专题04 相交线和平行线（基础类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

专题04 相交线和平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、对顶角的定义 【解惑】下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角， 故选：C． 【融会贯通】 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，理解并掌握对顶角的定义是解题关键．如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是对顶角，本选项不符合题意； B. 是对顶角，本选项符合题意； C. 不是对顶角，本选项不符合题意； D. 不是对顶角，本选项不符合题意． 故选：B． 2．若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查对顶角和补角，一元一次方程的几何应用，设这个角的度数是x，根据一个角的对顶角是它的补角的，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是x， 角的对顶角也为x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 类型二、垂线的定义 【解惑】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出，再求出，最后得出答案． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，点为直线上一点，，当 时，． 【答案】/70度 【分析】本题考查了垂直的定义以及平角的定义，掌握垂直得以及平角为是解题的关键，把当成条件，然后去推出的度数． 【详解】解： ， ， 又，， ， 当时，． 故答案为：． 3．已知，，，则的度数为 °． 【答案】50或130 【分析】本题考查了角度的计算、垂直的定义，能够进行分类讨论是解题关键． 作出图，发现分成两种情况，然后根据角度的计算分别进行计算即可． 【详解】解：如图，分成两种情况， ∵， ∴， ， ． 故答案为：50或130． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的相关知识，关键在于理解同旁内角不一定具有固定的大小关系． 同旁内角是指两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角．根据定义即可知同旁内角只有位置关系，没有大小关系． 【详解】同旁内角只有在两直线平行的条件下才会互补，其他条件下同旁内角只具有位置关系，没有大小关系，故而、、均有可能． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，若两条直线a、b被直线c、d所截，则图中标号的角中共有内错角的对数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查内错角，根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得答案． 【详解】和，和，和，和均是内错角，共有4对内错角． 故选：B． 2．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 3．如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【答案】 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的同侧，且在两条被截直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角是解题的关键．根据同位角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【详解】解：如图，   与是直线与被直线所截的同位角；与是直线与被直线所截的同位角． 故答案为：，，， 类型四、平面内两直线的位置关系 【解惑】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果． 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 【融会贯通】 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论． 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 2．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 3．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 类型五、平行公理的应用 【解惑】下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 2．如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行． 3．如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 【答案】经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理判断即可． 【详解】解：理由为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 类型六、垂线段最短 【解惑】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 3．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ． 【答案】 / 垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的关键．根据直线外的点P到直线的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案． 【详解】解：∵于M， ∴搭建方式最短的是，理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 类型七、点到直线的距离 【解惑】如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：D 【融会贯通】 1．如图已知，于，则图中表示点到直线的距离的线段的条数是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：∵，即，， ∴图中表示点到直线的距离的线段有：表示点A到的距离是线段的长度； 表示点B到的距离是线段的长度； 表示点C到的距离是线段的长度； 表示点A到的距离是线段的长度； 表示点B到的距离是线段的长度． ∴图中表示点到直线的距离的线段的条数是5， 故选：B. 2．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 3．在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 类型八、求平行线间的距离 【解惑】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为． 【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，， ∴， ∴， 即a与c的距离为． 故选：B. 2．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 3．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 类型九、画垂线 【解惑】利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键． （1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求； （2）直接根据方格作图即可； （2）根据点到直线距离解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：，． 2．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 3．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3.2 【分析】（1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的矩形的对角线，那么依据平行线的判定定理即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线即可； （3）根据垂线段的长，可得点到直线的距离为． 【详解】（1）解：画线段，直线如图1所示； （2）垂线段如图2所示； （3）， 点到直线的距离为的长，即为3.2， 故答案为：3.2． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的概念，解题的关键是掌握线段、直线、垂线的定义． 类型十、用直尺、三角板画平行线 【解惑】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 【融会贯通】 1．如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 2．如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法． （1）用直尺和三角板作直线的平行线即可； （2）用三角板的直角作直线的垂线即可； （3）用三角板的直角作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 3．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【答案】(1)见解析 (2)C， (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查作图、平行线、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作． （2）解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． （3）解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【一览众山小】 1．下列图形中，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角，理解同位角的定义是正确判断的关键．根据同位角的定义进行判断即可． 【详解】解：由同位角的定义可知，选项C中的和不是同位角， 故选：C． 2．如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由题图可得和互为对顶角， 所以， 所以当增加时，也会增加． 故选B． 3．如图，直线a、b交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对角线的性质，正确理解对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，即得答案． 【详解】因为与是对顶角，所以． 故选C． 4．在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，运用数形结合思想是解题的关键． 在平面直角坐标系中，根据垂线段最短即可直接得出答案． 【详解】解：如图， 点，， 当直线时，最短， ， 故答案为：． 5．如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，作答即可． 【详解】解：过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 6．如图，直线相交于点 ，，垂足为 ，若 ，则 的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了垂线以及对顶角相等，直接利用垂线的定义结合对顶角相等得出 的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 7．直线，相交于点，平分，， ．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 先根据垂直定义求出，从而求出的度数，然后利用角平分线的定义求出，再根据对顶角即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 8．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是作垂线、平行线，解题关键是熟练掌握垂线和平行线的作法． （1）利用三角板过点作于点即可； （2）利用三角板和直尺过点作，交于点即可． 【详解】（1）解：利用三角板过点作于点，即为所求，如下图： （2）解： 利用三角板和直尺过点作，交于点，即为所求，如下图： 9．如图，为了引水灌溉，要从A点修一条水渠到农田，怎样修水渠最短？请画出来． 【答案】见详解 【分析】根据垂线段最短进行作答即可．本题考查了垂线段最短． 【详解】解：过点A作农田的边上，垂足为，如图所示： 10．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相交线和平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、对顶角的定义 【解惑】下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 2．若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 3．如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 类型二、垂线的定义 【解惑】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 2．如图，点为直线上一点，，当 时，． 3．已知，，，则的度数为 °． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】已知和是同旁内角，则（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【融会贯通】 1．如图，若两条直线a、b被直线c、d所截，则图中标号的角中共有内错角的对数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 3．如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    类型四、平面内两直线的位置关系 【解惑】在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【融会贯通】 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 2．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 3．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 类型五、平行公理的应用 【解惑】下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【融会贯通】 1．“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 2．如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 3．如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 类型六、垂线段最短 【解惑】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【融会贯通】 1．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 2．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 3．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ． 类型七、点到直线的距离 【解惑】如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图已知，于，则图中表示点到直线的距离的线段的条数是（ ）    A． B． C． D． 2．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 3．在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 类型八、求平行线间的距离 【解惑】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【融会贯通】 1．如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 2．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 3．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 类型九、画垂线 【解惑】利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【融会贯通】 1．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 2．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 3．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为________． 类型十、用直尺、三角板画平行线 【解惑】如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【融会贯通】 1．如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 2．如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 3．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【一览众山小】 1．下列图形中，和不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 3．如图，直线a、b交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为 ． 5．如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 6．如图，直线相交于点 ，，垂足为 ，若 ，则 的度数为 ． 7．直线，相交于点，平分，， ．若，求的度数． 8．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 9．如图，为了引水灌溉，要从A点修一条水渠到农田，怎样修水渠最短？请画出来． 10．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$