3.2 平面直角坐标系 同步练习 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

3.2平面直角坐标系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置可能是（    ）      A．点 B．点 C．点 D．点 2．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，，，，，，…，根据规律，第个整数点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））= A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5） 4．如图，在平面直角坐标系中A(﹣1，1)，B(﹣1，﹣2)，C(3，﹣2)，D(3，1)，一只蚂蚁从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第100秒蚂蚁在（　　）处． A．(1，1) B．(﹣1，﹣2) C．(1，﹣2) D．(0，﹣2) 5．已知线段AB⊥x轴，且AB＝4，若点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标（  ） A．（﹣2，7） B．（2，3） C．（﹣2，7）或（﹣2，﹣1） D．（2，3）或（﹣6，3） 6．在平面直角坐标系中，点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限， 7．已知点A的坐标为，则点A关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点（0，﹣2）在（　　） A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 9．如图所示，点，点分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为，且满足，则a的值为（　　） A．2 B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．下列说法正确的是（    ） A．7的算术平方根是49 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．有理数与无理数的乘积一定是无理数 D．若，则点在第一象限或第三象限 12．若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 13．已知点A(3﹣m，2m+6)到两坐标轴的距离相等，则m＝ ． 14．已知点在轴上，则的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ．（用含a的式子表示） 16．已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 ． 17．如图，△ABC在平面直角坐标系中，AC＝BC，∠ACB＝90°，OB＝OC，点A的坐标是（0，a），点C的坐标是（2，1），则a的值为 ． 三、解答题 18．已知点在第二象限，且，，求点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图．    (1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； (2)直接写出三点的坐标： __________，__________，__________． 20．在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． (1)的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． (2)若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 21．如图所示 (1)建立合适的平面直角坐标系画出、、，，相应点的坐标 (2)连接，求出的面积． 22．在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 23．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 24．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；    (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D C A D B C C 题号 11 12 答案 D B 1．B 【解析】根据的坐标信息可得点在第三象限，从而可得答案． 解：一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置可能是点， 故选：B． 本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键． 2．A 【解析】观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，故可得当为奇数时，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， …… 当为奇数时，第个点的坐标为， 当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴， ∵，为奇数， ∴第个点的坐标为， ∴退个点，得到第个点是． 故选：A． 本题考查规律型：点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，是解题的关键． 3．D 【解析】根据两种变换的规则，先计算f（5，﹣9）=（5，9），再计算g（5，9）即可． 解：g（f（5，﹣9））=g（5，9）=（9，5）． 故选：D． 4．D 【解析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第100秒爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 解：A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）， 四边形ABCD是矩形， ， ， ， 蚂蚁转一周，需要的时间是（秒）， ， 按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第100秒相当于从A点出发爬了2秒，路程是：个单位，4=3+1，所以在BC上，且距离B点一个单位处，即蚂蚁的坐标为，故D正确． 故答案为：D． 本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定100秒蚂蚁爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 5．C 【解析】根据垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等求出点B的横坐标，再分点B在点A的上方与下方两种情况讨论求解． 解：∵线段AB⊥x轴，点A坐标为（−2，3）， ∴点B的横坐标为−2， ∵AB＝4， ∴点B的纵坐标为3＋4＝7，或3−4＝−1， ∴点B的坐标为（−2，7）或（−2，−1）， 故选：C． 本题考查坐标与图形性质，熟记垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 6．A 【解析】在平面直角坐标系中，第一象限的点的横坐标大于0，纵坐标大于0，据此判断出点所在的象限是第一象限． 解：，， 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第一象限． 故选：A． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 7．D 【解析】本题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律（关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．）是解题的关键． 根据坐标的变化规律解答即可． 解：点A的坐标为关于 x 轴的对称点坐标为． 故答案为：D． 8．B 【解析】根据在y轴上的点的横坐标为0判断即可． 解：在平面直角坐标系中，点（0，-2）在y轴上． 故选：B． 本题考查了点的坐标，熟知在y轴上的点的横坐标为0是解答本题的关键． 9．C 【解析】此题考查了坐标与图形、三角形的面积等知识，数形结合和添加合适辅助线是解题的关键．连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，根据已知得到，然后根据面积关系进行计算即可． 解：连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D， ∵点，点，点P坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C 10．C 【解析】由点A所处的象限可确定a与b的符号，从而可确定点B所处的象限． ∵点在第二象限， ∴a<0，-b>0， ∴a<0，b<0， ∴-ab<0， 从而点B在第三象限， 故选：C． 本题考查了点所在象限的坐标特征及根据点的坐标确定点所处的象限，掌握各个象限内点的坐标特征是解题的关键． 11．D 【解析】根据算术平方根、平方根、实数的运算及平面直角坐标系中象限的点可进行求解． 解：A、7的算术平方根是，原说法错误； B、平方根等于它本身的数是0，原说法错误； C、有理数与无理数的乘积不一定是无理数，比如，原说法错误； D、若，则点在第一象限或第三象限，说法正确； 故选：D． 本题主要考查算术平方根、平方根、实数的运算及平面直角坐标系中象限的点，熟练掌握算术平方根、平方根、实数的运算及平面直角坐标系中象限的点是解题的关键． 12．B 【解析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点所在的象限求参数．先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，进而得到，据此可得答案． 解：∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴点在第二象限， 故选：B． 13．﹣1或﹣9 【解析】根据点到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可． ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． 本题考查了点的坐标，读懂题目信息列出绝对值方程是解题的关键． 14．2 【解析】本题考查了坐标轴上的点的特点．根据轴上的点的坐标特点，即可确定的值，平面直角坐标系中轴上点的坐标特点：纵坐标为0． 解：点在轴上， ， ， 故答案为：2． 15．或 【解析】先求出，轴，进而得到轴，再分两种情况讨论求解即可． 解：∵正方形的顶点，的坐标分别为，， ∴，轴， ∴轴， 如图所示，当点在点右侧时，则点的坐标为； 如图2所示，当点在点左侧时，则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 16．（4，4）或（12，-12） 【解析】根据题意可得|m+3|=|6-2m|，从而可得m+3=6-2m或m+3=-（6-2m），然后进行计算即可解答． ∵点M（m+3，6-2m）到x，y轴的距离相等， ∴|m+3|=|6-2m|， ∴m+3=6-2m或m+3=-（6-2m）， ∴m=1或m=9， 当m=1时，m+3=4，6-2m=4， ∴点M的坐标为（4，4）， 当m=9时，m+3=12，6-2m=-12， ∴点M的坐标为（12，-12）， 综上所述：点M的坐标为（4，4）或（12，-12）， 故答案为：（4，4）或（12，-12）． 本题考查了点的坐标，理解到坐标轴的距离与横纵坐标的关系是解题的关键． 17．5 【解析】首先求出OC、AC，再根据勾股定理求出OA即可解决问题． ∵C(2,1)， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴a=5， 故答案为5. 考查坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，比较基础，难度不大. 18． 【解析】 本题主要考查了绝对值、平方根、点所在的象限特征等知识点，掌握第二象限内的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解题的关键． 先根据绝对值、平方根确定a、b的可能取值，然后根据点再第二象限确定a、b的值即可． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵点在第二象限， ∴，． ∴，，即点的坐标为． 故答案为． 19．(1)作图见详解 (2)，， 【解析】（1）根据图形关于轴对称的作图方法即可求解； （2）根据图形与坐标的特点即可求解． （1）解：关于轴对称的，如图所示，        ∴即为所求图形． （2）解：由（2）中的图形可知，，，， 故答案为：，，． 本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形关于轴对称的作法，图形与坐标的特点是解题的关键． 20．(1)；； (2)大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块 【解析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据条件分别写出的坐标，找出规律，进而得到，的坐标； （2）根据图形复现，墙砖每3个单位长度循环一次，在每一个循环周期内，需要大号墙砖1块，中号墙砖2块，小号墙砖4块，再用2026除以4即可求解； 准确识别图形，得到循环规律是解题的关键． （1）解：∵最小的等腰直角三角形的斜边长为1， ∴中间大的等腰直角三角形的直角边为1， ∴， 由图可得， 由规律可得， 故答案为：；；； （2）解：由题图可知，图案每3m重复一次， ∵， ∴一共循环了次，还余下1m，多出来的1m是四块小号的墙砖， ∴大号墙砖需要675块， 中号墙砖需要（块）， 小号墙砖需要（块）， ∴大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块． 21．(1)见详解 (2) 【解析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据（1）的图形，利用割补法即可得到结论． （1）解：建立合适的平面直角坐标系，描点如图： （2）如图：的面积为， 22．(1)，2； (2)点的坐标为，在第四象限； (3)． 【解析】（1）根据“级牵挂点”的定义直接进行计算即可得到的坐标，根据的纵坐标即可求出点到轴的距离； （2）设点的坐标为，根据“级牵挂点”的定义建立方程组，解方程组求出点的坐标，即可判断点的坐标及所在象限； （3）先根据“级牵挂点”求出的坐标，再根据在轴上求出m的值，即可求得答案． （1）解：点的“级牵挂点”为， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， 即 且到轴的距离为； （2）解：∵点的“级牵挂点”为 设点的坐标为 解得 点的坐标为，在第四象限． （3）解：点的“级牵挂点”， ，， 即， 点在轴上， ， ， 则， 的坐标为． 本题考查直角坐标系，点到坐标轴的距离，点象限的判定等，正确理解“级牵挂点”的定义是解题的关键． 23．(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或或 【解析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的性质，平移规律是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点P作，利用平行线的性质即可得三角的关系； （3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可． （1）解：由于，且， 所以， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ； 点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ； 而， ； （3）解：存在； ①当点M在x轴上时， 由平移知，，， ； 设点M坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点M在y轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点M的坐标为或或或． 24．(1)见解析 (2)； (3)，证明见解析 【解析】（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． （1）平分， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，    过点作于， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）； 证明：如图3，    在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$