2.1认识无理数同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

2.1认识无理数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列各数：其中无理数有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列实数是无理数的是（  ） A．–1 B．0 C．π D． 5．在下列各数中，是无理数的是(     ) A． B． C． D．3.14 6．在0，，0.101001…，，，这6个数中，无理数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在实数中， ， ， 是无理数的是（    ） A． B． C． D． 8．古希腊时期，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是无理数，下列各数中，是无理数的是（　　） A．2.010010001 B． C． D． 9．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．下列各数中，是无理数的是（    ）． A． B． C． D． 11．在实数，3.1415926，，1.010010001，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知一组数据﹣，π，﹣，1，2，则无理数出现的频数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 13．在实数π、、﹣、0.303003…（相邻两个3之间依次多一个0）中，无理数有 个． 14．下列5个数：0.13113，，，0，，其中无理数有 个.（填具体数字） 15．从，3.101001，π，这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是 ． 16．下列实数中，无理数有 ．（填序号） ①-2，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧1.101001． 17．定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则 三、解答题 18．阅读下列材料，解决相关任务： 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率），同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a、b、c、d为正整数），则是x的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：； 由于，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． 任务： (1)请判断：约率是（    ） A．无限不循环小数    B．有限小数    C． 整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 19．请你在方格纸上按照要求设计直角三角形： (1)使它的三边中有一边边长为无理数； (2)使它的三边中有两边边长是无理数； (3)使它的三边边长都是无理数． 20．【发现问题】 在学习第六章《实数》数学活动时，同学们进行了“动手制作正方体纸盒”的活动．活动方案如下：首先根据正方体的表面积求出棱长；其次在纸上画出与棱长相等的线段；最后制作出这个正方体．爱思考的小强发现正方体的棱长会随着它的表面积变化而变化；棱长有时会是无理数． 【提出问题】 正方体的棱长与它的表面积之间有怎样的数量关系？ 棱长是无理数时，不能用刻度尺直接表示，该如何画出与棱长相等的线段呢？ 【分析问题】 小强经历了以下一系列的计算和实际操作，并通过由数到形、由特殊到一般的方法探究了这两个问题．请你完成下面的探究： （1）①当正方体的表面积是：时，它的棱长是 　　　； ②当正方体的表面积是时，它的棱长是 　　　； ③当正方体的表面积是时，它的棱长是 　　　．（用含的式子表示） （2）小强设计了以下的方案，得到边长为无理数的线段． 将正方形和正方形如下图摆放，其中，，共线，在边上截取，把和分别旋转到和，此时，，，共线，连接，，得到新正方形．根据新正方形的面积，通过开平方得到边长为无理数的线段． ①如图1，当，时，新正方形的面积是 　　　； ②如图2，当，时，新正方形的面积是 　　　； ③当正方形和正方形的面积同时扩大倍（为正整数），则新正方形的边长扩大　　 倍．（用含的式子表示）    【解决问题】 （3）小丽想用一块面积为的长方形纸片，沿着边的方向裁出两个相邻的正方形纸片，如图3，再经历（2）的剪拼操作得到新正方形的面积为．已知长方形纸片的长宽之比为，裁出两个相邻的正方形纸片边长比为．请你通过计算判断小丽能用这块长方形纸片裁出并剪拼得到符合要求的纸片吗？（） 21．证明：是无理数. 22．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C C C A C A C 题号 11 12 答案 A A 1．C 【解析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义，可得答案． A．是整数，属于有理数，不符合题意； B.是有限小数，属于有理数，不符合题意； C.是无理数，符合题意； D.是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 2．B 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 解：A．是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意； B．是无理数，故B选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故C选项不符合题意； D．，属于有理数，故D选项不符合题意； 故选：B． 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 3．B 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：是分数，属于有理数；＝2，0，，＝﹣3，是整数，属于有理数． 无理数有：π，共2个． 故选：B． 本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.6565565556…（相邻两个6之间的5的个数逐次加1）等有这样规律的数． 4．C 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定. A、是整数，是有理数，故A选项错误； B、是整数，是有理数，故B选项错误； C、是无理数，故C选项正确； D、是分数，是有理数，故D选项错误． 故选C． 本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键． 5．C 【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项． 解：根据无理数的三种形式可得，是无理数． 故选C． 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 6．C 【解析】根据无限不循环小数就是无理数这个定义判断即可. 无理数有：0.101001…，，共3个. 故选:C. 常见的无理数有3种：开方开不尽的数，含的数，有特定结构的数. 7．A 【解析】无限不循环小数是无理数，根据定义判断即可. 是无理数； 是有理数，不是无理数 ； =3是有理数，不是无理数； =2是有理数，不是无理数， 故选：A. 此题考查无理数定义，熟记定义并掌握无理数与有理数的区别即可正确解答. 8．C 【解析】本题考查实数分类，涉及无理数定义、算术平方根等知识，根据常见无理数，逐项验证即可得到答案，熟记无理数的常见形式是解决问题的关键． 解：A、2.010010001是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 9．A 【解析】本题主要考查了整数，近似数，有理数的大小比较，有理数的定义，根据整数的分类可判断①，根据有理数的乘方可判断②，根据近似数可判断③，根据有理数的大小比较可判断④，根据有理数的定义可判断⑤． 解：①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误； ②平方等于9的数是，原说法错误； ③是精确到千位，正确； ④一定比a大，正确； ⑤与都是有理数，原说法错误； 正确的有：③④， 故选：A． 10．C 解：四个答案中，只有是无理数，故选C． 11．A 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． ∵＝﹣4， ∴在实数，3.1415926，，1.010010001，中，无理数有． 故选A． 此题主要考查了无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 12．A 【解析】频数即为某个数据出现的次数，从这5个数中，找出无理数的个数即可． 解：在数据﹣，π，，1，2中，，故无理数有π，2，共2个； 则无理数出现的频数是2； 故选：A． 本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 13．3 【解析】根据无理数的三种形式去解题：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③无限不循环小数，即可得出答案. 解：根据无理数的三种形式可得： 无理数有：π、、，共3个． 故答案为：3． 本题考查的是无理数的概念，解题关键在于弄懂无理数的三种形式即可. 14．1 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 解：0.13113和是分数，是有理数；和0整数，是有理数； 是无理数 故答案为：1 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 15． 【解析】用无理数的个数除以数的总个数即可求解． 解：在所列4个实数中，无理数有π，共2个， ∴这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是＝， 故答案为：． 本题考查无理数的概念、简单的概率计算，会利用概率公式P=计算概率是解答的关键． 16．②③⑤ 【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可． 解：①-2，有理数； ②，无理数； ③，无理数； ④，故为有理数； ⑤，无理数； ⑥，有理数； ⑦，故为有理数； ⑧1.101001为有限小数，故为有理数， ∴无理数有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 本题考查了无理数的知识，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键． 17．或 【解析】本题主要考查了勾股定理， 根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当为最长线段时，由勾股定理求出即可． 解：①当为最长线段时， ∵点 M、N是线段的勾股分割点， ∴， ②当为最长线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 18．(1)D (2) 【解析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可． （1）分数是有理数，故选D． （2）∵， ∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为：， ∵且， ∴， ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：． 本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解析】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键． （1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数； （2）可使一条直角边长为边长1与1的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为1和1的长方形的对角线，由此得到图形； （3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形． （1）解：如图 在中， （为有理数）， （为有理数）， （为无理数）， ∵， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． （2）解：如图 在中， （为有理数）， （为无理数）， （为无理数）， ， ∴是直角三角形， 故为所求三角形． （3）解：如图 在中， （为无理数）， （为无理数）， （为无理数）， ， 是直角三角形． 故为所求三角形． 20．（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）小丽能用这块长方形纸片裁出并剪拼得到符合要求的纸片，理由见解析 【解析】本题考查正方形的面积以及正方体的表面积，实数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据正方体的表面积公式即可求解； （2）根据勾股定理以及正方形的面积公式求解即可； （3）先求出长方形纸片的长和宽，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，推出，根据题意可得，进而求出的范围，，根据勾股定理可得，由，求出即可． 解：（1）①当正方体的表面积是时，它的棱长为； ②当正方体的表面积是时，它的棱长为； ③当正方体的表面积是时，它的棱长为； 故答案为：①；②；③； （2）①， ， 由， ，即正方形的面积是； ②， ， 由， ，即正方形的面积是； ③正方形可表示为，正方形的面积表示为，新正方形的面积表示为，即， ， ， 当正方形和正方形的面积同时扩大倍时，新正方形的面积为，即， 新正方形的边长， 新正方形的边长扩大倍； 故答案为：①；②；③； （3）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍去）， 长为，宽为， 裁出的两个正方形为正方形和正方形， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 解得：（负值已舍去）， ， 符合， 即小丽能裁出符合要求的纸片． 21．详见解析 【解析】用反证法证明．假设是有理数，则（m、n为互质的整数），得到，两边平方可得，得到为有理数，与已知为无理数矛盾，即可得到结论． 假设是有理数，则（m、n为互质的整数）， 所以， 两边平方得，．（均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的， 所以为有理数，与已知为无理数矛盾， 所以是无理数． 本题考查了用反证法证明数学命题，掌握有理数可表示为（m、n为互质的整数）是解题的关键． 22．④②①③ 【解析】本题考查了无理数的证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得含有因数5，可设，则，即可证明q也有因数5，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得 ∴含有因数5，设，∴ ∴，∴含有因数5，∴含有因数5 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 故答案为：④②①③． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$