数列的递推问题 小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

数列的递推问题 (时间：40分钟　满分：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·丽水模拟]已知数列{an}，若a1＝1，且an＝则a5＝(　　) A.7 B.13 C.16 D.22 2.[2024·安徽定远中学模拟]已知数列{an}中，a1＝2，an＋an＋1＝5，则数列{an}前11项的和S11＝(　　) A.22 B.27 C.28 D.55 3.[2024·蚌埠调研]若数列{an}满足a2＝2，且∀m，n∈N*，am＋n＝aman，则a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝(　　) A.21 012－2 B.22 022－1 C.21 011－2 D.21 011－1 4.[2023·泸州质检]已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2，a1＝1，则此数列的通项公式为(　　) A.an＝ B.an＝ C.an＝3×2n－1－2 D.an＝3n－2 5.[2023·南京模拟]斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的第100项为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.[2023·南阳模拟]已知数列{an}满足＝2n，a1＝1，则a2 023＝(　　) A.2 023 B.2 024 C.4 045 D.4 047 7.[2023·南昌质检]已知数列{bn}的前n项和Sn＝n2－7n，数列{an}的首项为3，若an＋1－an＝bn，则a10＝(　　) A.23 B.22 C.21 D.20 8.[2024·石家庄模拟]任意写出一个正整数m，并且按照以下的规律进行变换：如果m是个奇数，则下一步变成3m＋1，如果m是个偶数，则下一步变成m，无论m是怎样一个数字，最终必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列{an}：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a7＝2，则m的所有可能取值之和为(　　) A.188 B.190 C.192 D.201 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2024·茂名模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　) A.数列{an＋1}是等比数列 B.数列{an＋1}是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D.Tn＞1 10.[2024·东北师大附中调研]已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an＝nan＋1(n∈N*)，则(　　) A.为等差数列 B.{an}为递增数列 C.{an}的前n项和Sn＝(n－1)2n＋2＋4 D.的前n项和Tn＝ 11.[2023·淄博质检]已知数列{an}的前n项和是Sn，满足＝对n∈N*成立，则下列结论正确的是(　　) A.a1＝±1 B.{an}一定是递减数列 C.数列{S}是等差数列 D.a2 023＝－ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2023·合肥调研]数列{an}满足a2＝2，an＋2＝an＋1＋an，记Sn为数列{an}的前n项和，若S2 021＝m，则a2 023＝________.(用含m的式子表示) 13.[2023·北京市十二中调研]如表定义函数f(x) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2 023＝________. 14.[2023·日照质检]已知数列{an}中，a1＝1，a3＝7，a2是a1，a3的等差中项，Sn是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则S100＝__________. 数列的递推问题 1.C　[由题意可知a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，a5＝2a4＋2＝16，故选C.] 2.B　[依题意a1＝2，an＋an＋1＝5， 则an＋1＋an＋2＝5， 两式相减得到an＋2＝an， 又a2＝5－a1＝3，所以数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3， 所以S11＝5×(2＋3)＋2＝27，故选B.] 3.A　[令m＝n＝1，则a2＝a＝2， 令m＝1，则an＋1＝a1an， 所以＝a1， 所以数列{an}是首项和公比都为a1的等比数列， 所以a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a2＋a2·q2＋a2·q4＋…＋a2·q2 020 ＝a2(1＋q2＋q4＋…＋q2 020)＝2· ＝2·＝2·＝21 012－2. 故选A.] 4.C　[由an＋1＝2an＋2，有an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2， 又a1＝1，所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1， 即an＝3×2n－1－2，n∈N*，故C正确， 故选C.] 5.D　[由题意有an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}， 则b1＝1，b2＝1，b3＝2，b4＝3，b5＝1，b6＝0，b7＝1，b8＝1，b9＝2，…，则数列{bn}是以6为周期的周期数列，则b100＝b16×6＋4＝b4＝3，则数列{bn}的第100项为3，故选D.] 6.C　[∵＝2n， ∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)， 即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an， 可得＝， ∴a2 023＝···…···a1＝×××…×××1＝4 045.故选C.] 7.C　[因为Sn＝n2－7n， 所以①当n＝1时，b1＝S1＝1－7＝－6， ②当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－7n－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8， 将n＝1代入bn＝2n－8得b1＝－6，符合， 所以bn＝2n－8. 所以an＋1－an＝bn＝2n－8， 所以a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9)＝3＋(－6)＋(－4)＋…＋10 ＝3＋＝21.故选C.] 8.B　[由题意，a1→a2→a3→a4→a5→a6→a7的可能情况有： ①2→1→4→2→1→4→2； ②16→8→4→2→1→4→2； ③20→10→5→16→8→4→2； ④3→10→5→16→8→4→2； ⑤128→64→32→16→8→4→2； ⑥21→64→32→16→8→4→2； 所以，m的可能取值集合为{2，16，20，3，128，21}，m的所有可能取值之和为2＋16＋20＋3＋128＋21＝190.故选B.] 9.AC　[因为Sn＋1＝Sn＋2an＋1，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，an＋1＋1＝2an＋2，即＝2，且a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误； 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故C正确； 因为＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝1－＜1，故D错误.故选AC.] 10.BCD　[由2(n＋1)an－nan＋1＝0得 ＝2×， 所以是以＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 因为＝4×2n－1＝2n＋1， 所以an＝n·2n＋1，显然递增，故B正确； 因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1， 2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2， 所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2， 故Sn＝(n－1)×2n＋2＋4，故C正确； 因为＝＝n， 所以的前n项和 Tn＝＝，故D正确. 故选BCD.] 11.AC　[由＝得2Sn＝an＋， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 则2Sn＝Sn－Sn－1＋， 整理得S－S＝1， 显然＝， 则S＝1， 因此数列{S}是等差数列， 首项为1，公差为1，C正确； a＝S＝1，解得a1＝±1，A正确； S＝1＋(n－1)×1＝n， 当Sn＞0时，Sn＝， 当n≥2时，an＝－，a1＝1满足上式， 因此an＝－， 此时an＝， an＋1＝，an＋1＜an，{an}是递减数列， 当Sn＜0时，Sn＝－， 当n≥2时，an＝－＋，a1＝－1满足上式， 因此an＝－＋， 此时an＝－， an＋1＝－，an＋1＞an，{an}是递增数列，B错误； 当Sn＞0时，an＝－， a2 023＝－， 当Sn＜0时，an＝－＋， a2 023＝－＋，D错误. 故选AC.] 12.m＋2　[由an＋2＝an＋1＋an，则a2 023＝a2 021＋a2 022＝a2 021＋a2 020＋a2 021＝a2 021＋a2 020＋a2 019＋a2 020＝…＝a2 021＋a2 020＋a2 019＋…＋a2＋a1＋a2＝S2 021＋a2＝m＋2.] 13.5　[由题意，a1＝4，an＝f(an－1)， 则a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2， a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…， 所以数列{an}是以4为周期的周期数列， 所以a2 023＝a505×4＋3＝a3＝5.] 14.5 248　[依题意，a2＝＝4， 故a1＋a2＋a3＝12， 而an＋1＋an＋2＋an＋3－(an＋an＋1＋an＋2)＝an＋3－an＝3， 所以(a100－a97)＋(a97－a94)＋…＋(a4－a1)＝3×33＝a100－a1⇒a100＝100， 且a3n＋1＋a3n＋2＋a3n＋3－(a3n－2＋a3n－1＋a3n)＝3×3＝9， 故是首项为12， 公差为9的等差数列， 则S100＝33×12＋×9＋100＝5 248.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$