清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（考点清单，知识导图+2个考点清单+11题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（2个考点梳理+11题型解读+变式训练） 【清单01】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 3、圆的切线方程的求法 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 4、求直线被圆截得的弦长的方法 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 【清单02】圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 5、圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 考点题型1：直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高二·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【解析】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 【变式1-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 【答案】A 【解析】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 考点题型2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 【典例2-2】（2024·高二·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率. （i）若，求面积的最大值； （ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得： 解得：， 所以圆的标准方程为 （2）（2）（i）因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ii）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为， 由，消去得：， ，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即， 解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），. 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 【变式2-1】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【解析】（1）设的方程为. 因为.过、两点，且圆心M在直线上. 所以  解得：，，， 所以的标准方程为：. （2）设，， 联立立得， 由题意得：，即， 由根与系数关系得：，， 所以 ， 解得， 又因为满足， 故所求直线l的方程为. 【变式2-2】（2024·高二·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 【解析】（1）令，所以，所以， 令，解得：或，设，， 因为直线的垂直平分线为 设圆心，所以圆的圆心，则 ，解得：，则， 所以圆的标准方程为：. （2）因为等于圆C的直径，所以直线过圆心，因为直线过点， 所以直线为， 所以联立方程，消去得， 设， 所以， . 【变式2-3】（2024·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【解析】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）证明：设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 考点题型3：切线问题 【典例3-1】（2024·高二·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【答案】或（一个方程即给满分） 【解析】设关于直线对称的点为， 所以，解得， 当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即 因为反射光线与圆C：相切， 所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为； 当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切， 故反射光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（一个方程即给满分） 【变式3-2】（2024·高二·北京·期中）过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【答案】 【解析】由，所以圆心为，半径为. 所以过点向圆作切线，切线段的长度为：. 故答案为： 【变式3-3】（2024·高二·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 【答案】 【解析】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 考点题型4：切点弦问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 【典例4-2】（2024·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 【变式4-1】（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 【变式4-2】（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】 由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高二·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 考点题型5：弦长问题 【典例5-1】（2024·高二·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 【答案】 【解析】法一：直线的方程可化为， 令得， 所以直线过定点（其中不包含直线）， 因为，即点A在圆内， 圆的圆心为原点，半径为， 不妨设圆心到直线的距离为， 当时，恰为直线，不存在，故取不到，即 由，所以弦长的取值范围为； 法二：因为圆的圆心为原点，半径为， 设圆心到直线MN的距离为， 则， 因为，故，可得， 又因为，所以弦长的取值范围为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·广东·期中）若直线：与：相交于点，，则 . 【答案】 【解析】因为圆心到的距离为， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高二·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为 【答案】 【解析】因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，联立方程， 解得，即圆心，，所以，圆的方程为 因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 【变式5-3】（2024·高二·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 考点题型6：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【解析】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 【变式6-1】（2024·高二·湖北黄石·期末）已知直线与圆相切. (1)求的值及圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）因为圆，可知圆心，半径，且， 由题意可得：，解得， 此时圆. （2）由（1）可知：圆心，半径， 由题意可知：， 可得，且， 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 综上所述：直线的方程为或或或. 【变式6-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【解析】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 【变式6-3】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 考点题型7：直线与圆中的定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【典例7-2】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知圆经过中的三点，且半径最大. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由坐标可知： 三点共线， 由图得直线垂直平分线段， 由圆的性质可以判断圆经过三点时，符合要求. 所以圆心在的中垂线即轴上，设圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为. （2）设过点的直线方程为. ①当时，直线的方程为，此时可为轴上的任意一点. ②当时，联立方程组消去得， 设，则. 因为轴平分，所以，即， 化简得，即， 整理得. 所以对任意恒成立， 即恒成立，故，即. 综上，存在点，符合题意. 【变式7-1】（2024·高二·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图： 过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设， 过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 【变式7-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． (1)若﹐求直线l的方程： (2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 【解析】（1）由圆，可知圆心为，半径为2， 因为，直线，即， 所以， 解得或， 所以直线方程为或， 即或； （2）由直线可知直线过定点， 又，可知，又直线，， 所以， 如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N， 所以，， 所以，即， 又，， 所以为定值， 若直线过圆心，则与重合，与重合，显然， 综上，为定值. 【变式7-3】（2024·高二·安徽·期中）已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. (1)若弦的长度为，求直线的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. （2） 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 考点题型8：圆与圆的位置关系 【典例8-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 【典例8-2】（2024·高二·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆的圆心为,半径， 圆的圆心为,半径， 因为，， 所以， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C 【变式8-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式8-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 【变式8-3】（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 考点题型9：两圆的公共弦问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【解析】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 【典例9-2】（2024·高二·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 【变式9-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解析】由题意所在的直线方程为： ， 即公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 所以． 故选：A． 【变式9-2】（2024·高二·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 【变式9-3】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 考点题型10：公切线问题 【典例10-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【典例10-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 【变式10-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【变式10-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【解析】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 【变式10-3】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 考点题型11：圆系方程的应用 【典例11-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 【典例11-2】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 【变式11-1】已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 【解析】若是圆、圆的交点坐标，则且， 所以必在上， 又， 所以，则在时，方程表示圆， 综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 【变式11-2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交． （2）设过两圆交点的圆的方程为． 把点代入，求得． 故所求圆的方程为， 即． 【变式11-3】（2023·北京通州·高二期中）经过点以及圆与圆交点的圆的方程为________． 【答案】 【解析】设过圆与圆交点的圆的方程为：① 把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得， 所求圆的方程为：， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（2个考点梳理+11题型解读+变式训练） 【清单01】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 3、圆的切线方程的求法 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 4、求直线被圆截得的弦长的方法 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 【清单02】圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 5、圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 考点题型1：直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【典例1-2】（2024·高二·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【变式1-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 考点题型2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【典例2-2】（2024·高二·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率. （i）若，求面积的最大值； （ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式2-1】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知过、两点，且圆心M在直线上. (1)求的标准方程； (2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程. 【变式2-2】（2024·高二·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 【变式2-3】（2024·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 考点题型3：切线问题 【典例3-1】（2024·高二·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【典例3-2】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【变式3-1】（2024·高二·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【变式3-2】（2024·高二·北京·期中）过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【变式3-3】（2024·高二·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 考点题型4：切点弦问题 【典例4-1】（2024·高二·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【典例4-2】（2024·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【变式4-1】（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【变式4-2】（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【变式4-3】（2024·高二·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 考点题型5：弦长问题 【典例5-1】（2024·高二·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 【典例5-2】（2024·高二·广东·期中）若直线：与：相交于点，，则 . 【变式5-1】（2024·高二·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为 【变式5-2】（2024·高二·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【变式5-3】（2024·高二·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 考点题型6：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【典例6-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【变式6-1】（2024·高二·湖北黄石·期末）已知直线与圆相切. (1)求的值及圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 【变式6-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【变式6-3】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 考点题型7：直线与圆中的定点定值问题 【典例7-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【典例7-2】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知圆经过中的三点，且半径最大. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7-1】（2024·高二·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【变式7-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． (1)若﹐求直线l的方程： (2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 【变式7-3】（2024·高二·安徽·期中）已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. (1)若弦的长度为，求直线的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 考点题型8：圆与圆的位置关系 【典例8-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【典例8-2】（2024·高二·江苏常州·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式8-1】（2024·高二·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高二·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点题型9：两圆的公共弦问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【典例9-2】（2024·高二·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【变式9-2】（2024·高二·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 考点题型10：公切线问题 【典例10-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【典例10-2】（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【变式10-1】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式10-2】（2024·高二·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【变式10-3】（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点题型11：圆系方程的应用 【典例11-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【典例11-2】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【变式11-1】已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程． 【变式11-2】已知圆和圆． （1）求证：两圆相交； （2）求过点，且过两圆交点的圆的方程． 【变式11-3】（2023·北京通州·高二期中）经过点以及圆与圆交点的圆的方程为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$