理解新定义，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【解答】解：∵[3]＝3，， ∴[3]+[﹣1]3． 故答案为：3． 13．若|a|＝4，|b|＝2，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝ 　﹣2或﹣6　． 【分析】本题考查的知识点是绝对值的性质、有理数加法运算，解题关键是根据绝对值的性质得到a、b的值． 【解答】解：∵|a﹣b|＝b﹣a≥0， ∴b≥a， 又|a|＝4，|b|＝2， ∴a＝﹣4，b＝±2， b＝2时，a+b＝﹣2； b＝﹣2时，a+b＝﹣6． 故答案为：﹣2或﹣6． 14．在1，2，3，…，2024前面任意添加正号和负号，并且使得这2024个数的和是非负数，则这2024个数的非负数和中，最小值为 　0　． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数加减运算，理解添加正号和负号后是非负数是正确解答的关键． 【解答】解：要使这2024个数的和非负且最小， ∵2024÷4＝506， ∴可添上正号和负号并计算如下：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+9﹣10﹣11+12+……+2021﹣2022﹣2023+2024 ＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+（9﹣10﹣11+12）+……+（2021﹣2022﹣2023+2024） ＝0+0+0+……+0 ＝0， 故答案为：0． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．把下列各数填在相应的大括号里： ﹣0.56，．0.，0． ①正整数集合：{ 　+108　…}； ②负整数集合：{ 　﹣125　…}； ③正分数集合：{ 　+2.5，　…}； ④非负整数集合：{ 　+108，0　…}． 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【解答】解：﹣0.56，．0.，0． 由题意知，①正整数集合：{+108}； ②负整数集合：{﹣125}； ③正分数集合：{+2.5，}； ④非负整数集合：{+108，0}． 故答案为：+108； ﹣125； +2.5，； +108，0． 16．把下列各数：+1，﹣|﹣3|，0，，（﹣2）2在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【分析】本题考查了有理数的大小比较和数轴、相反数绝对值等知识点，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，（﹣2）2＝4， 把各数表示在数轴上如下： ∴﹣|﹣3|0＜+1＜（﹣2）2． 17．计算下列各题： （1）﹣49+19； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查有理数加减混合运算，注意：先将减法化为加法，分数和小数混合运算时，统一化为分数或小数进行计算． 【解答】解：（1）﹣49+19＝﹣30； （2）（）+（）+2 ； （3）4+（﹣12）+0.5+8+（） ＝4+8﹣12 ＝0； （4）4（+3.85）﹣（﹣3）+（﹣3.15） ＝4.75﹣3.85+3.25﹣3.15 ＝（4.75+3.25）+（﹣3.85﹣3.15） ＝8+（﹣7） ＝1． 18．2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） +3.1 +1.78 ﹣0.58 ﹣0.8 ﹣1 ﹣1.6 ﹣1.15 ①10月3日的人数为 　5.2　万人． ②八天假期里，游客人数最多的是10月 　2　日，达到 　5.78　万人． 游客人数最少的是10月 　7　日，达到 　0.65　万人． ③请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意申请题意，正确列式计算即可． 【解答】解：①0.9+3.1+1.78﹣0.58 ＝5.2（万人）； 答：10月3日的人数为5.2万人． ②10月1日：0.9+3.1＝4万人； 10月2日：4+1.78＝5.78万人； 10月3日：5.78﹣0.58＝5.2万人； 10月4日：5.2﹣0.8＝4.4万人； 10月5日：4.4﹣1＝3.4万人； 10月6日：3.4﹣1.6＝1.8万人； 10月7日：1.8﹣1.15＝0.65万人； 所以游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人；游客人数最少的是10月7日，达到0.65万人； ③0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65＝26.13万人； 答：黄山风景区在这八天内一共接待了26.13游客． 故答案为：①5.2，②2，5.78，③7，0.65． 19．数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示： （1）完成填空：c﹣a＝　3　，d﹣c＝　2　，d﹣a＝　5　； （2）比较a+d和b+c的大小； （3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值． 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【解答】解：（1）根据题意得：c﹣a＝3，c﹣b＝1，d﹣a＝5； 故答案为：3；2；5； （2）∵（a+d）﹣（b+c）＝a+d﹣b﹣c＝（a﹣b）+（d﹣c）＝﹣2+2＝0， ∴a+d＝b+c； （3）∵a＝c﹣3，b＝c﹣1， ∴4c＝c﹣3+2（c﹣1）， 解得：c＝﹣5，a＝﹣8，b＝﹣6，d＝﹣3， 则原式＝﹣8﹣6+5﹣3＝﹣12． 20．类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　﹣2　所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　3　所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　5　． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　12　． 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值等内容，数形结合和分类讨论是解决本题得关键 【解答】解：【操作•思考】根据题干可知|x+2|是x和﹣2所对应的两个点的距离，|x﹣3|是x是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣2+x﹣3＝﹣5， ②当﹣2≤x≤3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2+x﹣3＝2x﹣1，在此范围内，当x＝3时，|x+2|﹣|x﹣3|＝5最大， ③当x＞3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2﹣x+3＝5， 综上，|x+2|﹣|x﹣3|最大值为5； 故答案为：﹣2，3，5． 【尝试•思考】 ①当x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝﹣x﹣2+x﹣2+x﹣6＝x﹣10＜0，为负数，不合题意； ②当﹣2≤x≤2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2+x﹣2+x﹣6＝3x﹣6＜0，为负数，不合题意； ③当2＜x≤6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2+x﹣6＝x﹣2＞0，为正数，符合题意； ④当x＞6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2﹣x+6＝10﹣x， 此时要想满足其值为正数，则x还要小于10， 所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即a可以在﹣2和6之间，则b在6和10之间， 当a在﹣2和6之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x﹣2＝a﹣2， 当b在6和10之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝10﹣x＝10﹣b， 所以a﹣2＝10﹣b， 所以a+b＝12． 故答案为：12． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$