专题06 二次函数（考点清单，7个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题06 二次函数（考点清单，7个考点清单+6种题型解读） 【清单01】二次函数的概念 解析式形如的函数；它的定义域为一切实数； 【清单02】二次函数的图像与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 【清单03】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单04】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单05】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单06】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单07】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【考点题型一】二次函数的图象与性质（共6题） 1.（2023秋•金山区期末）抛物线的图象如图所示，下列判断中不正确的是　　 A． B． C． D． 2.（2023秋•青浦区期末）如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①：②；③；④当时，．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2023秋•静安区期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 　　． 4.（2022秋•嘉定区期末）抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 　 　． 5.（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）如果抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值． 6.（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． （1）当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； （2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【考点题型二】抛物线的平移、对称（共9题） 1．（2024秋•奉贤区期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•松江区校级月考）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是　　 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 3．（2023•奉贤区一模）已知抛物线，如果点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2023•杨浦区一模）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么　　． 5．（2023秋•黄浦区期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数、、的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：　　；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：　　． 6．（2024秋•宝山区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点．联结交对称轴于点，点为抛物线的顶点． （1）联结、，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点，，联结，求． （2）平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与轴交于点．若平分，且，求新抛物线的解析式． 7．（2023•奉贤区一模）已知抛物线，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位． （1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况； （2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线． 8．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结． ①如果，求四边形的面积； ②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标． 9．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系中，已知点坐标是，点在轴上，（如图所示），二次函数的图象经过点、、三点，顶点为． （1）求点与点的坐标； （2）求二次函数图象的对称轴与线段的交点的坐标； （3）二次函数的图象经过平移后，点落在原二次函数图象的对称轴上，点落在线段上，求图象平移后得到的二次函数解析式． 【考点题型三】用待定系数法求二次函数解析式（共7题） 1．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 　　． 2．（2023秋•静安区期中）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：　　． 3．（2023秋•宝山区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式； （2）如果点在该函数图象上，求的面积． 4．（2021秋•嘉定区期末）已知二次函数的图象经过点、、． （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标． 5．（2021秋•宝山区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，且经过． （1）求二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 6．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，、． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴与轴的交点为，点在该抛物线的对称轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，求点的坐标． 7．（2022秋•徐汇区校级期中）已知在平面直角三角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线第四象限的图象上求一点，的面积为10，求点的坐标． 【考点题型四】二次函数与其他函数的图象综合题（共3题） 1．（2020秋•虹口区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024•宝山区校级二模）如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为． （1）求，的值和抛物线对称轴； （2）当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； （3）是否存在点在抛物线上的情况？如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 3．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点题型五】二次函数的实际应用（共7题） 1．（2022秋•杨浦区期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为　　 第一次训练数据 水平距离 0 2 5 8 11 14 竖直高度 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 A． B． C． D． 2．（2023秋•静安区期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是　　 A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 3．（2023•松江区一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米关于水珠与喷头的水平距离（米的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 　　米． 4．（2022秋•黄浦区期末）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 　　．（不必写定义域） 5．（2022秋•静安区期末）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　　． 三．解答题（共2小题） 6．（2022秋•普陀区期中）在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点作轴，交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的表达式和点的坐标； （2）联结，如果点是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点的坐标． 7．（2024•浦东新区模拟） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 【考点题型六】二次函数与几何、代数的综合问题（共10题） 1．（2024•崇明区模拟）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上一动点，以为边作平行四边形，连接，若将平行四边形的面积分成为的两部分，求点的横坐标； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒，点在坐标平面内，使以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的值． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若点关于直线的对称点落在轴上，求点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出△的周长的最小值 　　． 3．（2024秋•普陀区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）求的值； （3）若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 4．（2024秋•静安区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； （2）设点的横坐标为， ①当为何值时，线段的长最大； ②连数，求的正弦值； （3）是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）新定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． （1）求：抛物线的“同轴对称抛物线”． （2）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：的值． ②在①的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数相交于点和点（其中在的左边），将抛物线的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点（其中在的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点、、，使得△、△、△的面积均为定值，请直接写出：、、的坐标． 6．（2024•上海模拟）以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立． （1）已知函数与函数相交于点、，求函数与的“相关函数” ； （2）已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数” 恒成立，求的取值范围； （3）已知以为自变量的函数与、、为常数且，，点、、是它们的“相关函数” 的图象上的三个点，且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 7．（2024•静安区校级模拟）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 8．（2024•上海模拟）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为（单位：．距地面的竖直高度为（单位：，获得数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）的值为 　　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 9．（2024•上海模拟）如图，直线交轴于点，交抛物线于点，抛物线经过点，交轴于点，点是抛物线上的动点，作交所在直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当△为等腰直角三角形时，求点坐标； （3）在（2）的条件下，连接，将△沿直线翻折，直接写出翻折后点的对称点坐标． 10．（2024•浦东新区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰△的顶点在轴上，，，抛物线过点． （1）用含的代数式表示顶点坐标； （2）若点关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标； （3）若将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数（考点清单，7个考点清单+6种题型解读） 【清单01】二次函数的概念 解析式形如的函数；它的定义域为一切实数； 【清单02】二次函数的图像与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 【清单03】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单04】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单05】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单06】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单07】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【考点题型一】二次函数的图象与性质（共6题） 1.（2023秋•金山区期末）抛物线的图象如图所示，下列判断中不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合时，函数值的正负即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， ，，， 当时，函数值大于零， 则． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 2.（2023秋•青浦区期末）如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①：②；③；④当时，．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， ，，， 则． 故①②正确． 因为函数图象经过点， 所以． 故③正确． 由函数图象可知， 抛物线与轴有两个不同的交点，且抛物线开口向下， 所以当的取值在两个交点横坐标之间的时候（不包括端点），函数值大于零． 故④错误． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 3.（2023秋•静安区期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 　　． 【分析】由于抛物线的顶点在轴负半轴上，那么根的判别式△（因为抛物线与轴只有一个交点），且抛物线的对称轴；联立上述两式可求得的值． 【解答】解：由题意得：， 解得， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，关键是掌握二次函数的性质． 4.（2022秋•嘉定区期末）抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 　 　． 【分析】结合对称轴和抛物线与轴的一个交点的坐标是即可解答． 【解答】解：抛物线的对称轴是直线， 交点到对称轴的距离是2， 根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2， 抛物线与轴的另一个交点的坐标是． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5.（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）如果抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值． 【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得的值；然后将所求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入，从而可以求得的值． 【解答】解：（1）把点代入，得． 解得． 则该抛物线解析式为：． 故该抛物线顶点坐标是， 对称轴为直线； （2）， 抛物线的顶点坐标是，， 抛物线的顶点在直线上， ． 解得：或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征．顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 6.（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． （1）当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； （2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）①抛物线经过，，，，且，， ，为对称点，对称轴为直线， ， ， 把代入得：， 解得， 该抛物线的表达式为； ②， 把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为， 新抛物线经过点， ， 解得（舍去）或； （2）当时，抛物线过原点， 且、、中有且仅有一个值大于0， 当抛物线对称轴在轴左侧时，且经过原点，即，此时，，如图： ，即当时，， ， 解得； 当抛物线对称轴在轴右侧时即，且经过原点，此时，， 若想、、中有且仅有一个值大于0，必然是，，如图： ， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 【考点题型二】抛物线的平移、对称（共9题） 1．（2024秋•奉贤区期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 横坐标为，纵坐标为， 所得抛物线的顶点坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 2．（2023秋•松江区校级月考）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是　　 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【分析】根据二次函数图象的平移规律作答即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 顶点由到需要向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可解答．将图象的平移转化成顶点的平移是解题的关键． 3．（2023•奉贤区一模）已知抛物线，如果点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【解答】解：的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 4．（2023•杨浦区一模）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么　2　． 【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标． 【解答】解：， 将抛物线沿轴向下平移2个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上， ， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键． 5．（2023秋•黄浦区期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数、、的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是：　关于原点对称　；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：　　． 【分析】依据题意，令，，，从而，画出图象即可判断得解；设任意一点坐标为，其关于原点的对称点在抛物线上，代入可得，结合点的任意性进行计算可以得解． 【解答】解：由题意，令，，， ，． 作图如下． 通过观察可以发现与的位置特征是关于原点对称． 设任意一点坐标为，其关于原点的对称点在抛物线上， ． ． 点在抛物线上． 点的任意性， 与的位置特征是关于原点对称． 故答案为：关于原点对称；答案见解析． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024秋•宝山区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点．联结交对称轴于点，点为抛物线的顶点． （1）联结、，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点，，联结，求． （2）平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与轴交于点．若平分，且，求新抛物线的解析式． 【分析】（1）①根据抛物线，可求出点，再得到，利用待定系数法即可求解； ②先求出点，，再求得的长，证明△△，得到，过点作 于点，作对称轴 于点，求得，即可求解； （2）先得到为中点，则，设，，由中点坐标公式求得，则新抛 物线解析式为：，令，则，求得，根据两点距离公式得，根效，即可示解． 【解答】解：（1）①令，则， ， ． 轴， ， 又， ， 点， 把点代入 中， 得：， ， 抛物线的解析式为：． ②令，则，解得：，， 点，， ． 如图1所示， 在△ 中，． ，， △△， ， 则． 过点作于点，则△ 为等腰直角三角形， ， ， ，对称轴为直线， ， 如图1，作垂直于直线于点， ， ． （2）如图2所示， 平分， ， 轴， ， ， 又， 为的中点， 对抛物线配方得：， 可得其顶点坐标为：， 设，，因为，由中点坐标公式得： ，， 故． 新抛物线解析式为： ， 令，则，则， 又，根据两点间距离公式有： ， 即， ， ，， ，解得：， 新抛物线解析式为： ． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，函数的平移，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，解直角三角形，中点坐标公式，两点间距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 7．（2023•奉贤区一模）已知抛物线，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位． （1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况； （2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线． 【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，再根据平移的性质“左加右减，上加下减”得到平移后的解析式，从而得出结论； （2）根据平移后解析式，找打顶点坐标，对称轴以及根据对称性求出，的对应值，用五点法画出函数图象． 【解答】解：（1）， 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位得新抛物线解析时为，即， 抛物线开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）抛物线的顶点为，对称轴为， 当或时，，当或时，， 用五点法画出函数图象，如图所示： 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是用平移的性质解题． 8．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结． ①如果，求四边形的面积； ②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①依据题意画出图形，利用，，的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点，坐标，再利用四边形的面积解答即可； ②依据题意画出图形，利用，，的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点坐标和线段，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段，则结论可求． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，经过点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）①， ． 设抛物线的对称轴交轴于点， ． 令，则， ， ． 令，则， 解得：或， ． 如果，需将抛物线向左平移，设交轴于点，平移后的抛物线对称轴交轴于点，如图， 点的坐标为， ． 由题意：， ， ． ， ， 由题意：， ， ． 轴，， 四边形为平行四边形， ， ． ， 四边形的面积； ②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，，如图， 当点在轴的下方时， 设平移后的抛物线的对称轴交轴于，由题意：． ， ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ； 当点在轴的上方时，此时为点， ， ， ， ，． 综上，当时，点的坐标为或，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 9．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系中，已知点坐标是，点在轴上，（如图所示），二次函数的图象经过点、、三点，顶点为． （1）求点与点的坐标； （2）求二次函数图象的对称轴与线段的交点的坐标； （3）二次函数的图象经过平移后，点落在原二次函数图象的对称轴上，点落在线段上，求图象平移后得到的二次函数解析式． 【分析】（1）设，由，可求，设二次函数解析式为，将代入可求函数的解析式，从而求点坐标； （2）求出直线解析式为，令得，求得，； （3）由点的变化可知点向右平移个单位，则，向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的点在线段上，从而求出平移后点坐标为，可得平移后的函数解析式为． 【解答】解：（1）设， 坐标是，， ， 解得， ， 设二次函数解析式为，将代入得： ， 解得， ， 顶点，； （2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线， 设直线解析式为，将，代入得： ， 解得， 直线解析式为， 令得， ，； （3）二次函数图象的对称轴是直线， 点向右平移个单位， ，也向右平移个单位后点的横坐标为3， 平移后的点在线段上， 平移后点坐标为， 平移后的函数解析式为． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解题的关键． 【考点题型三】用待定系数法求二次函数解析式（共7题） 1．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 　　． 【分析】先利用抛物线求出，，的坐标，再利用，以及勾股定理求出点的坐标，最后用待定系数法求出的表达式即可． 【解答】解：令， 解得，， ，， 当时，， ， 当时，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 抛物线， 将，代入， 得 解得， 抛物线的表达式是：． 故答案为：． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 2．（2023秋•静安区期中）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：　　． 【分析】从表格中找三组，的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可． 【解答】解：把，，，代入中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2023秋•宝山区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式； （2）如果点在该函数图象上，求的面积． 【分析】（1）把，两点坐标代入二次函数得关于，的二元一次方程组，解方程组求出，即可； （2）先令二次函数的函数值，列出关于的一元二次方程，从而求出抛物线与轴的交点坐标，再把代入二次函数得点坐标，最后根据的面积梯形的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）把点和代入二次函数得： ， 解得：， 该二次函数的表达式为：； （2）如图所示： 令，则， ， ，， ，， 二次函数与轴交点坐标为，， 把点代入得： ， 点， ，，， 的面积梯形的面积的面积 ． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式． 4．（2021秋•嘉定区期末）已知二次函数的图象经过点、、． （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标． 【分析】（1）把、、代入二次函数关系式，列出三元一次方程组进行计算即可； （2）利用配方法进行计算即可解答． 【解答】解：（1）把、、代入中 得： 解得：， 所以，这个二次函数的解析式是； （2） ， 所以，这个二次函数图象的顶点坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2021秋•宝山区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，且经过． （1）求二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式； （2）由于是向右平移，可让二次函数的的值为0，得到相应的两个值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可． 【解答】解：（1）二次函数图象的顶点为， 设二次函数解析式为， 把点代入二次函数解析式，得： ， 解得：， 二次函数解析式为，即； （2）令，得， 解方程得：，， 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 故平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 6．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，、． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴与轴的交点为，点在该抛物线的对称轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，求点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先利用求得抛物线对称轴，可得，设，则，由以点、、所组成的三角形与相似，，可得或，运用相似三角形性质即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线经过点，、， 设，将代入， 得：， 解得：， ； （2）， 抛物线的对称轴为直线， ， 设，则， ，， ，，， 以点、、所组成的三角形与相似，， 或， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 点的坐标为或或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 7．（2022秋•徐汇区校级期中）已知在平面直角三角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线第四象限的图象上求一点，的面积为10，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）设经过点直线解析式为，先求出直线与轴的交点为，，则，联立方程组，利用根与系数的关系得到，，则，求出的值再求点坐标即可． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，， ， 解得， 所求函数的解析式为； （2）设经过点直线解析式为， 直线与轴的交点为，， ， 联立方程组， 整理得，， ， ， ， 解得或， 或， 点在第四象限， ． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键． 【考点题型四】二次函数与其他函数的图象综合题（共3题） 1．（2020秋•虹口区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【解答】解：．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象相符，故选项正确． 故选：． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 2．（2024•宝山区校级二模）如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为． （1）求，的值和抛物线对称轴； （2）当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； （3）是否存在点在抛物线上的情况？如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再进行配方即可求解． （2）分情况讨论，点在轴上和点在轴上时两种情况求解． （3）作辅助线，待定系数法求出的解析式，再设出点、点、点，根据题意列出相关等式求解即可． 【解答】解：（1）抛物线过，两点， ， 解得． ，对称轴是直线． 答：的值是，的值是3，对称轴是直线． （2），， 是等腰直角三角形，． ①若点在轴上，则， ，即轴， 显然不成立，所以点不可能在轴上． ②当点在轴上时，，则， 点与点的纵坐标相同，都为3， 解方程， 得，， 点为． 综上所述，当点在坐标轴上时，点的坐标为． 答：当点在坐标轴上时，点的坐标为． （3）存在点在抛物线上的情况． 如图，作轴，交直线于点，连接，， 轴， ， ， 即，是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线为． 设点的横坐标为，， 则点的坐标为， 点和点的纵坐标相同，点和点的横坐标相同， ，， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， ， 解得或（不合题意，舍去）． ， 点的坐标为． 答：点的坐标为． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 3．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）因为抛物线经过、两点，所以可以假设，求出点坐标代入求出即可； （2）由，可得，根据关于关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当是矩形的边时，有两种情形；②当是对角线时． 【解答】解：（1）因为抛物线经过、两点， 所以可以假设， ，， ，代入抛物线的解析式得到， 或或． （2）如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于． ， ， ， 直线与轴交于点，则， 的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时． （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， 、如图2.1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到， 直线的解析式为，可得，，， 由可得， ， ， ， ，． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，，即， 、如图2.2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点， ，即． ②当是对角线时，设，则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点坐标为，或． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点题型五】二次函数的实际应用（共7题） 1．（2022秋•杨浦区期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为　　 第一次训练数据 水平距离 0 2 5 8 11 14 竖直高度 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 A． B． C． D． 【分析】根据表格中数据求出顶点坐标即可． 【解答】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ， 即该运动员竖直高度的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标． 2．（2023秋•静安区期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是　　 A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【解答】解：喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得： ， 解得， 抛物线解析式为：， 令，解得（负值舍去）， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 3．（2023•松江区一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米关于水珠与喷头的水平距离（米的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 　　米． 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【解答】解：， 当时，有最大值，最大值为， 水珠的最大离地高度是， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 4．（2022秋•黄浦区期末）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 　　．（不必写定义域） 【分析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把边用表示出来，再由矩形在等腰直角三角形内， 【解答】解：是等腰直角三角形，四边形是矩形， 和都是等腰直角三角形， 厘米，厘米， 厘米， 矩形的面积， 关于的函数关系式是． 故答案为：． 【点评】此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系． 5．（2022秋•静安区期末）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　　． 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可． 【解答】解：该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 6．（2022秋•普陀区期中）在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点作轴，交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的表达式和点的坐标； （2）联结，如果点是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点的坐标． 【分析】（1）根据抛物线的顶点是，可设抛物线的表达式为，，将点的坐标代入表达式，即可得出结论； （2）设，．过点作，垂足为点．所以，，根据题意可证明，所以，即，解之即可． 【解答】解：（1）由抛物线的顶点是， 可设抛物线的表达式为，， 抛物线经过点， ，得． 抛物线的表达式为． 轴，交抛物线的对称轴于点， ． （2）抛物线的一般式， 设，． 如图，连接，过点作，垂足为点，连接． ，， 在与中， ，， ， ， ，， ， 解得（舍或． ，． 【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键． 7．（2024•浦东新区模拟） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 【分析】（1）①根据材料二分析可选； ②，将，代入可求，，将，代入可求； （2），代入与34作比即可； （3）如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【解答】解：（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，选项合适； ②设，将，代入得：， 解得：， ， 设，将，代入得， 解得：， 故； （2）超速，理由： ， 当时， ， 超速； （3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ， 列式得， 解得， 故应限速． 【点评】本题考查一次函数与二次函数求解，判断是否超速可根据最高速度对应的制动距离与实际制动距离进行比较． 【考点题型六】二次函数与几何、代数的综合问题（共10题） 1．（2024•崇明区模拟）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上一动点，以为边作平行四边形，连接，若将平行四边形的面积分成为的两部分，求点的横坐标； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒，点在坐标平面内，使以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接，设与的交点为，作于点，则，设点，点，证明，求出，可得，求出直线的解析式，联立方程组，即可求点的横坐标； （3）分两种情况讨论：①当时，，，，再由菱形的边的性质分三种情况求解：当时，或（舍；当时，（舍；当时，（舍或（舍；②当时，，，，再由菱形的边的性质分三种情况求解：当，；当时，（舍或（舍；当时，（舍或． 【解答】解：（1）将，代入， 得， 解得， ； （2）连接，设与的交点为，作于点，则， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设点，点， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 点在第一象限， ， 点的横坐标为； （3），， ，， ， ①当时，，，， 四边形是菱形， 当时，， 解得或（舍； 当时，， 解得（舍； 当时，， 解得（舍或（舍； ②当时，，，， 四边形是菱形， 当，， ； 当时，， 解得（舍或（舍； 当时，， 解得（舍或； 综上所述：的值为或3.5或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解的关键． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若点关于直线的对称点落在轴上，求点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线，若平移后的抛物线与直线交于、两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出△的周长的最小值 　　． 【分析】（1）求出，点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，，最后利用两点间的距离公式求解即可； ②作，连接，，先求出的最小值，即的长，最后根据△的周长的最小值，即，得解． 【解答】解：（1）在中，令，得，令，得， ，； 抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，将，点坐标代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）如图， ， ， 点关于的对称点在轴上， ， 轴， 点的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ； （3）①设平移后的抛物线的顶点为， 平移后的抛物线的解析式为：， 令， 整理得， 设，，，， ，， ， 的长度为； ②如图，作，并令，连接，，由题可知，，，，则只需要求的最小值即可． ，， 即的最小值，即的长， ， ， △的周长的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键． 3．（2024秋•普陀区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）求的值； （3）若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得△各边的长，证明△是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，将点，点的坐标代入得： ． 解得， 故，． 抛物线的表达式为； （2）， 顶点坐标为， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ，，， ， ， △是直角三角形，且， ； （3）存在点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似；理由如下： 令，则， 解得或， ， ，点，， ，，， ， 当时， ， △△， ， ， 解得， 过点作轴于点，如图1， 则， ， ； 当时， ， △△， ， ， 解得； 过点作轴于点，如图2， 则， ， ； 综上所述，存在点使得、、为顶点的三角形与△相似，且或． 【点评】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 4．（2024秋•静安区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； （2）设点的横坐标为， ①当为何值时，线段的长最大； ②连数，求的正弦值； （3）是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）①利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ②根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定△为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知△是直角三角形，且，，．分两种情况（Ⅰ）△△，则；（Ⅱ）△△，则，分别求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ， 解得， 抛物线所对应的函数关系式， 抛物线的顶点为； （2）①抛物线与轴交点坐标为，． 设直线的函数关系式为， 则， 解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ， ，且， 当时，线段的长最大值为； ②，，， 则，，， ， △为直角三角形，如图1， ； （3）存在点，使得以点，、为顶点的三角形与△相似；理由如下： 由（2）知△是直角三角形，且，，． （Ⅰ）如图2，若△△，则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ． （Ⅱ）如图3，若△△， 则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ． 故符合条件的点的坐标为或． 【点评】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）新定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． （1）求：抛物线的“同轴对称抛物线”． （2）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：的值． ②在①的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数相交于点和点（其中在的左边），将抛物线的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点（其中在的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点、、，使得△、△、△的面积均为定值，请直接写出：、、的坐标． 【分析】（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得△，△，△的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【解答】解：（1）， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②，或，或，；理由如下： 由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，故点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得△，△，△的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则△， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点，； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点的坐标为：，或，． 综上，点（即，，的坐标为：，或，或，． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题． 6．（2024•上海模拟）以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立． （1）已知函数与函数相交于点、，求函数与的“相关函数” ； （2）已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数” 恒成立，求的取值范围； （3）已知以为自变量的函数与、、为常数且，，点、、是它们的“相关函数” 的图象上的三个点，且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求得，进而得到； （2）首先推导出相关函数，进而得到当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数” 恒成立，恒成立，当 时，，当时，恒成立，所以； （3）函数与，推导出，进一步解得，，从而得到，由，推导了出，得到且，最后求得函数的图象截轴得到的线段长度为：，进而得到且． 【解答】解：（1）已知函数与函数相交于点、，代入得： ， 解得， 函数， ； （2）函数与， 相关函数， 当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数” 恒成立， 恒成立， 当 时，， 当时，恒成立，所以； （3）函数与， ， 将点，，代入解析式得： ， ，， ， ， ， 解不等式得：且， 令，则且， 设函数与轴交于，，，， 是方程的两根， 函数的图象截轴得到的线段长度为：， 且， 且，即且， 函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1． 【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“相关函数“的定义． 7．（2024•静安区校级模拟）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形三种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）把点代入解析式， 得， 解得， 二次函数的解析式为， 令，则， 解得或， ； （2）当时，， ， 二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 如图1，当四边形是平行四边形时， ，，，， ，点的横坐标为1， 向右平移1个单位得点， ， 即； 如图2，当四边形是平行四边形时， ，，，， ，点的横坐标为1， 向左平移1个单位得点， ， 即； 如图3，当四边形是平行四边形时， ，，，， ，点的横坐标为1， 向右平移2个单位再向下平移得点， 向右平移2个单位再向下平移也得点， ， 即； 综上所述，或或． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线的对称轴，平行四边形的性质及平移的性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用平移的性质，分类确定点的位置是解题的关键． 8．（2024•上海模拟）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为（单位：．距地面的竖直高度为（单位：，获得数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）的值为 　21.5　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【解答】解：（1）这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线， 与时的函数值相等， 当时，， 当时，． 故答案为：21.5； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如图： ； （3）设二次函数的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时， ， 士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）由（3）可知：二次函数的解析式为， 圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移．根据函数图象获取信息解题的关键． 9．（2024•上海模拟）如图，直线交轴于点，交抛物线于点，抛物线经过点，交轴于点，点是抛物线上的动点，作交所在直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当△为等腰直角三角形时，求点坐标； （3）在（2）的条件下，连接，将△沿直线翻折，直接写出翻折后点的对称点坐标． 【分析】（1）把，代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【解答】解：（1）把，代入得： ， ， 抛物线的解析式为； （2）设， 在中，当时，， ， ， 轴， ， ， 或， △为等腰直角三角形，且， ， 或， 解得：，，（不合题意，舍去）， 或1， 或； （3）①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 在△中，，， 解得：， ， 在△中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 在△中，，， 解得：， ， 在△中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ， 综上所述，的对称点坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．（2024•浦东新区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰△的顶点在轴上，，，抛物线过点． （1）用含的代数式表示顶点坐标； （2）若点关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标； （3）若将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 【分析】（1）配方得到，即得顶点； （2）过点作轴于，根据可求得点的坐标，根据三角函数的定义可得，得到，得到的中点坐标，得到点关于中点的中心对称点的坐标，代入抛物线的解析式求出的值即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作于，根据勾股定理和旋转的性质得：，证△是等腰直角三角形，得到，证△△，得到，，根据，，得到，得到，代入，解得．即得． 【解答】解：（1）， 顶点； （2）如图1，过点作轴于， 当时，， ， ， ， ， ， ， 的中点坐标为， 点关于中点的中心对称点的坐标为， 该点也恰好在抛物线上， ， 解得， ，， 故顶点； （3）如图2，过点作于，过作轴于，过点作于， 由（1）得：， 由旋转的性质可得：，， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ，， △△， ，， ， ， ， ，， ， ， 该点也恰好在抛物线上， ， 解得． 故． 【点评】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称性质，旋转性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$