6.6 余角和补角（教学课件）数学青岛版2024七年级上册

第6章 基本的几何图形 6.6  余角和补角 学习目标 1. 理解余角、补角的概念，会求一个角的余角和补角； 2. 掌握余角、补角的性质，会用余角、补角的性质进行简单的计算和推理。 观察与发现 观察图中的一副三角板，每块三角板中两个锐角的和是多少? 60°＋30°＝90° 45°＋45°＝90° 概括与表达 如果两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角。 1 2 如图，∠1与∠2的和为90°，则∠1与∠2互为余角。 概括与表达 如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角。 4 3 如图，∠1与∠2的和为180°，则∠1与∠2互为补角。 例题讲解 例1 求下列各角的余角和补角： (1) 15°； (2) 53°； (3) 46°30'。 解：(1) 余角：90°－15°＝75°，补角：180°－15°＝165°； (2) 余角：90°－53°＝37°，补角：180°－53°＝127°； (3) 余角：90°－46°30'＝43°30'，补角：180°－46°30'＝133°30'。 锐角的补角比它的余角大_____。 90° 思考与交流 想一想：所有的角都有余角或补角吗？ 任何一个小于平角的角都有补角，但只有锐角才有余角。 新知巩固 1. 判断下列说法的正误: (1) 两个锐角能互补； (2) 两个钝角能互补； (3) 如果两个角互补，其中一定有一个角是钝角，另一个角是锐角。 (4) 如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角。 新知巩固 2. 下列图形中，互为补角的是________，互为余角的是________。 ①和③ ①和④ 150° ④ 30° ① 90° ② 60° ③ 新知巩固 3. 如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝36°20'。求∠AOC的度数。 A B O C 解：∵∠BOC＋∠AOC＝180° ，∠BOC＝36°20'， ∴ ∠AOC＝180°－∠BOC ＝180°－36°20' ＝143°40' 。 思考与交流 (1) 如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，指出图中互余的角。图中除直角外还有相等的角吗? A B O C D ∠BOC与∠COD互余， ∠AOD与∠COD互余， ∠AOD与∠BOC相等。 思考与交流 (2) 如果∠1＝∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互余，那么∠3与∠4有什么关系? 为什么? 由∠1与∠3互余，可得∠1＋∠3＝90°，因此∠3＝90°－∠1。类似地，可知∠4＝90°－∠2。 由于∠1＝∠2，所以∠3＝∠4。 思考与交流 (3) 如果把上面的互余改成互补，结论仍然成立吗？为什么？ 由∠1与∠3互补， 可得∠1＋∠3＝180°， 因此∠3＝180°－∠1。 类似地，可知∠4＝180°－∠2。 由于∠1＝∠2， 所以∠3＝∠4。 3 1 2 4 概括与表达 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 符号语言： ∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠1与∠3互余(补)， ∴∠2＝∠3。 ∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠3与∠4互余(补)，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠4。 例题讲解 解：设这个角是x°，那么它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°。 由题意，得 180－x＝3(90－x)。 解方程，得 x＝45。 所以，这个角是45°。 例2 一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数。 在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答。 例题讲解 例3 如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，指出图中与∠COD互余的角、互补的角和相等的角。 A B O C D E 解：(1) 因为∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝90°， ∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°， 即∠AOD和∠COE都与∠COD互余， 所以根据同角的余角相等，得∠AOD＝∠COE。 同理可得出∠BOE＝∠COD。 因为∠BOE＋∠AOE＝180°， 所以∠BOE与∠AOE互补。 因为∠BOE＝∠COD， 所以∠COD与∠AOE互补。 ∠COD＋∠AOE＝180° 新知巩固 1. 若一个角的补角比它的余角的6倍还多40°，求这个角的大小。 解：设这个角是x°，则它的余角为(90－x)°，补角为(180－x)°。 根据题意，得180－x＝6(90－x)＋40。 解这个方程，得x＝80。 答：这个角是80°。 新知巩固 2. (1) 如图，∠ACB＝90°，∠BDC＝90° ∵ ∠A＋∠B＝90°，∴ ∠A与∠B_______。 ∴ _____＝_____ 互余 ∵ ∠A＋∠2＝90°，∴ ∠A与∠2_______。 互余 ∠B ∠2 （同角的余角相等） A C D 1 2 B 新知巩固 (2) 图中一共有几对互余的角？是哪几对？ (2) 共有4对互余的角，分别为∠A与∠B， ∠A与∠2，∠1与∠B， ∠1与∠2。 (3)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ ∠A＝∠1(同角的余角相等) ∠B＝∠2(同角的余角相等) A C D 1 2 B 拓展与延伸 1. 判断下列说法的正误，并说明理由。 (1) 互余且相等的两个角均是45°； (2) 一个角的余角一定小于这个角的补角； 解：(1)正确。如果两个角互余且相等，那么这两个角都等于90°÷2=45°。 (2)正确。因为一个角的补角比它的余角大90°，所以这个角的余角一定小于这个角的补角。 拓展与延伸 1. 判断下列说法的正误，并说明理由。 (3) 如果∠1＋∠2＝∠3，那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的余角； (3) 错误。若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3＝70°，那么∠1的余角是60°，∠2的余角是50°，∠3的余角是20°，显然不符题意。 (4) 如果∠1＋∠2＝∠3，那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的补角。 (4)正确。若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3＝70°，那么∠1的余角是60°，∠2的余角是50°，∠3的补角是110°，60°＋50°＝110°。 拓展与延伸 2. 如图，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOD＝90°，∠COE＝70°。求∠BOD 的度数。 A B O C D E 解：因为OE平分∠AOD， 所以∠DOE＝∠AOD＝45°。 因为∠COE＝70°， 所以∠COD＝∠COE－∠DOE＝70°－45°＝25°， 因为OE平分∠AOD， 所以∠BOD＝2∠COD＝2×25°＝50°。 3. 如图，点A、O、B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ O A B C D E 解：∵点A、O、B在同一直线上， ∴ ∠AOC和∠BOC互为补角。 又∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和∠BOC， ∴ ∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOC， ∴∠COD+∠COE＝∠AOC+∠BOC ＝(∠AOC+∠BOC )＝ 90°。 ∴∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角。 拓展与延伸 归纳与总结 (1)“互余”与“互补”是两个角之间的数量关系，只与两个角的度数有关，与角的位置无关。 (2)若两个以上的角的和为90°或180°，则它们不能称为“互余”或“互补”。 (3)互余的两个角均为锐角，但不能同时小于45°。 (4)在某个图形中，一个角可能没有余(补)角，也可能有一个或多个余(补)角。 (5)在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答。 1.余角、补角的概念。 2.余角、补角的性质。 课堂检测 基础过关 1. 两个角互余，那么它们一定是 ( ) A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 2. 一个锐角的补角一定是 ( ) A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不能确定 A B 课堂检测 基础过关 3. 如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的大小关系是 (　    ) A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1＜∠2 D. 以上都不对 B B D O A C 1 2 6. 已知∠A的补角为60°，则∠A＝　       。 课堂检测 基础过关 5. 已知∠A＝40°，则∠A的余角的补角是　        。 4. 若∠A＝40°，则∠A的补角为　        。 140° 130° 120° 7. 若一个角比它的余角大30°,则这个角等于　       。 60° 课堂检测 基础过关 8. 如图，将一副三角尺按不同的方式摆放，其中∠α与∠β一定相等的摆放方式共有 个。 2　 课堂检测 基础过关 9. 如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角的度数为x°，根据题意，得 2(180－x)－(90－x)＝4x， 解得x＝54。 答：这个角的度数是54°。 课堂检测 基础过关 1. 下列说法正确的是 (　    ) A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 能力提升 课堂检测 2. 下列说法错误的是 (　    ) A. 53°38'的角与36°22'的角互为余角 B. 如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角 C. 两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角 D. 一个角的补角比这个角的余角大180° D 能力提升 课堂检测 3. 一副三角板按如图所示的方式摆放，若∠1的度数是∠2的3倍，则∠1的度数为 (　    ) A. 20°　      B. 22.5°     C. 25°　     D. 67.5° D 课堂检测 能力提升 4. 已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝60°，则∠C的度数是_______。 150° 5. ∠1与∠2 互余，∠1＝(6x + 8)°，∠2＝(4x－8)°， 则∠1＝ ，∠2＝ 。 62° 28° 能力提升 课堂检测 6. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子： ①90°－∠β；②∠α－90°；③180°－∠α；④(∠α－∠β)，其中 正确的是_________。 ①②④ 7.已知∠1＝120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2互余，则∠3的度数为____。  30° 课堂检测 能力提升 8. 如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，∠BOE＝∠EOC，∠EOC＝90°。 （1）求∠DOE的大小； 解：(1)因为∠BOE＝ ∠EOC，∠EOC＝90°， 所以∠BOE＝ ×90°＝30°。 所以∠AOB＝180°－90°－30°＝60°。 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD＝∠DOB＝30°。 所以∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝60°。 O A B C D E 课堂检测 能力提升 （2）哪些角与∠AOD互为余角？请说明理由； O A B C D E 解：（2）因为∠AOD＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°， 所以∠AOD＋∠AOB＝90°， ∠AOD＋∠DOE＝90°。 所以∠AOB、∠DOE与∠AOD互为余角。 课堂检测 能力提升 （3）互为补角的角有几对？ 解：（3）因为∠AOD＋∠DOC＝180°， ∠AOB＋∠BOC＝180°， ∠AOE＋∠EOC＝180°， ∠BOD＋∠DOC＝180°， ∠BOE＋∠DOC＝180°， ∠DOE＋∠BOC＝180°， 所以互为补角的角有6对。 O A B C D E 春よ、来い (春天、来吧) 松任谷由実 (まつとうや ゆみ) 桜-SAKURA-, track 9, disc 0 Blues 309390.53 2021 Blues 4800.0 $$