专题03 分式的加减【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题03 分式的加减法 考点类型 知识串讲 （一）分式加减法法则 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 （二）整数指数幂运算 ★ ★ ★ ★（） ★ ★（） ★（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。 （三）科学计数法表示小于1的正数 有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数) 注意： ①1≤︱a︱＜10 ②n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0） 考点训练 考点1：同分母分式加减法 典例1：计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法法则，根据分式的加法法则相加，再约分即可； 【详解】解： ； 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简． 【详解】解： 【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则． 【变式2】计算： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）1． 【分析】利用同分母分式的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不 变，把分子相加减． 【变式3】计算： （1）； （2）. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）分母不变，分子相加，再化简即可； （2）先根据除以一个数等于乘以这个数的倒数对变形成×，化简后再计算； 【详解】解：（1）原式= = =2； （2）原式= × = =． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，进行正确的计算是解题的关键． 考点2：异分母分式加减法 典例2：计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据同分母分式的减法计算即可； （2）根据异分母分式的加法计算即可； （3）先通分，再计算即可 【详解】（1）解： （2）解：         （3）解：                          【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘法，再运算加法，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键. （1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解； （2）通分并利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． （1）根据同分母减法运算法则进行计算即可； （2）根据异分母减法运算法则进行计算即可； （3）根据异分母加法运算法则进行计算即可； （4）异分母减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点3：分式加减乘除混合运算 典例3：计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先把括号内的分式进行通分，再算括号里面的，再算除法即可； （2）先把括号内的分式进行通分，再算括号里面的，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的加法法则即可求出答案． （2）根据分式的除法法则即可求出答案． （3）根据分式的运算法则即可求出答案． （4）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）按照分式乘法即可求解； （2）先进行通分，再化简即可； （3）先分解因式，再约分，最后通分化简即可； （4）先对括号里的进行通分，再把除法运算化为乘法运算，因式分解后约分即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先进行乘方运算和把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先通分，把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 考点4：用科学计数法表示除法 典例4：某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C 【变式1】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【答案】B 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7． 故选：B 【点睛】本题考查整式的除法． 【变式2】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【答案】 【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 【变式3】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是 （用科学记数法表示，保留2位有效数字） 【答案】7.1×10-7 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7． 故答案是：7.1×10-7． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键． 考点5：负指数幂运算 典例5：下列运算中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了零指数幂、积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意． 故选D． 【变式1】下列计算①；②；③ ；④正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了零指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．按照零指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂和乘法、幂的乘方、积的乘方进行运算后即可作出判断． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； 综上所述，正确的有③，共1个， 故选：A． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 【变式3】若，， ， ，则a，b，c，d的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，涉及负整数指数幂、零指数幂的计算，在解题时要把各个数解出来再进行比较是本题的关键．先计算出每个数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 考点6：整数指数幂运算 典例6：下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方公式，同底数幂的乘法，整数指数幂的运算，积的乘方运算，根据以上知识逐一分析判断即可； 【详解】解：A. ，故错误；     B. ，故错误； C. ，故错误；     D. ，故正确． 故选：D． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数没的运算，积的乘方运算，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】对于实数a，b，定义运算：a▲b=如：2▲3=，4▲2=．按照此定义的运算方式计算[（-）▲2019]× [2020▲4]= ． 【答案】-4 【分析】根据题中的新定义进行计算即可． 【详解】根据题意可得，原式=， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了整数指数幂，掌握运算法则是解题关键． 【变式3】计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】按照整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，逐项计算即可. 【详解】原式= = = = =-9 故答案为-9. 【点睛】此题主要考查幂的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题. 考点7：分式化简求值 典例7：先化简，再求值： ，其中x的值从不等式组的整数解中选取． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值及解不等式组的综合应用，解题的关键是掌握相应的运算法则并能根据原代数式排除． 根据分式的混合运算法则化简，再解不等式组求出的取值范围，取适当的整数值代入即可计算． 【详解】解：原式 ， 解不等式组得， ， ， 代入中得原式． 【变式1】化简求值： (1)，其中，； (2)其中a，2，3为三角形的三边长，且a为整数． 【答案】(1)，19 (2)， 【分析】（1）去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． （2）先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，运用去括号，合并同类项，因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， ∵a，2，3为三角形的三边长，且a为整数， 故，且 ∵， ∴， 当时， 原式． 【变式2】（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】本题考查了分式减法运算和分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算，代入数值后正确求值． （1）根据分式减法运算法则计算即可； （2）先按照分式运算法则进行化简，再选取数轴代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当取和时，分式无意义，故选； 把代入，原式． 【变式3】化简、下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式… 解：原式… (1)甲同学解法的依据是__________，乙同学解法的依据是__________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)②；③ (2)选择甲，见解析；，4． 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）解：若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； ∵，，， ∴，，， ∴当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式的加减法 考点类型 知识串讲 （一）分式加减法法则 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 （二）整数指数幂运算 ★ ★ ★ ★（） ★ ★（） ★（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。 （三）科学计数法表示小于1的正数 有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数) 注意： ①1≤︱a︱＜10 ②n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0） 考点训练 考点1：同分母分式加减法 典例1：计算：； 【变式1】化简：． 【变式2】计算： （1）；（2）；（3）． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不 【变式3】计算： （1）； （2）. 考点2：异分母分式加减法 典例2：计算： (1) (2) (3) 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算 (1) (2) 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 考点3：分式加减乘除混合运算 典例3：计算： (1)； (2) 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 考点4：用科学计数法表示除法 典例4：某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【变式1】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【变式2】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【变式3】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是 （用科学记数法表示，保留2位有效数字） 考点5：负指数幂运算 典例5：下列运算中正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算①；②；③ ；④正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】计算： ． 【变式3】若，， ， ，则a，b，c，d的大小关系是 ．（用“”连接） 考点6：整数指数幂运算 典例6：下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】对于实数a，b，定义运算：a▲b=如：2▲3=，4▲2=．按照此定义的运算方式计算[（-）▲2019]× [2020▲4]= ． 【变式3】计算：的结果为 ． 考点7：分式化简求值 典例7：先化简，再求值： ，其中x的值从不等式组的整数解中选取． 【变式1】化简求值： (1)，其中，； (2)其中a，2，3为三角形的三边长，且a为整数． 【变式2】（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． 【变式3】化简、下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式… 解：原式… (1)甲同学解法的依据是__________，乙同学解法的依据是__________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 学科网（北京）股份有限公司 $$