清单08 抛物线及其性质（考点清单，知识导图+2个考点清单+7题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单08 抛物线及其性质（2个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 【清单02】抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点题型一：抛物线的定义与方程 【典例1-1】（2024·高二·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2024·高二·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点题型二：抛物线的轨迹方程 【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【变式2-3】（2024·高二·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . 【变式2-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程. 考点题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【典例3-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【变式3-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 【变式3-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【变式3-3】（2024·高二·黑龙江·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 【变式3-4】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 考点题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4-1】（2024·高二·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 . 【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【变式4-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【变式4-3】（2024·高二·广东广州·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点题型五：焦半径问题 【典例5-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（2024·高二·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高二·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【变式5-4】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 考点题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（多选题）（2024·高二·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【典例6-2】（多选题）（2024·高二·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【变式6-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【变式6-2】（多选题）（2024·高二·安徽滁州·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 【变式6-3】（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期中）已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若，则 D．弦的长度 考点题型七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·北京·期中）已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上． （I）求抛物线C的方程； （II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【典例7-2】（2024·高二·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【变式7-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【变式7-2】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【变式7-3】（2024·高二·江西·期中）已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1. (1)试确定的值； (2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 抛物线及其性质（2个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 【清单02】抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点题型一：抛物线的定义与方程 【典例1-1】（2024·高二·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【解析】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线. 故选：C. 【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 【变式1-2】（2024·高二·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得. 该抛物线的标准方程是. 故选：D. 【变式1-4】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 考点题型二：抛物线的轨迹方程 【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 【典例2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【变式2-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设PQ的中点为， 则，解得， 即，又点P在曲线上， 所以，即， 所以PQ的中点的轨迹方程为. 故选：A 【变式2-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 【变式2-3】（2024·高二·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，点P和定点连线的中点坐标为， 则,又，∴， 代入得，， ∴，即点和定点连线的中点的轨迹方程是， 故答案为∶． 【变式2-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程. 【解析】OA的方程为：， 设，所以， 可得，F在线段OC上， 所以，,得，整理得 F的轨迹方程为：. 考点题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 【典例3-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为． 设d为点M到C的准线的距离，则． 又，所以周长的最小值为． 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】由题意可知抛物线的焦点为，准线为， 因为点是抛物线上一动点，设，， 则由两点间距离公式可得表示， 又根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 即， 当且仅当三点共线时，最小， 即最小值为点到准线的距离， 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3-3】（2024·高二·黑龙江·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 设，已知，， 则， 化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 抛物线E：的焦点，准线方程为， ， 当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3-4】（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 考点题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例4-1】（2024·高二·贵州遵义·期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：， 过A做， 由， ，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正， ∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为， 联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：， 由韦达定理可知：，则， 而原点到直线AB的距离为， 则三角形AOB的面积， 故答案为：． 【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【解析】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线E的方程为. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点， 则，故， 因为的准线为，所以，， 所以，解得， 故抛物线C的方程为. 故选：B. 【变式4-2】（2024·高二·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【解析】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 【变式4-3】（2024·高二·广东广州·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设点的坐标分别为，而抛物线的焦点，， ，由，得， 于是， 所以. 故选：A 考点题型五：焦半径问题 【典例5-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由焦半径公式可得，解得， 故抛物线， 故， 当时，， 直线的斜率为， 当时，， 直线的斜率为， 综上，直线的斜率为. 故选：D 【典例5-2】（2024·高二·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点、， 因为，即，可得，解得，即点， 由抛物线的焦半径公式可得. 故选：A. 【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由焦半径公式可知，，得. 故选：A 【变式5-2】（2024·高二·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 【变式5-3】（2024·高二·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式5-4】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点到原点的距离为， 所以，解得，（负值舍）， 将点代入抛物线方程，得，所以， 所以. 由于抛物线关于轴对称，不妨设， 因为，， 所以为等腰三角形，， 所以， 所以， 解得或(舍)， 所以. 故选：D. 考点题型六：抛物线的性质 【典例6-1】（多选题）（2024·高二·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【典例6-2】（多选题）（2024·高二·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【解析】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 【变式6-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【解析】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 【变式6-2】（多选题）（2024·高二·安徽滁州·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 【答案】BD 【解析】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 【变式6-3】（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期中）已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若，则 D．弦的长度 【答案】CD 【解析】由可得，故，所以焦点为，A错误， 准线的方程为，B错误， 根据焦半径公式可得若，则，C正确， 设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得， 设,，,，则，，则 故， 故当时，此时弦最短长度为1，即，故D正确， 故选：CD 考点题型七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·北京·期中）已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上． （I）求抛物线C的方程； （II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【解析】（I）根据焦点坐标得到的值，从而得到抛物线的方程. （II）因为只有一个公共点，故联立后的方程只有一个实数根，可根据二次项的系数去讨论. 解析：（I）直线与的交点为，它是抛物线的焦点，故，，所以. （II）设直线必定存在，设其方程为 ，联立，则有，化简得到. 若，则直线，它与抛物线有一个公共点； 若，则，整理得到，或，所以直线或 . 【典例7-2】（2024·高二·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【解析】（1）因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 【变式7-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【解析】（1）因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得， 所以抛物线的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：， 当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为， 当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为， 当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为， 所以直线方程为为或或. 【变式7-2】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 【变式7-3】（2024·高二·江西·期中）已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1. (1)试确定的值； (2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是，求的取值范围. 【解析】（1）设，则， 由，得， 则，所以，解得. （2）由（1）知抛物线，准线方程为， 因为抛物线C的准线与椭圆的一个交点是， 所以，代入椭圆方程， 得，解得，所以椭圆方程为. 又直线l与椭圆有公共点，由， 得，， 解得，即实数m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$