清单06 椭圆及其性质（考点清单，知识导图+2个考点清单+9题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单06 椭圆及其性质（2个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 【清单02】椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 考点题型1：椭圆的定义与标准方程 【典例1-1】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 【典例1-2】（2024·高二·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【解析】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 【变式1-2】（2024·高二·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为可知， 则，即为椭圆的左、右焦点， 由椭圆定义可得. 故选：C 【变式1-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【解析】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 【变式1-4】（2024·高二·河南·阶段练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设可知，椭圆C的焦点为， 椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为， 故， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C 考点题型2：椭圆方程的充要条件 【典例2-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，解得或 故选：D 【典例2-2】（2024·高二·天津·期中）方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 【变式2-1】（2024·高二·新疆·期中）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式2-2】（2024·高二·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得. 故选：C 【变式2-3】（2024·高二·山东菏泽·期中）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由方程表示椭圆，可得，解得且， 显然且是的真子集， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 考点题型3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例3-1】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【解析】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高二·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】D 【解析】设直线与相交于， 由题意，此时为等边三角形， 所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线， 所以. 因此，的周长等于 .故的周长为. 故选：D 【变式3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 【变式3-2】（2024·高二·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【解析】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【变式3-3】（2024·高二·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 【变式3-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 故选：B. 考点题型4：椭圆上两点距离的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【变式4-1】（2024·高二·河北邯郸·期中）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【解析】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为. 故答案为： 【变式4-2】（2024·高二·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【答案】 【解析】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】设， ， ， ， 当时，取得最大值， 故答案为： 考点题型5：椭圆上两线段的和差最值问题 【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】 如图，设椭圆的右焦点为,连接, 因，则， 由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值, 因，，故此时取得最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】椭圆的长轴长，焦距，则点为左焦点， 设右焦点为， 又在椭圆内，， 于是，， 当且仅当点是射线与椭圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【解析】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10 【变式5-3】（2024·高二·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，， 所以， 又由三角形的性质可知，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以， 故答案为： 【变式5-4】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 考点题型6：离心率的值及取值范围 【典例6-1】（2024·高二·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 【典例6-2】（2024·高二·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【变式6-1】（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式6-3】（2024·高二·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 考点题型7：椭圆的简单几何性质问题 【典例7-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【答案】BCD 【解析】由椭圆方程可知，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ∴， 解得，所以的面积为，故C正确； ∵， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴最小值为，故D正确． 故选：BCD． 【典例7-2】（多选题）（2024·高二·重庆渝中·期中）椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】ACD 【解析】由题意：为面积是的正三角形， 故且，故； 的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 【变式7-1】（多选题）（2024·高二·江苏泰州·期中）设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距， 由是椭圆上的点，得，而， 对于A，，，A正确； 对于B，离心率为，B正确； 对于C，，得为直角三角形，， ，C错误； 对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确. 故选：ABD 【变式7-2】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC. 【变式7-3】（多选题）（2024·高二·浙江温州·期中）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是9 B．椭圆焦距是 C．存在使得 D．三角形的面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】， 所以， 对于A：因为，所以长轴为，A错误； 对于B：因为，所以焦距为，B正确； 对于C：当取到上顶点时此时取到最大值， 此时，， 所以，所以此时为钝角， 所以存在使得，C正确； 对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值， 此时，D正确， 故选：BCD 考点题型8：利用第一定义求解轨迹 【典例8-1】（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 内含 【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径， 所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， ， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又， 所以的轨迹方程为. 故答案为：内含；. 【典例8-2】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式8-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ． 【答案】 【解析】设，则，，， 所以，即，整理得， 所以点的轨迹方程为，. 故答案为：，. 【变式8-2】（2024·高二·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设动圆的圆心，半径为， 又由圆得，圆心，半径， 由圆得，圆心，半径， 由已知得，两式相加消去可得， 根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为 其中， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高二·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 【变式8-4】（2024·高二·湖北·期中）设圆：，为圆内一点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，作图如下所示： 由题可知：，且，故， 故点的轨迹是椭圆，设其方程为， 故，，，故，故其方程为：. 故答案为：. 【变式8-5】（2024·高二·河北石家庄·期中）平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 考点题型9：直线与椭圆的位置关系 【典例9-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【解析】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 【典例9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 【变式9-1】（2024·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【解析】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 【变式9-2】（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【解析】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 【变式9-3】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知椭圆及直线． (1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； (2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 【解析】（1）联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆没有公共点，所以， 解得或，所以实数t的取值范围为. （2）由题意，点到直线距离的最大值， 等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离， 由（1）中，，解得或， 此时直线或直线与椭圆相切， 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）； 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）， 综上可得，所求直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 椭圆及其性质（2个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 【清单02】椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 考点题型1：椭圆的定义与标准方程 【典例1-1】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【典例1-2】（2024·高二·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式1-2】（2024·高二·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【变式1-4】（2024·高二·河南·阶段练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 考点题型2：椭圆方程的充要条件 【典例2-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·天津·期中）方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 【变式2-1】（2024·高二·新疆·期中）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2024·高二·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·山东菏泽·期中）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 考点题型3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例3-1】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【典例3-2】（2024·高二·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（   ） A．6 B． C． D．8 【变式3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【变式3-2】（2024·高二·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【变式3-3】（2024·高二·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点题型4：椭圆上两点距离的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·河北邯郸·期中）过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 【变式4-2】（2024·高二·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 考点题型5：椭圆上两线段的和差最值问题 【典例5-1】（2024·高二·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【典例5-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【变式5-1】（2024·高二·安徽六安·期中）已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【变式5-3】（2024·高二·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【变式5-4】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 考点题型6：离心率的值及取值范围 【典例6-1】（2024·高二·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高二·浙江温州·期中）已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点题型7：椭圆的简单几何性质问题 【典例7-1】（多选题）（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【典例7-2】（多选题）（2024·高二·重庆渝中·期中）椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【变式7-1】（多选题）（2024·高二·江苏泰州·期中）设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的外接圆面积为 【变式7-2】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【变式7-3】（多选题）（2024·高二·浙江温州·期中）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是9 B．椭圆焦距是 C．存在使得 D．三角形的面积的最大值是 考点题型8：利用第一定义求解轨迹 【典例8-1】（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【典例8-2】（2024·高二·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【变式8-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ． 【变式8-2】（2024·高二·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【变式8-3】（2024·高二·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为 . 【变式8-4】（2024·高二·湖北·期中）设圆：，为圆内一点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 . 【变式8-5】（2024·高二·河北石家庄·期中）平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 考点题型9：直线与椭圆的位置关系 【典例9-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【典例9-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【变式9-1】（2024·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【变式9-2】（2024·高二·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【变式9-3】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知椭圆及直线． (1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； (2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$