第03讲 坐标平面内图形的轴对称和平移（2个知识点+6大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 坐标平面内图形的轴对称与平移（2个知识点+6大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.坐标平面内图形的轴对称和平移关系； 2.根据轴对称和平移的条件求出坐标； 1.掌握坐标平面内图形的轴对称关系； 2.掌握坐标平面内图形的平移； 知识点01：平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 【即学即练1】 1．平面直角坐标系中，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．在平面直角坐标系中，把点向右平移1个单位得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【即学即练3】 3．已知O为坐标原点，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），若在x轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为（　　） A．（8，0）或（﹣8，0） B．（2，0）或（﹣2，0） C．（6，0）或（﹣6，0） D．（4，0）或（﹣4，0） 【即学即练4】 4．在平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图．（1）将沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后所得的中，求、对应点、的坐标；（2）作关于轴的对称，求的面积，计算正确的是（    ） A．，，6.5 B．，，6.5 C．，，6.5 D．，，7 题型01 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，则 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．    (1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）； (2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）； (3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________） 题型02 由平移方式确定点的坐标 1．将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，则平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为： ． 4．将平面直角坐标系平移，使原点O移至点的位置，则在新坐标系中原来点O的坐标为 ． 5．与在平面直角坐标系中的位置如图所示、 (1)分别写出下列各点的坐标：　　　　，　　　　，　　　　； (2)若是由平移得到的，点是三角形内部一点，则内与点相对应点的坐标为　　　　； (3)求的面积． 题型03 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．如图，点A，B的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（    ） A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位 C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位 3．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 4．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为 ． 5．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 题型04 已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 5．如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，点A的对应点的坐标为． (1)请画出平移后的； (2)写出点，的坐标； (3)写出中任意一点平移后的对应点为的坐标． 题型05 已知平移后的坐标求原坐标 1．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 2．已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 3．将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 4．在平面直角坐标系中，点A（a，-3）向左平移3个单位得点A′，若点A和A′关于y轴对称，则a= ． 5．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 题型06 坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点和点关于 轴对称，则（   ） A．7 B．3 C． D． 3．若点关于轴对称，则 ， ． 4．点和点关于x轴对称，则的值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 1．一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点E与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为、．作关于某直线的对称图形．若的坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 ． 7．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 8．已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 9．在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 10．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． 请解答下列问题． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出各顶点的坐标； (3)求出的面积． 12．已知：点， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； (3)在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 15．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）． (1)画出关于轴的对称图形（不写画法），并按要求填空； 点A关于轴对称的点的坐标为______； 点关于轴对称的点的坐标为______； 点关于原点对称的点的坐标为______； (2)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 坐标平面内图形的轴对称与平移（2个知识点+6大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.坐标平面内图形的轴对称和平移关系； 2.根据轴对称和平移的条件求出坐标； 1.掌握坐标平面内图形的轴对称关系； 2.掌握坐标平面内图形的平移； 知识点01：平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 【即学即练1】 1．平面直角坐标系中，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点的坐标为，将点向上平移个单位，再向左平移个单位到点， 点的横坐标是，纵坐标为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加． 【即学即练2】 2．在平面直角坐标系中，把点向右平移1个单位得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向右平移即将点的横坐标加平移单位长度，纵坐标不变，据此即可求解． 【详解】∵点向右平移1个单位得到点 ∴横坐标-3+1=-2，纵坐标不变 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了平移与坐标变换，重点是掌握平上下左右平移时坐标的变化规律． 知识点02：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【即学即练3】 3．已知O为坐标原点，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），若在x轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为（　　） A．（8，0）或（﹣8，0） B．（2，0）或（﹣2，0） C．（6，0）或（﹣6，0） D．（4，0）或（﹣4，0） 【答案】B 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得点B的坐标为（1，2），再根据△BOP的面积等于2，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2）， ∴点B的坐标为（1，2）， ∵在x轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2， ∴OP×2＝2，即OP＝2， ∴点P的坐标为（2，0），（﹣2，0）， 故选：B． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 【即学即练4】 4．在平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图．（1）将沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后所得的中，求、对应点、的坐标；（2）作关于轴的对称，求的面积，计算正确的是（    ） A．，，6.5 B．，，6.5 C．，，6.5 D．，，7 【答案】A 【分析】先由图得出，再根据平移方式写出，并根据三角形ABC的面积等于的面积，由长方形的面积减去三个三角形的面积计算即可． 【详解】由图得，， 将沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后所得的， ， ， 做关于轴的对称， 的面积为6.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，图形的平移，平移的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型01 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 2．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：将点沿轴先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 故选：B． 3．将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 【答案】2 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标，点平移的规律，直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称点坐标为，则再向左平移2个单位，其对应点落在y轴上． 故答案为：2． 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值以及坐标与图形的平移变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，利用点平移的坐标规律，求出，代入计算即可． 【详解】将点先向右平移个单位，得到点 再向下平移个单位，得到点 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．    (1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）； (2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）； (3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________） 【答案】(1)，1；； (2)图见解析；0，4；；4；0 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换性质． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （3）利用（1）中的平移规律，把P点的横坐标加2，纵坐标加3得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图形得，，， 故答案为：，1；；； （2）解：三角形，如图所示，    由图形得，，； 故答案为：0，4；；4；0； （3）解：∵点，∴， 故答案为：． 题型02 由平移方式确定点的坐标 1．将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的平移，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． 根据坐标点平移的特征解答即可． 【详解】解：∵把点向左平移个单位长度得到点，即 ， ∴， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，将点先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，则平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，可得点的坐标，即， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为： ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为：，即， 故答案为：． 4．将平面直角坐标系平移，使原点O移至点的位置，则在新坐标系中原来点O的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标特征是解题的关键；由原点O移至点的位置，可知坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，然后根据逆向思维可进行求解． 【详解】解：由原点O移至点的位置，可知坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，所以在新坐标系中原来点O的坐标为； 故答案为． 5．与在平面直角坐标系中的位置如图所示、 (1)分别写出下列各点的坐标：　　　　，　　　　，　　　　； (2)若是由平移得到的，点是三角形内部一点，则内与点相对应点的坐标为　　　　； (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的性质，割补法求面积， （1）根据平面直角坐标系的知识结合图像求解直接得到答案； （2）根据三角形的平移得到平移规律，根据平移规律求解即可求解； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三角形面积即可求解； 【详解】（1）解：由图形可得， ，，， 故答案为：；；； （2）解：由图形可得，，， ∴平移规律是：向左平移4个单位向下平移2个单位， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：． 题型03 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．如图，点A，B的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，，， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（    ） A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位 C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变解答． 【详解】∵将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变， ∴所得图形与原图形相比向左平移了3个单位． 故选B． 3．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键． 根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点与点重合， ∴平移方式为向左平移两个单位， ∴点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 4．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)3，1 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答； （2）找到点A，B，C的对应点，即可解答； （3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n． 【详解】（1）解： 如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴； （3）解：∵为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点， ∴， ∴． 故答案为：3，1． 题型04 已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标的平移变化，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质． 根据点的对应点的坐标是得到平移分式，据此根据平移的定义和性质解答可得． 【详解】解：∵点的对应点的坐标是， ∴平移方式为向右移5个单位、上移1个单位， ∵点， ∴和的坐标分别是，． 故选：A． 3．已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键． 首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∵ ∴， 故答案为： 4．如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点为 ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点C的坐标为． 故答案为：． 5．如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，点A的对应点的坐标为． (1)请画出平移后的； (2)写出点，的坐标； (3)写出中任意一点平移后的对应点为的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）利用平移变换的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移所得，点的对应点的坐标为， ， 即向右平移6个单位、向上平移4个单位得到， 的顶点，的对应顶点的坐标分别为， 如图，即为所求； （2）解：由（1）可得； （3）解：由（1）可得平移规律，可得中任意一点平移后的对应点为的坐标． 题型05 已知平移后的坐标求原坐标 1．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 【答案】D 【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5）， ∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8， ∴A点坐标为（﹣3，8）． 故选D． 【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程． 2．已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 【答案】D 【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论． 【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3）， ∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 3．将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【答案】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，点A（a，-3）向左平移3个单位得点A′，若点A和A′关于y轴对称，则a= ． 【答案】 【分析】根据平移规律得到A′的坐标，再根据两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数建立方程求解． 【详解】∵点A（a，-3）向左平移3个单位得点A′， ∴点A′的坐标为（a-3，-3） 又∵点A和A′关于y轴对称， ∴a+a-3=0， 解得：a=． 故答案为： 【点睛】本题考查了点的平移和对称，熟记平移规律与对称的性质是解题的关键． 5．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查坐标与图形、图形的平移、三角形面积的计算： （1）将的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可； （2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解； （3）用所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：两次平移后的图形三角形如下所示，． （2）解：由题意知，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ，， ，； （3）解：． 题型06 坐标与图形变化——轴对称 1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称点的坐标变换，熟练掌握关于y轴对称点的坐标变换特征是解题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数， 纵坐标相等求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点和点关于 轴对称，则（   ） A．7 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点和点关于 轴对称， ∴， ∴． 故选B． 3．若点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 4．点和点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称点的性质：关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，格点中计算三角形面积，轴对称最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，格点的特点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称的性质，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，连接交轴于点即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求． 1．一只电子跳蚤从点开始，先以x轴为对称轴跳至点A 的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B 的对称点C，则点 C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，掌握关于x轴对称横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 首先写出A点关于x轴对称的点B的坐标，再写出点B关于y轴对称的点C的坐标即可解答．关于x轴对称x坐标不变，另一个坐标变成相反数． 【详解】解∶∵， ∴点A关于x轴对称的点B的坐标是， 点B以y轴为对称轴的点C的坐标是∶ ． 故选B． 2．在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键；因此此题可根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由点经过平移后到达点处，可知平移方式为向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；所以点经过这样的平移后到达的点的坐标是； 故选A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点E与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出的度数，进而得出的度数，结合点与点关于直线对称可得出即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴于点C，， ∴轴， ∴，． ∵点关于直线的对称点恰好在上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为、．作关于某直线的对称图形．若的坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据B点和的坐标可知，线段与线段关于y轴对称，由此可得的坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的特征；关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵和的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴线段与线段关于y轴对称， ∴的对称点的坐标为． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查坐标与图形的性质、轴对称-最短路线的问题等知识，作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，因为，，所以，，可证明，得，则，当点P与点E重合时，则，此时的值最小，所以要使的值最小，则点P的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵x轴垂直平分，且点E在x轴上， ∴， ∴当点P与点E重合时，则，此时的值最小， ∴要使的值最小，则点P的坐标为， 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到关于，的方程，求解后代入式子即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．向左平移个长度单位，即点的横坐标减，纵坐标不变，表示出平移后点的坐标，再结合题意可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 由题意知， 解得：， 故答案为：． 8．已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的坐标， 先分别求出一，二，三次变换后的坐标，即可得出数字变化的规律，再根据规律解答即可． 【详解】解：第一次变换的坐标为； 第二次变换的坐标为； 第三次变换的坐标为； ∴第2024次变换的坐标为． 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长， ， 即的最小值为5， 故答案为：5． 10．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． 请解答下列问题． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出各顶点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图形可得出各点坐标； （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图, 即为所求． （2）解：根据图可知：点； （3）解：， 的面积为． 12．已知：点， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； (3)在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， (3)， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形； （1）根据点，的坐标描点再连线即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）由图可直接得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求 点坐标为； 故答案为：． （3）由图可得，与的位置关系是， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，格点中计算三角形面积，轴对称最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，格点的特点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称的性质，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，连接交轴于点即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题主要考查图形的平移及坐标的平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可； （2）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可． 【详解】（1）解：所作四边形如图所示： ∴； （2）解：所作四边形如图所示： ∴． 15．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）． (1)画出关于轴的对称图形（不写画法），并按要求填空； 点A关于轴对称的点的坐标为______； 点关于轴对称的点的坐标为______； 点关于原点对称的点的坐标为______； (2)求的面积． 【答案】(1)图形见解析，，， (2)6 【分析】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，轴对称的性质，关于原点对称的性质，三角形的面积公式； （1）根据轴对称的性质，分别描出三个顶点的对称点，再连线即可作出，先分别求出A、B、C三点的坐标，再分别根据轴对称的性质、关于原点对称的性质求对应的对称坐标即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：关于轴的对称图形如图所示， ∵，， ∴点A关于轴对称的点的坐标为 点关于轴对称的点的坐标为 点关于原点对称的点的坐标为 故答案为：，，； （2）解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$