清单05 圆中的范围与最值问题（考点清单，知识导图+1个考点清单+8题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单05 圆中的范围与最值问题（1个考点梳理+8题型解读+变式训练） 【清单01】圆中的范围与最值问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程 （4）代数角度转化成函数值域问题 考点题型1：斜率型 【典例1-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 【典例1-2】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】可化为， 表示圆心为，半径为的圆. 表示圆上的点与点连线的斜率. 设过且与圆相切的直线为，即， 所以，化简可得，解得或， 由图可得的最大值为. 故选:A. 【变式1-1】（2024·高二·甘肃酒泉·期中）圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】设，则， 联立，消元得， 由，解得， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式1-2】（2024·江苏无锡·高二统考期中）已知点在圆上运动，则范围是 ． 【答案】 【解析】如图所示，设，可得，即， 把看作点与点连线的斜率，当连线与圆相切时斜率取得最值， 由，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】（2024·四川成都·高二校联考阶段练习）已知点在曲线上运动，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆， 如图， 在上半圆上，表示点与连线的斜率， 由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大， 设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即， 因此，解得（由图舍去）， 所以的最大值为. 故答案为： 考点题型2：直线型 【典例2-1】（2024·四川·广安二中高二阶段练习）若满足关系式，则的最大值为_________； 【答案】4 【解析】设，由得（*）， 所以，解得． 时，由（*）得，代入得，满足， 所以的最大值是4． 故答案为：4． 【典例2-2】（2024·高二·陕西·期中）已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最大值是为. 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 设， 则， 故当时，， 故选：C 【变式2-2】（2024·高二·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 考点题型3：距离型 【典例3-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最小值为. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】49 【解析】由，得， 则方程表示以为圆心，以为半径的圆， 表示圆上的点与原点之间距离的平方， 设点与原点之间距离为， 则， 所以的最大值为49. 故答案为：49. 【变式3-1】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】设弦的中点为，则 因点在圆上，则，， 于是 ，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 设， 则可将其理解为点到直线的距离的5倍， 设， 可将其理解为点到直线的距离的5倍, 故要求的最小值，可先求的最小值. 如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点， 过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点， 在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点， 分别过点作于点，作于点 过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点. 则,易得, ， 下面说明图中的即的最小值，最小值为， 此时的最小值为5，即的最小值为5. 理由：因，而, 故，即为的最小值. 故答案为：5. 【变式3-2】（2024·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 故圆心， 由题意得在上，代入得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故答案为： 【变式3-3】（2024·高二·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 【变式3-4】（2024·高二·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A 【变式3-5】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【解析】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 考点题型4：周长面积型 【典例4-1】（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆C的方程为， 所以圆C的半径为， 所以圆C的最小周长为. 故选：D. 【典例4-2】（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，且， 由，得， 化简得的轨迹方程为圆，半径， 如下图，有． 故选：A 【变式4-1】（2024·高二·湖北黄冈·期中）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】B 【解析】 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以， 所以点为以为直径的圆上的点， ，中点为， 则点的轨迹方程为， ， 所以当点到直线的距离最大时，的面积最大， ，直线的方程，即， 设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为， 则， 所以的面积最大值为. 故选：B. 【变式4-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离， 所以， 要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为， 所以面积的最大值是. 故选：A 【变式4-3】（2024·河北邯郸·高二校联考期中）已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值. 又，所以. 故选:B. 考点题型5：长度型 【典例5-1】（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，即， 令，得， 故直线恒过定点， 由圆可知圆心，半径为5， 又因为，故点在圆内， 当时，取得最小， 因为 所以. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】圆 ，即， 则圆心，半径，由点， 则， 即点在圆外，则. 故选：C. 【变式5-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 整理可得：， 点轨迹是以为圆心，半径的圆， ， 当时，， . 故选：B. 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方， 易知圆心，半径，点C到直线的距离， 则，所以. 故答案为： 考点题型6：坐标型 【典例6-1】（2024·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由圆，可得， 所以圆心，半径， 设，由题意知圆心到直线的距离， 即，解得， 故点的横坐标的最大值为4. 故选：D． 【典例6-2】（2024·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而， 得． 故选：B 【变式6-1】（2024·吉林·东北师大附中高二阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】以MP为一边作正方形MPSQ. 若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2. 故选：C 考点题型7：阿氏圆距离最值型 【典例7-1】（2024·高二·广东惠州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ， 直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O，Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ∴. 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 直线过定点， 且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 故圆心是，半径为则点的方程是 令，因为， 所以， 则 所以，可得点 则. 【变式7-1】（2024·高二·山东枣庄·期中）已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故选：C 【变式7-2】（2024·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【变式7-3】（2024·高二·江西·阶段练习）已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 考点题型8：角度型 【典例8-1】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 【典例8-2】（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大. 圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为. 所以，的最大值为. 故选：D 【变式8-1】（2024·高二·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故， 故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 【变式8-2】（2024·高二·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为， 所以以为弦的圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径， 又，所以，解得或， 当时，是钝角，故舍去. 所以此时圆的方程为. 故选：C 【变式8-3】（2024·高二·广西南宁·期末）已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线：变形为， 令和，解得， 所以直线恒过定点，点在圆内部，当垂直于时，最短， 此时所以, 由于，故时 ，此时最大，且最大值为 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 圆中的范围与最值问题（1个考点梳理+8题型解读+变式训练） 【清单01】圆中的范围与最值问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程 （4）代数角度转化成函数值域问题 考点题型1：斜率型 【典例1-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 【典例1-2】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【变式1-1】（2024·高二·甘肃酒泉·期中）圆C：，为圆C上任意一点，则的最大值为 ． 【变式1-2】（2024·江苏无锡·高二统考期中）已知点在圆上运动，则范围是 ． 【变式1-3】（2024·四川成都·高二校联考阶段练习）已知点在曲线上运动，则的最大值为 ． 考点题型2：直线型 【典例2-1】（2024·四川·广安二中高二阶段练习）若满足关系式，则的最大值为_________； 【典例2-2】（2024·高二·陕西·期中）已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 【变式2-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 考点题型3：距离型 【典例3-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为 . 【典例3-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）已知实数满足，则的最大值为 . 【变式3-1】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为 ． 【变式3-2】（2024·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为 ． 【变式3-3】（2024·高二·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-4】（2024·高二·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【变式3-5】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 考点题型4：周长面积型 【典例4-1】（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【变式4-1】（2024·高二·湖北黄冈·期中）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【变式4-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·河北邯郸·高二校联考期中）已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点题型5：长度型 【典例5-1】（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为 ． 【典例5-2】（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式5-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，，则的最小值为 . 考点题型6：坐标型 【典例6-1】（2024·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【典例6-2】（2024·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式6-1】（2024·吉林·东北师大附中高二阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 考点题型7：阿氏圆距离最值型 【典例7-1】（2024·高二·广东惠州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·山东枣庄·期中）已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式7-2】（2024·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-3】（2024·高二·江西·阶段练习）已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点题型8：角度型 【典例8-1】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式8-1】（2024·高二·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·广西·阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高二·广西南宁·期末）已知圆：，直线：，直线与圆交于、，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 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