三角恒等变换小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

三角恒等变换 (时间：40分钟　满分：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·咸阳模拟]sin 20°sin 10°－cos 10°sin 70°的化简结果为(　　) A. B.－ C. D.－ 2.[2023·九江质检]已知0＜α＜β＜π，且cos α＝，cos (α－β)＝，则cos β＝(　　) A. B. C. D.0 3.[2024·日照模拟]在平面直角坐标系xOy中，角θ的大小如图所示，则tan θ＝(　　) 第3题图 A. B. C.1 D. 4.[2024·福州模拟]＝(　　) A.cos 9° B.cos 9° C.sin 9° D.sin 9° 5.[2024·南京模拟]已知tan(π＋α)＝2，则＝(　　) A.－3 B.－ C.3 D. 6.[2024·成都诊断]若α为锐角，且cos(α＋)＝，则sin(α＋)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 7.[2024·湖南雅礼中学模拟]已知tan α＋tan β＝3，sin (α＋β)＝2sin αsin β，则tan(α＋β)＝(　　) A.4 B.6 C.－ D.－6 8.[2024·无锡模拟]如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F两点，且α∈(0，)，β∈(，π)，若直线EF的斜率为，则sin (α＋β)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2024·湖南长郡中学调研]已知角α的终边经过点(－1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.＝－ B.tan ＝ C.tan(π－2α)＝ D.若α为钝角，则＜α＜ 10.[2024·南通调研]下列等式成立的有(　　) A.sin2－＝ B.tan80°－tan35°－tan80°tan35°＝1 C.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝ D.＝ 11.[2024·广州模拟]已知sin α＝2cos β，β∈(－，0)，＝，则(　　) A.α为第二象限角 B.sin α＝ C.sin 2β＝－ D.tan(α＋β)＝1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2023·济宁质检]已知cos2(－α)＝，则sin 2α＝________. 13.[2024·杭州质检]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，则4cos22α－cos22β＝________. 14.[2024·南京模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A(x1，y1)，角(α＋)的终边与单位圆交于B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2的值为__________；若x1y2＋x2y1＝，则的值为__________. 三角恒等变换 1.D　[sin 20°sin 10°－cos 10°sin 70° ＝sin 20°sin 10°－cos 10°cos 20° ＝－(cos 10°cos 20°－sin 20°sin 10°) ＝－cos (20°＋10°)＝－cos 30°＝－. 故选D.] 2.D　[法一　∵0＜α＜π，cos α＝， ∴sin α＝， 又－π＜α－β＜0，cos (α－β)＝， ∴－＜α－β＜0，∴sin (α－β)＝－， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×(－)＝0，故选D. 法二　∵0＜α＜π，cos α＝，∴sin α＝， ∴cos (α－β)＝sin α， 即cos (β－α)＝cos(－α)， ∵0＜β－α＜π，0＜－α＜， ∴β－α＝－α， 则β＝，cos β＝0，故选D.] 3.D　[过P作PQ⊥x轴，垂足为Q， 根据正切值的定义： tan(θ＋)＝＝5，则tan(θ＋)＝5 ＝，解得tan θ＝.故选D.] 4.D　[ ＝ ＝ ＝|sin 36°－cos 36°|＝cos 36°－sin 36° ＝sin (36°＋135°)＝sin 171° ＝sin (180°－9°)＝sin 9°，故选D.] 5.B　[因为tan(π＋α)＝tan α＝2， 所以＝＝＝＝－. 故选B.] 6.D　[由α为锐角，且cos(α＋)＝， 所以sin(α＋)＝， 则sin(α＋)＝sin[(α＋)＋]＝sin(α＋)cos ＋cos(α＋)sin ＝×＋×＝.故选D.] 7.D　[由sin (α＋β)＝2sin αsin β得 sin αcos β＋cos αsin β＝2sin αsin β， 则＝2， 则＋＝2，可得＝2，故tan αtan β＝， 所以tan(α＋β)＝ ＝＝－6，故选D.] 8.B　[由题意得∠AOE＝α，∠AOF＝β，OE＝OF，则直线EF的倾斜角为α－＝－，tan(－)＝， 即－＝，则tan ＝－4， 则tan(α＋β)＝＝＝. ∵α∈(0，)，β∈(，π)， ∴α＋β∈(，)， 又∵tan(α＋β)＞0， ∴α＋β∈(π，)， 则由tan(α＋β)＝＝， 结合sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 解得sin (α＋β)＝－， 故选B.] 9.BD　[由角α的终边经过点(－1，2)， 可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2. 对于A，＝＝＝ ，故A错误； 对于B，tan ＝＝＝＝＝，故B正确； 对于C，tan(π－2α)＝－tan 2α＝－＝－＝－，故C错误； 对于D，若α为钝角，则由tan α＝－2＜0， 且tan α＜tan ＝－＜0， 又因为tan α在(，π)上单调递增， 所以＜α＜，故D正确.故选BD.] 10.BD　[对于A选项，sin2－＝－(1－2sin2)＝－cos ＝－，A错误； 对于B选项，因为tan45°＝tan(80°－35°)＝＝1， 所以tan80°－tan35°－tan80°tan35°＝tan80°tan35°＋1－tan80°·tan35°＝1，B正确； 对于C选项，cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝ ＝＝＝＝，C错误； 对于D选项， ＝ ＝＝＝，D正确.故选BD.] 11.BC　[因为＝＝， 所以有cos3α＝cos3β，所以得到cos α＝cos β， 又β∈(－，0)， 所以sin α＝2cos β＝2cos α＞0， 可得tan α＝2且α为第一象限角，故sin α＝，cos α＝，故A不正确，B正确； 又cos β＝sin α＝，β∈(－，0)，故sin β＝－，所以sin 2β＝－，tan β＝－2，故C正确； 由tan α＝2，tan β＝－2，知tan(α＋β)＝0，故D不正确.故选BC.] 12.　[因为cos2(－α)＝，则sin 2α＝cos(－2α)＝cos[2(－α)] ＝2cos2(－α)－1＝2×－1＝.] 13.0　[由sin θ＋cos θ＝2sin α两边平方可得 1＋2sin θcos θ＝4sin2α＝2－2cos 2α， 所以2cos 2α＝1－2sin θcos θ； 由sin θcos θ＝sin2β＝可得 cos 2β＝1－2sin θcos θ . 所以2cos 2α＝cos 2β， 所以4cos22α－cos22β＝(2cos 2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)＝0.] 14. 　－　[x1x2＋y1y2＝·＝ ||·||·cos ＝. 由三角函数的定义可知， x1＝cos α，y1＝sin α，x2＝cos(α＋)， y2＝sin(α＋)， 则x1y2＋x2y1＝cos αsin(α＋)＋ cos(α＋)sin α＝sin(2α＋) ＝(sin 2α＋cos 2α) ＝·＝， 所以3tan2α－5tan α－2＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－(舍去)， 则＝＝＝(－1)＝－.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$