事件与概率小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

事件与概率 (时间：40分钟　满分：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·哈尔滨调研]抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是(　　) A.“大于3点”与“不大于3点” B.“大于3点”与“小于2点” C.“大于3点”与“小于4点” D.“大于3点”与“小于5点” 2.[2024·湖南雅礼中学模拟]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30＝7＋23.在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是(　　) A. B. C. D. 3.[2023·南京模拟]在一段时间内，若甲去参观博物馆的概率为0.6，乙去参观博物馆的概率为0.5，且甲、乙两人各自行动，则在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是(　　) A.0.3 B.0.32 C.0.8 D.0.84 4.[2023·南阳模拟]先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则(　　) A.A与B互斥 B.B与C相互独立 C.P(A)＝ D.A与C互斥 5.[2024·宁波调研]从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学Ⅰ卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能(例如，选A，AB，ABC是等可能的)，则该题得2分的概率是(　　) A. B. C. D. 6.[2024·福州调研]某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n＝(　　) A. B. C. D. 7.[2023·宁德质检]为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为(　　) A. B. C. D. 8.[2023·长沙质检]随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育.某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择‘5人制’课程”，则(　　) A.A与B为对立事件 B.A与C互斥 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2024·枣庄调研]一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为P1，P2，P3，则(　　) A.P1＜P2 B.P1＜P3 C.P2＝P3 D.2P1＝P3 10.[2024·常德质检]一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(　　) A.事件M与事件N互斥 B.事件M发生的概率为 C.事件M与事件N相互独立 D.事件M＋N发生的概率为1 11.[2023·山东省实验中学质检]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则(　　) A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为 C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2024·广州质检]算盘是中国传统的“珠算”工具.如图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表数字5，下面一粒珠(简称下珠)代表数字1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，则算盘表示的数为质数(除了1和本身没有其它的约数)的概率是________. 13.[2023·上海静安质检]、分别是事件A、B的对立事件，如果A、B两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________.(填写所有成立的等式序号) ①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②P(∩B)＝P()P(B)；③P(∩)＝[1－P(A)][1－P(B)]; ④P(∪)＝P()＋P(). 14.[2024·南京模拟]为弘扬亚运精神，某校团委举办杭州亚运知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关亚运知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响，则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为__________. 事件与概率 1.B　[对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等， 事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误； 对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等，所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件，所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件，B正确； 对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误； 对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等，事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生，所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误；故选B.] 2.C　[因为不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，这组数的中位数为11，所以所求概率P＝＝.故选C.] 3.C　[依题意，在这段时间内，甲、乙都不去参观博物馆的概率为P1＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2，所以在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P＝1－P1＝1－0.2＝0.8.故选C.] 4.B　[对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B，因此A与B能够同时发生，所以A与B不互斥，故选项A错误； 对于选项B：P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(BC)＝＝，所以P(BC)＝P(B)P(C)，所以B与C相互独立，即选项B正确； 对于选项C：P(A)＝≠，故选项C错误； 对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C，因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；故选B.] 5.B　[随机地选了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种选法，得2分的选法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，故能得2分的概率为＝.故选B.] 6.D　[由题意可知， 得 即 解得：m＋n＝.故选D.] 7.C　[五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况， 则有： C×A＋×A＝150种方法；两位女教师分派到同一个地方，根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：C×A＝18种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：C×A＝18种方法，故一共有36种分派方法，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为P＝＝.故选C.] 8.C　[依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同，故A与B互斥不对立，A错误； 当甲、乙两人均未选择“5人制”课程时，两人可能选的课程有一门相同，A与C不互斥，B错误； 所以P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝， 且P(AC)＝＝，P(BC)＝0， 所以P(AC)＝P(A)P(C)， P(BC)≠P(B)P(C)， 即A与C相互独立，B与C不相互独立，C正确，D错误.] 9.ABD　[方案一：“选到3号球”的概率 P1＝； 方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球，则“选到3号球”的概率P2＝×＋×＝； 方案三：同时摸出两个球共有：{1，2}，{1，3}，{2，3}共3个基本事件，“选到3号球”包含{1，3}，{2，3}共2个基本事件，“选到3号球”的概率P3＝. 故P1＜P2，P1＜P3，P2＜P3，2P1＝P3， ABD正确，C错误.故选ABD.] 10.BC　[由题意可得P(M)＝＝， 故B正确； 当两次抛掷的点数为(1，4)时， 事件M与事件N同时发生，所以事件M与事件N不互斥，故A错误； 事件M与事件N同时发生的情况有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)共4种， 所以P(MN)＝＝， 又P(N)＝＝， 所以P(MN)＝P(M)P(N)， 故事件M与事件N相互独立，故C正确； P(M＋N)＝P(M)＋P(N)－P(MN) ＝＋－＝， 故D错误.故选BC.] 11.ACD　[设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则P(A)＝＝， P(B)＝×＋×＝， 故A正确； P(C)＝2××＝，P(D)＝2××＝，故B错误； 而P(AD)＝＝＝P(A)P(D)， 故C正确； 两次取出的数字之和或为奇数，或为偶数，必有一个事件发生，且不能同时发生，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选ACD.] 12.　[由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70， 其中是质数的有：7、61，故所求事件的概率为P＝＝.] 13.②③　[①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(AB)，故①不一定成立； ②③由事件的独立性定义可得与B，与相互独立， 所以P(∩B)＝P()P(B)，P(∩)＝ P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]，故②③正确； ④P(∪)＝P()＋P()－)，故④不一定成立.] 14.　[设甲同学答对的事件为A，答错的事件为，乙同学答对的事件为B，答错的事件为，丙同学答对的事件为C，答错的事件为，因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是， 所以P(A)＝， P()＝P()P()＝， P(BC)＝P(B)P(C)＝ ， 解得P()＝，P(C)＝，P(B)＝， 所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率P＝P(AB)＋P(AC)＋ P(BC)＋P(ABC)＝××＋ ××＋××＋× ×＝.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$