6.1 第1课时 函数的有关概念 课件 2024--2025学年苏科版八年级数学上册

第6章 一次函数 6.1 第1课时 函数的有关概念 活动一 1.已知徐州到南京高铁票是225元/张 （1）买2张票，需________元 买3张票，需________元 买8张票，需________元 （2）在这变化的过程中， 没有变化的量是___________. 变化的量是_______________. 车票的价格 人数，车票的总费用 列车从徐州驶往南京，在16：17到16：22这个时段列车行驶过程中，哪些量没有变化?哪些量不断变化? ①在这个时段里，电子显示屏上的“200km/h”没变过。 ③徐州、南京两地间的路程不变。 ②列车行驶的时间在不断变化。 ④列车离徐州越来越远，离南京越来越近。 列车行驶的速度 徐州到南京的路程 不变的量 变化的量 常量 变量 列车行驶的时间 列车距起点和终点的路程 变化（一）车票的价格 人数，车票的总费用 变化（二） 概念：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。数字符号也是一种常量，如π。 活动小结 注意： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面： 一是它是否在一个变化过程中； 二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化。 你能举出生活中变量的实例吗？ 星期六，我去超市买了两袋鸡蛋. 2023.12.03 2023.12.18 4.80 1054g 时 间 2023.12.03 2023.12.18 4.80 982g 时 间 常量: 变量： 单价 净含量，售价 2023.12.10 2023.12.25 5.20 1054g 时 间 上一个星期六，我去超市买了一袋鸡蛋. 2023.12.03 2023.12.18 4.80 1054g 时 间 这个星期六，我又去超市买了一袋鸡蛋. 常量: 变量： 净含量 单价，售价 ②常量和变量是相对于变化过程而言的，可以互相转化。 例：在行程问题中，路程S、时间t和速度v之间的关系是S=vt。 在一些赛车中，总路程S是固定的，那么时间和速度之间的关系为t=，此时S为常量，t和v是变量。 在另一些比赛中，时间t是固定的，在同样的时间里，看谁行驶的路程S最大，那么这时候S=vt，其中t是常量，S和v是变量。 在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量． 已知△ABC的底边BC的长为a，BC边上的高为h，三角形的面积为S，则有关系：S=ah. 在下面的三种情况中，试说出常量和变量:(1)面积S一定；(2)底边长a一定；(3)高h一定. 解:(1)当面积S一定时，S=ah中，和S是常量，a和h是变量. (2)当底边长a一定时，S=ah中，和a是常量，S和h是变量. (3)当高h一定时，S=ah中，和h是常量，S和a是变量. 1. 一斤苹果1.2元，买x斤这样的苹果y元，其中常量是____，变量是________. 2.小明为班级购买的某种钢笔单价6元/支，买m支钢笔，支付了n元钱，其中常量是___，变量是__________. 3.长方形的长为a，宽为5，它的面积S，其中常量是___，变量是_______. 5 a、 S 1.2 x、 y 6 m、n 4. 一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是(　　) A.常量，常量 B.变量，变量 C.常量，变量 D.变量，常量 C 5. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　　) A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量 C 问题1　已知某水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示： 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … 在这一变化过程中的变量是 蓄水量随着水位的升高而增大， 随着水位的下降而减少， 当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变． 水库水位和水库蓄水量． 这两个变量之间的关系是 495211216@qq.com (4) - 此问题对应函数的表格法 问题2　如图，搭一条小鱼需要8根火柴，每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的常量和变量． 在这一变化过程中的变量是 这两个变量之间的关系是： 总共需要的火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数s也保持一定． 总共需要的火柴数和所搭小鱼的条数． S＝8＋6(n－1) Administrator (A) - 此问题对应函数的表达式法. 问题3　一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆． 在这一变化过程中的变量是 这两个变量之间的关系是 波纹圆的面积和半径． 波纹圆的面积随着半径的变化而变化；随着半径的确定而确定． 全品初中 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … （1）都有两个变量． （2）当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化； 当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 上面的每个变化过程中有哪些共同之处？ 概念学习 不能说y是函数 ① ② ③ 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(func-tion)，x是自变量，y是因变量. 例如，在上面的实际例子中，水库蓄水量是水位高低的函数，搭“小鱼”所需火柴棒的根数是所搭“小鱼”条数的函数，圆面积是圆半径的函数. 概念理解： 1.“水波问题”中S=πr2，圆的面积S随着半径r的变化而变化，所以 是自变量.___是 的函数。 2.“水库存水问题”中，蓄水量Q随着水位h的变化而变化,所以 是自变量,____是 的函数。 3.“搭小鱼问题”中，总共需要的火柴数S随所搭小鱼的条数n的变化而变化,所以 是自变量， 是 的函数。 r h n n S r S h Q 02 知识精讲 注意： ①两个变量x和y； ②y随着x的变化而发生变化； ③对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应；但当y的值唯一确定时，对应的x可以是多个， eg：若y=|x|，则x=y或x=-y； ④我们习惯性用x和y表示函数，但是函数不一定用x和y表示， eg：S=8+6(n-1)。 如图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位的生物电流，它们是两个变量，其中y是x的函数吗？ y x 是 观察与思考 19 新知巩固 1.下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？ x y O x y O (1) (2) 新知巩固 36 81 2. 6 -6 9 -9 a b是a的函数吗？为什么？ b 在这一过程中，有变量吗？是什么？ 当a取定一个确定的值时，对应b的取值是否唯一确定？ b是a的函数 b不是a的函数 3.下列曲线中表示y是x的函数的是(　　) C A B C D 例1. 根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面积是 边长与该边上的高的长度的乘积的一半，已知边长， 可以得出常量是边长的一半，变量是高和面积． 导引： 已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝ ×12·h，即S＝6h.在这个式子中常量和变量分别是什么？ 解： 例题讲解 常量是6，变量是h和S. (1)当长方形的宽为0.1m时,长为多少? (2)当长方形的宽为0.2m时,长为多少? (3)这个长方形的长是宽的函数吗?为什么? 解: (1)长为0.9m. 例2. 把一根2 m长的铁丝围成一个长方形. (3)在这个变化过程中有两个变量:长和宽; 长是随着宽的变化而变化的;且对于宽的每一个值,长都有唯一确定的值与之对应.所以这个长方形的长是宽的函数． (2)长为0.8m. 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 温度T(℃) 2 4 6 8 -2 0 例3.下图是气温自动记录仪记录的某地一天的气温 变化曲线.在这一变化过程中，温度是时间的函数吗，为什么？ 解:温度是时间的函数. 温度随着时间的变化而变化.对于时间的每一个值，温度都有唯一的值与它对应. 495211216@qq.com (4) - 函数的图像法，为下一课时内容做铺垫. 1.下列描述： ①在一定时间内，匀速运动所走的路程和速度； ②三角形的面积一定，它的一边长和这条边上的高； ③水管中水流的速度和水管的长度. 其中，是函数关系的有 (填序号). ①② 2.“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量什么？ 解：该变化过程中有两个变量： 漏到另一容器中细沙的数量和经过的时间； 　　其中自变量是：漏到另一容器中细沙的数量． 3. 按右图所示的运算程序,输入一个实数x,便可以输出一个相应的实数y，那么y是x的函数吗?为什么? 解:y是x的函数.因为当变量x变化时, 变量y总有唯一值与之对应. 输入 x +2 ×5 - 4 输出 y 4. （新情境）（2024·南通通州期中）学校组织学生到北京天安门广场 参观升国旗仪式，培养学生的爱国情怀.在奏响国歌第一个音符时，旗 手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国 旗同时到达30米高的旗杆顶端.国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变 化而变化.有下列说法：① 旗杆的高度30米是常量；② 国旗上升过程中 的时间是常量；③ 国旗上升过程中的高度是变量.其中，正确的是 ⁠ （填序号）. 5. （2023·日照五莲期末改编）若 y ＝± （ x ＞0），则 y x 的函数（填“是”或“不是”）. ① ③　 不是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数 常量 数值始终不变的量为常量. 变量 数值发生变化的量为变量 概念 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．x是自变量. 课堂小结 1、在式子①y=3x+1，②y=x2-1，③y=，④y=|x|，⑤|y|=|x|中，y是x的函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。 【分析】①y=3x+1，②y=x2-1，③y=，④y=|x|符合函数的定义； ⑤|y|=|x|，当x=1时，y=±1，不符合函数的定义。 C 2、下列各图中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量。 D (2)声音在空气中传播的速度v（m/s）与温度t（℃）之间的关系式是v＝331＋0.6t，其中常量是————————，变量是—————. 3.指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是——————变量是—————； 5 a，m v，t 331，0.6 4.小明带10元钱去文具商店买日记本，已知每本日记本定价2元，则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中，______是变量，_______是常量． 10，2 方法归纳：区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值. x，y 34 34 5.写出下列各问题的关系式，并判断各个量之间是否具有函数关系. （1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式； （2） 用10 m 长的绳子围成一个长方形，长方形的长a(m)与宽b(m)之间的关系式. 解：（1） ，t是v的函数； （2） ，a是b的函数. 6.下面表给出了近几次我国的人口普查数据，表中反映的两个量之间是否具有函数关系？ 年份 人口数（亿） 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2011 13.40 是 归纳总结 判断y是x的函数，要抓住三个点：(1)在同一个变化过程中；(2)有两个变量；(3)本质上是一种对应关系，即给定一个x的值，能确定唯一一个y值. 当堂练习 1.若球体体积为V，半径为R，则V= 其中变量是 、 ，常量是 . V R 2.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q升与行使时间t小时的关系是 . 并指出其中的常量与变量. Q=40-5t 3.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7°C,已知山脚下温度是23°C，则温度y与上升高度x之间关系式为______________. y=100-0.7x 4. 39 5. 40 6. 41 7.下列变量间的关系不是函数关系的是 (　　) A.长方形的宽一定,其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.等腰三角形的底边长与面积 D.圆的周长与半径 C 8.小邢到单位附近的加油站加油，如图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是____________. 金额和数量 9.长方形的长a是一个固定不变的数，则它的面积S与宽b之间的关系为S=____，这个问题中的变量是_______，常量是____.  ab S、b a 10.有一个容量为150t的水池，现用抽水机从蓄满水的池中将水抽出，已知抽水机每小时可抽水30t，池中剩余水量随抽出水的时间变化而变化． (1)抽水1h后，池中剩余水量为______t. (2)在这一变化过程中，哪些是变量，哪些是常量？ (3)多少时间能把满池水抽干？ 120 解：(2)抽水时间、池中剩余水量是变量，水池容量、抽水机抽水速度是常量. (3)150÷30=5h 11.为了解某种车的耗油量，我们对这种车加满油在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶时间t/时 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q/升 100 94 88 82 … (1)上表反映的两个变量中，自变量是____，____是____的函数；(2)根据上表可知，该车油箱的容量为_____升，每小时耗油__升；(3)两个变量之间的关系式为_____________.(用含t的式子表示Q) t Q 100 6 Q＝100－6t t 1. (2022·珠海)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是 (　　) A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量 2. 下列曲线不能表示y是x的函数的为 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 3. 一列火车从A地开往B地,火车每小时行驶90km.在这一过程中,变量有 　 　　　和　　 　　,我们可以把　　 　　看成是　　 　　的函数, 　　　 　叫做自变量.  4. 如图,每一个确定的时间都有一个确定的　　　　,可以把变量_______看成是变量　　　　的函数,　　　　叫做自变量. 时间 路程 路程 时间 时间 温度 温度 时间 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 从悬崖上掉下一枚石子,石子下落的距离s(m)与下落的时间t(s)满足s= ×9.8t2,根据这个式子填写下表: 从上表可知,　　　是自变量,　　　是　　　的函数. 下落的时间t/s 1 2 3 4 … 下落的距离s/m         … 4.9 19.6 44.1 78.4 t s t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 一个直角三角形的面积为60cm2,两条直角边的长分别为xcm、ycm. (1) 当x=10时,y的值是多少? (2) 当y=8时,x的值是多少? (3) y是x的函数吗?如果是,请写出表示它们之间关系的式子. (1) y==12　 (2) x==15　 (3) 是　y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,长方形ABCD的长AB=10cm,宽AD=6cm.正方形PQRH的四个顶点分别在边AB、CD上,将正方形PQRH向右平移.在这个平移过程中,下列结论正确的是 (　　) A. 正方形的边长是变量 B. BQ的长是常量 C. 长方形QBCR的面积随AP长度的变化而变化 D. 长方形QBCR与长方形APHD的面积之和随 AP长度的变化而变化 C 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 小亮爸爸到加油站加油，如图所示为所用的加油机上的数据显示牌， 其上面的金额随着数量的变化而变化.下列判断正确的是（　D　） A. 金额是自变量 B. 单价是自变量 C. 7.76和31是常量 D. 金额是数量的函数 （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024·梅州大埔期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热 水器里的水温随所晒阳光时间的长短而变化.其中的自变量是（　C　） A. 太阳光强弱 B. 水的温度 C. 所晒阳光的时间 D. 热水器 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 分析并指出下列关系中的变量与常量： （1） 球的表面积 S （cm2）与球的半径 R （cm）之间的关系为 S ＝4π R2. 解：（1） 常量是4π，变量是 S 、 R . （2） 已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买橙子的质量 W （千克）与 所付款 x （元）之间的关系为 x ＝1.8 W . 解：（2） 常量是1.8，变量是 x 、 W . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离 h （m）与它下落 的时间 t （s）之间的关系为 h ＝ gt2（其中 g 取9.8m/s2）. 解：（3） 常量是 g ，变量是 h 、 t . （4） 以固定的速度 v0（m/s）向上抛一个小球，小球的高度 h （m）与 小球运动的时间 t （s）之间的关系为 h ＝ v0 t －4.9 t2. 解：（4） 常量是 v0、－4.9，变量是 h 、 t . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2023·济南商河期末）某市的出租车收费标准如下：3千米以内 （包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元.若某人乘 出租车行驶的距离为 x （ x ＞3且 x 为整数）千米，则需付费用 y （元） 与 x （千米）之间的关系为（　B　） A. y ＝8＋2 x B. y ＝2＋2 x C. y ＝2 x －8 D. y ＝2 x －3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （2024·介休期中）如图所示为一组有规律的图案，它们是由边长相 等的三角形组合而成，第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三 角形，第3个图案中有10个三角形……按此规律摆下去.若第 n 个图案中 有 y 个三角形，则 y 与 n 之间的关系是（　C　） A. y ＝2 n ＋1 B. y ＝2 n －1 C. y ＝3 n ＋1 D. y ＝3 n －1 （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. 如图所示为某加油站地下圆柱形储油罐示意图，已知储油罐的长度为 d ，截面的半径为 r （ d 、 r 为常量），油面的高度为 h ，油面的宽度为 w ，油量为 v （ h 、 w 、 v 为变量）.有下列四个结论：① w 是 v 的函数； ② v 是 w 的函数；③ h 是 w 的函数；④ w 是 h 的函数.其中，正确的 是 （填序号）. （第8题） ①④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14. （2024·太原期中）把一些相同规格的杯子按如图所示的方式整齐地 叠放成一摞，6个杯子叠放的总高度为15cm，一个杯子的高度为10cm， 这种杯子叠放在一起的总高度 y （cm）与杯子数量 x （个）之间的关系 为 ⁠. （第9题） y ＝ x ＋9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15. 有一根弹簧原长10cm，挂重物后（不超过50g），它的长度会改变， 请根据表格中的数据解答下列问题： 质量/g 1 2 3 4 … 伸长量/cm 0.5 1 1.5 2 … 总长度/cm 10.5 11 11.5 12 … （1） 要想使弹簧伸长5cm，应挂重物多少克？ 解：（1） 5÷0.5×1＝10（g），∴ 要想使弹簧伸长5cm，应挂重物10g. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当所挂重物的质量为 x g时，用 h （cm）表示总长度，此时 h 与 x 之间的关系为 ⁠. （3） 当弹簧的总长度为25cm时，求此时所挂重物的质量. 解：（3） 当 h ＝25时，25＝10＋0.5 x ，解得 x ＝30.∴ 当弹簧的总长度 为25cm时，此时所挂重物的质量为30g. h ＝10＋0.5 x （0≤ x ≤50）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16. 弹簧挂上物体后会伸长,测得一根弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系: 根据上述关系,回答下列问题: (1) 弹簧不挂物体时的长度是　　　　cm.  (2) 当所挂物体的质量为1kg时,弹簧伸长　　　　cm.　  12 x/kg 0 1 2 3 4 y/cm 12 12.5 13 13.5 14 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 给出下列各式:① y+x=12;② x=y-12;③ y=12+0.5x;④ x=12+0.5y.其中,表示弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间关系的式子为　　　 (填序号).  (4) 上式中,有　　　　个变量,　　　　是自变量. ③ 2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17. 如图，下列三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规 律，最后一个三角形中 y 与 n 之间的关系为（　B　） （第11题） A. y ＝2 n ＋1 B. y ＝2 n ＋ n C. y ＝2 n＋1＋ n D. y ＝2 n ＋ n ＋1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18. (2023·山西改编)如图所示的图案由边长相等的灰、白两色的正方形按一定规律拼接而成,设第n个图案中白色正方形的个数为S. (1) S是n的函数吗?如果是,请写出S与n之间的关系. (2) 是否存在这样的图案,使白色正方形的个数为2025?如果存在,请指出是第几个图案;如果不存在,请说明理由. 第10题 (1) 是　S=5n+3　 (2) 不存在　理由:由题意,得5n+3= 2025,解得n=404.4.∵ 404.4不是正整 数,∴ 不存在这样的图案,使白色正方形的个数为2025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1） 图④中有 个白色正方形；若图 中有 m 个白色正方形，则 m 与 n 的函数关系为 ⁠. （2） 若在图 中，白色正方形比灰色正方形多2023个，求 n 的值. 解：由（1），得在图 中白色正方形有（5 n ＋3）个，灰色正方形有 n 个，∴ （5 n ＋3）－ n ＝2023，解得 n ＝505.∴ n 的值为505. 23　 m ＝5 n ＋3　 　 （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 19. 给出下列关于变量x、y的式子:① 3x-2y=5;② y=|x|;③ 2x-y2=10.其中,表示y是x的函数的为 (　　) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$