专题04 相交线和平行线（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

专题04 相交线和平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行的性质——同位角相等 【解惑】如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，由此可直接得出答案． 【详解】， ． ， ． 故选A． 【融会贯通】 1．如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， 故选：B． 2．如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了平行线，熟练掌握两直线平行，同位角相等，对顶角相等，是解题关键．先根据平行线的性质可得出，再根据对顶角的性质得出，据此可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 类型二、平行的性质——内错角相等 【解惑】如图，是的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，由题意得，，，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 根据角平分线的定义得出，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，，过点作．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，结合即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， ∵ ∴ 故答案为： 3．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 类型三、平行的性质——同旁内角互补 【解惑】如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 【融会贯通】 1．如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由平行线的性质得的度数，再由角平分线得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵平分， ∴； 故答案为：． 3．如图，，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行公理的推论可得，再根据平行线的性质可得，进而可得的度数，然后可求出的度数，再根据角平分线的性质可得，最后再利用平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，平行线的性质（两直线平行同旁内角互补），角平分线的性质，平行线的性质（两直线平行内错角相等）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 类型四、平行线中的折线模型 【解惑】如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故选：D 【融会贯通】 1．如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作的平行线，过点B作的平行线，由两直线平行，内错角相等可得；再根据两直线平行，同旁内角互补得出，根据图中角的关系求出，即得． 本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”；“两直线平行，内错角相等”．作辅助线．是解题的关键（方法不唯一）． 【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴． 故选：C． 2．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为 度． 【答案】90 【分析】本题考查方向角的概念，平行线的性质，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此求出． 【详解】解：∵岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴从C岛看A，B两岛的视角为， 故答案为：90． 3．已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)若，且平分，说明和的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）如图，作，则，由，，可得，则，进而可得； （2）由，，可得，由平分，可得，由，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型五、利用平行线间距离解决问题 【解惑】如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 【融会贯通】 1．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， 由图可知：平行四边形的面积为：，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选D． 2．如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段经过点P． (1)过点Q画的平行线； (2)过点P画线段，使得线段且； (3)连接、，若格点F（不与点Q重合）满足，则这样的格点F共有　　　　个． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)4 【分析】本题考查的是画平行线，垂线，线段，平行线的性质，熟记平行线间的距离处处相等是解本题的关键． （1）取格点，过，作直线，则， （2）取格点，，画线段即可；则，， （3）在直线上确定格点，以及格点，满足； 【详解】（1）解：如图，直线即为所画的平行线； （2）如图，线段即为所求作的线段； （3）如图，由等底同高的两个三角形的面积相等可得，，，符合题意． ∴满足的格点有4个． 类型六、平行线的判定——同位角相等 【解惑】如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，解题的关键是根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】解：，理由如下： ，， ， ． 【融会贯通】 1．已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：，， ， ． 2．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是的平分线，若，，求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，角平分线得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 类型七、平行线的判定——内错角相等 【解惑】已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．如图所示，已知，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用，，，等量代换得出，即可判定． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 3．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 类型八、平行线的判定——同旁内角互补 【解惑】已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的判定，掌握相关基本性质是解题的关键． 根据对顶角相等并结合题意得到，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】证明：由对顶角相等可得：， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 2．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键；先证明，，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵，分别平分， ∴，， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 类型九、垂直于同一直线的两直线平行 【解惑】探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3)直线与的位置关系是 【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得 ， 故答案为：； （3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环， ∴，， ∴直线与的位置关系是． 【点睛】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键． 【融会贯通】 1．如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 2．（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” ①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________； ③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）AB∥CD，BC∥DE； 【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可； （2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明； 【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；                                      ②如图， ∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；                         ③∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1， ∴∠ABC＝60°，    又∵∠2＝120°， ∴∠ABC+∠2＝180°， ∴AB∥CD，    又∵∠2+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝60°，   ∵∠D＝60°， ∴∠BCD＝∠D， ∴BC∥DE； 【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键． 3．（1）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小王同学的作法如下：①连按AB；②过点A作AC⊥直线l于点C：则折线段B—A—C为所求． 老师说：“小王同学的方案是正确的” 请回答：该方案最节省材料的依据是_____________________． （2）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板画出两条平行线． 小明的画法如下： 步骤一：运用三角板一边任意画一条直线l； 步骤二：按如图方式摆放三角板； 步骤三：沿三角板的直角边画出直线AB、CD； 这样，得到AB∥CD． 小明这样画图的依据是________________________． 【答案】（1）两点之间，线段最短；垂线段最短；（2）内错角相等，两直线平行或在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据两点之间线段最短以及点到直线的距离垂线段最短进行理解即可； （2）两块三角板均为直角三角形，因此可利用直角的特点构造出垂直于同一直线的两条直线，由此得出平行线，同样也可理解为构造一组内错角相等，得到平行关系． 【详解】（1）两点之间，线段最短；垂线段最短． （2）内错角相等，两直线平行或在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题考查点与点和点与线直线的距离的实际应用，以及平行线的判定，理解基本定理并熟练运用是解题关键． 类型十、平行的性质与判定补全过程 【解惑】如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因为分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 【答案】角平分线的定义；1，2，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法并灵活运用是解本题的关键． 证明，．可得．可得．证明．可得． 【详解】证明：∵分别平分与（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；1，2． 【融会贯通】 1．如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 2．如图，已知，试说明 请参照图形和题目中给出的条件，完善推理过程． 解：因为 根据（   ） 所以 又因为 根据同旁内角互补，两直线平行 所以 根据（   ） 所以 【答案】同位角相等，两直线平行；；，；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行公理的应用，根据题干信息的提示逐一补充推理过程与推理依据即可． 【详解】解：因为， 根据（同位角相等，两直线平行）， 所以， 又因为， 根据同旁内角互补，两直线平行 所以， 根据（平行于同一条直线的两条直线平行） 所以. 3．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 【一览众山小】 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 和是同位角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； B. 和是内错角，根据内错角相等，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； C. 和是同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故该选项不符合题意； D.根据，可判定，不能判断，故该选项符合题意， 故选：D． 3．如图，已知，，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，先由得到，从而得到，进而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，已知直线a，直线，若 ，则． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握，内错角相等，两直线平行．根据内错角相等，两直线平行，可得时，，由此即可得解． 【详解】当时，， ， 即若，则． 故答案为：． 5．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 6．如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是 ． 【答案】/39度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，等边三角形的性质，过点A作，则，由平行线的性质得到，，再由等边三角形的性质得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∴，， 由等边三角形的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可． 【详解】解：补全的证明过程如下： 证明：∵ （已知） ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） 8．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 9．如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等． 由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出，根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 10．将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 【答案】；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由已知条件可得出，根据同位角相等，两直线平行得出，再根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 故答案为：；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相交线和平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行的性质——同位角相等 【解惑】如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为 ． 3．如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 类型二、平行的性质——内错角相等 【解惑】如图，是的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，过点作．则的度数是 ． 3．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型三、平行的性质——同旁内角互补 【解惑】如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 2．如图，平分，若，则的度数为 ． 3．如图，，，平分，，，求的度数． 类型四、平行线中的折线模型 【解惑】如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为 度． 3．已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)若，且平分，说明和的数量关系． 类型五、利用平行线间距离解决问题 【解惑】如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 2．如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段经过点P． (1)过点Q画的平行线； (2)过点P画线段，使得线段且； (3)连接、，若格点F（不与点Q重合）满足，则这样的格点F共有　　　　个． 类型六、平行线的判定——同位角相等 【解惑】如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 【融会贯通】 1．已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：． 2．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 3．如图，是的平分线，若，，求证：    类型七、平行线的判定——内错角相等 【解惑】已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【融会贯通】 1．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 2．如图所示，已知，，试说明：． 3．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 类型八、平行线的判定——同旁内角互补 【解惑】已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【融会贯通】 1．如图，，平分，，求证：． 2．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 3．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 类型九、垂直于同一直线的两直线平行 【解惑】探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【融会贯通】 1．如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 2．（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” ①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________； ③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 3．（1）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小王同学的作法如下：①连按AB；②过点A作AC⊥直线l于点C：则折线段B—A—C为所求． 老师说：“小王同学的方案是正确的” 请回答：该方案最节省材料的依据是_____________________． （2）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板画出两条平行线． 小明的画法如下： 步骤一：运用三角板一边任意画一条直线l； 步骤二：按如图方式摆放三角板； 步骤三：沿三角板的直角边画出直线AB、CD； 这样，得到AB∥CD． 小明这样画图的依据是________________________． 类型十、平行的性质与判定补全过程 【解惑】如图，已知分别平分与且，请填写理由说明． 解：因为分别平分与（已知）， 所以，（ ）． 因为（已知）． 所以∠ ＝∠ （等量代换）． （完成以下说理过程） 【融会贯通】 1．如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 2．如图，已知，试说明 请参照图形和题目中给出的条件，完善推理过程． 解：因为 根据（   ） 所以 又因为 根据同旁内角互补，两直线平行 所以 根据（   ） 所以 3．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【一览众山小】 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，则的度数（  ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线a，直线，若 ，则． 5．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 6．如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是 ． 7．在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 8．如图，已知，，，求的度数． 9．如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 10．将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$