专项13 抛物线与三角形-北京版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 13 抛物线与三角形 1．如图，已知抛物线 21 4 4 y x bx    与 x轴相交于 A、B两点，若已知 A点的坐标为� −2,0 ． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接 BC，求线段 BC所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线 BC下方时 x的取值范 围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点 坐标，请说明理由． 2．如图，已知抛物线  2 0y ax bx c a    的对称轴为直线 = 1x  ，且抛物线经过 ( )1,0A ，  0,3C 两 点，与 x轴交于点 B (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴直线 = 1x  上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C的距离之差最大， 求出点M 的坐标； (3)设点 P为抛物线的对称轴 = 1x  上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P的坐标．（直 接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．如图，抛物线  2 3 0y ax bx a    与 x轴交于点  1,0A  ，点  3,0B ，与 y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当 ABD△ 的面积为 10时，求出D的坐标； (3)点 P是抛物线对称轴上的一点，点M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当 PMB△ 是以 PB为腰 的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M 的坐标． 4．如图①，抛物线 2 3y ax bx   与 x轴交于点  3,0A  和点  1,0B ，与 y轴交于点C，点D是抛 物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点 ， ，N A C为顶点的三角 形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点 E为平面内一点，直线 AC上方的对称轴上是否存在点 F，使得以 、 、 、A C F E为 顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l： 2y x  与 x轴，y轴分别交于点 A，B，抛物线 2y x bx c   经过点 B，且与直线 l的另一个交点为  8,C n ． (1)求 n的值和抛物线的解析式． (2)已知 P是抛物线上位于直线 BC下方的一动点（不与点 B，C重合），过 P点作 PF垂直于 x 轴交直线 BC于点 F，设点 P的横坐标为 a．当 a为何值时，线段 PF有最大值，求出其最大值 及此时点 P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点 M，使 BMC△ 是以 BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知：如图，抛物线 y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点 A，B（﹣3，0），C（1，0），点 P是线段 AB上方抛物线上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线，交线段 AB于点 D，再过点 P 作 PE∥x轴交抛物线于点 E． (1)求抛物线解析式； (2)当点 P运动到什么位置时，DP的长最大？ (3)是否存在点 P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 7．直线 3 3y x   与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 C，抛物线 2y x bx c    经过 B，C两点，与 x轴的另一交点为 A，连接 AC，点 P为 AC上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接 BP，交线段 AC于点 D，若 : 5 :16PD BD  ，求此时点 P的坐标； (3)如图②，连接 PC．过点 P作PE y 轴，交线段 AC于点 E，若 PCE 与ΔABC相似，求出点 P 的横坐标及线段 PE长． 8．如图 1，点  , 0A a ，  0,B b ，a，b满足 2 6 9 3 0a a b     ，抛物线经过 A，B两点，点  1,0C  关于点 B的对称点 M刚好落在抛物线上. (1)求抛物线的解析式； (2)如图 2，点 P为第一象限抛物线上一动点，过点 P作PF x∥ 轴交直线 AB于点 F，过点 P作 ∥PE BC交 x轴于点 E，求 PE PF 的最大值及此时点 P的坐标； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (3)过点M 作MD平行于 y轴交 AB于点D，若点G为抛物线上的一点，点H在 x轴上，连接 AG， AH，GH．是否存在点H使得 ADM△ 与 AGH 相似？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存 在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 13 抛物线与三角形 1．(1) 2 1 3 4 4 2 y x x    ， 3x  (2) 1 4 2 y x   ， 0x  或 8x  (3)  3 4 11， 或  3 4 11， 或  3 0， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的 解集、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行 求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出 B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线 BC的解析式即可； （3）设  3Q m， ，利用勾股定理得到 2 20AC  ， 2 2 25AQ m  ， 2 2 8 25CQ m m   ，再根据等腰 三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把  2,0A  代入抛物线解析式中得  21 2 2 4 04 b      ， 解得 3 2 b  ， ∴抛物线解析式为 21 3 4 4 2 y x x    ； ∴对称轴为直线 3 2 3 2 4 1 x          ； （2）解：在 2 1 3 4 4 2 y x x    中，令 0x  ，则 4y  ， ∴点 C的坐标为  0 4， ； 在 21 3 4 4 2 y x x    中，令 0y  ，则 2 1 3 4 0 4 2 x x    ， 解得 2x   或 8x  ， ∴点 B的坐标为  8 0， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 设直线 BC的解析式为 1y kx b  ， ∴ 1 1 8 0 4 k b b     ， ∴ 1 1 2 4 k b       ， ∴直线 BC的解析式为 1 4 2 y x   ， 由图象可知： 0x  或 8x  ； （3）解：存在， 设  3Q m， ， ∴ 2 2 22 4 20AC    ，  22 2 22 3 25AQ m m      ，  22 2 23 4 8 25CQ m m m      ， 当 AC AQ 时，则 2 25 20m   ，此时方程无解，不符合题意； 当 AC CQ 时，则 2 8 25 20m m   ， 解得 4 11m   或 4 11m   ， ∴点 Q的坐标为  3 4 11， 或  3 4 11， ； 当 AQ CQ 时，则 2 225 8 25m m m    ， 解得 0m  ， ∴点 Q的坐标为  3 0， ； 综上所述，点 Q的坐标为  3 4 11， 或  3 4 11， 或  3 0， ． 2．(1)抛物线解析式 2 2 3y x x    (2)M  1,6 (3) P点坐标为  1, 2  ，  1,4 ， 3 171, 2        ， 3 171, 2        【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函 数)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由对称轴公式及A、C两点的坐标代入直接求解即可； （2）连接 AC并延长与对称轴的交点即为M 点； （3）设出 P点的纵坐标，分别表示出 BP， PC， BC三条线段的长度的平方，分三种情况，用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意的 1 2 0 3 b a a b c c           ，解得： 1 2 3 a b c        ， 抛物线解析式为 2 2 3y x x    ； （2） 设直线 AC解析式 y mx n  ， 把 ( )1,0A ，  0,3C 分别代入直线 y mx n  得： 0 3 m n n     ，解得： 3 3 m n     ， 直线 AC解析式为 3 3y x   ， 设直线 AC与对称轴 = 1x  的交点为M， 则此时 MA MC 的值最大， 把 = 1x  代入直线 3 3y x   ，得 6y  ，   1,6M  ， 即点M 到点A的距离与到点C的距离之差最大时M 的坐标为  1,6 ； （3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 设  1,P t ，又点 B与点A关于直线 = 1x  对称，  B点坐标为  3,0 ， 又  0,3C ，  2 18BC  ，  22 2 21 3 4PB t t      ，  22 2 23 1 6 10PC t t t      ， 若 B为直角顶点，则： 2 2 2BC PB PC  ， 即： 2 218 4 6 10t t t     ，解得： 2t   ； 若 C为直角顶点，则： 2 2 2CB PC PB  ， 即： 2 218 6 10 4t t t     ，解得： 4t  ； 若 P为直角顶点，则 2 2 2PB PC BC  ， 即： 2 24 6 10 18t t t     ，解得： 3 17 2 t  ． 综上所述，满足要求的 P点坐标为  1, 2  ，  1,4 ， 3 171, 2        ， 3 171, 2        ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一 次函数解析式，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨 论是解答的关键． 3．(1) 2= 2 3y x x  (2)点D的坐标为  4,5 或  2,5 (3)  1 2, 2  或  1 6,2 或  1,0 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 二次函数)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据 ABD△ 的面积为 10求出 D点的纵坐标，将其代入二次函数求得横坐标即可； （3）分两种情况讨论：当 90BPM  时，PM PB ，M 点与A点重合；当 90PBM  时，PB BM ， 根据 P点在M 点上方时， P点在M 点下方时，分别求得 M点坐标． 【详解】（1）将点  1,0A  ，点  3,0B 代入 2 3y ax bx   ， ∴ 3 0 9 3 3 0 a b a b        ，解得 1 2 a b     ， ∴ 2= 2 3y x x  ； （2）设点D的坐标为  ,x y ， ∵ ABD△ 的面积为 10， 1 10 2 AB y  ，即 1 4 10 2 y   ，解得 5y   ， 当 5y  时， 2 2 3 5x x   ，解得： 1 24, 2x x   ， ∴  4,5D 或  2,5 ， 当 5y   时， 2 2 3 5x x    ，此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为  4,5 或  2,5 ； （3）当 90BPM  时，PM PB ， ∴M 点与A点重合， ∴  1,0M  ； 当 90PBM  时， PB BM ， 如图 1，当 P点在M 点上方时，过点 B作 x轴的垂线GH，过点 P作PH GB 交于H，过点M 作 MG HG 交于 G， ∵ 90PBM  ， ∴ 90PBH MBG   ， ∵ 90PBH BPH   ， ∴ MBG BPH  ， ∵ BP BM ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴  BPH MBG AAS≌△ △ ， ∴ , 2BH MG PH BG   ， 设  1,P t ，则  3 , 2M t  ， ∴    22 3 2 3 3t t      ，解得 2 2t   或 2 2t   ， ∴  1 2, 2M   或  1 2, 2  ， ∵M 点在对称轴的左侧， ∴M 点坐标为  1 2, 2  ； 如图 2，当 P点在M 点下方时，同理可得 ,(3 )2M t ， ∴    22 3 2 3 3t t     ，解得 2 6t    （舍）或 2 6t    ， ∴  1 6,2M  ； 综上所述：M点的坐标为  1 2, 2  或  1 6,2 或  1,0 ． 故答案为：  1 2, 2  或  1 6,2 或  1,0 ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数的图象与 性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 4．（1） 2 2 3y x x   ； （2）存在，点N的坐标为  1, 14 或  1, 14  或  1, 1  或  1, 3 17   ； 拓展设问：存在，点 F的坐标为  1, 1  或  1, 17 3  或  1, 14 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次 函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案； （2）求出� 0, − 3 及对称轴，设  1,N m ，由两点之间距离公式得到 2 18AC  ， 2 24AN m  ，  22 1 3CN m   ，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当 AC AN 时；当 AC CN 时；当 AN CN 时；分类讨论求解即可得到答案； 拓展设问：设点 F的坐标为  1,n ，根据坐标两点的距离公式，得到 2 2 4AF n  ， 2 2 6 10CF n n   ， 2 18AC  ，根据题意，分三种情况：当 AC为菱形的对角线时；当CE为菱形对角线时；当CF为 对角线时，由菱形性质列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）抛物线 2 3y ax bx   与 x轴交于点  3,0A  和点  1,0B ，       2 23 1 2 3 3y a x x a x x ax bx         ， 解得 1a  ， 2b  ， 抛物线的解析式为 2 2 3y x x   ； （2）存在，点N的坐标为  1, 14 或  1, 14  或  1, 1  或  1, 3 17   ，理由如下： 由（1）知  22 2 3 1 4y x x x      ， ∴� 0, − 3 ，  1, 4D   ，抛物线的对称轴为直线 1x   ， 设点  1,N m ，其中 4m   ， 点  3,0A  、� 0, − 3 、  1,N m ，  2 18AC  ， 2 24AN m  ，  22 1 3CN m   ， 当 AC AN 时，则 218 4 m  ，解得 14m   ，则点  1, 14N  或  1, 14  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 当 AC CN 时，则  218 1 3m   ，解得 3 17m    或 3 17m    （负值舍去），则点  1, 3 17N    ； 当 AN CN 时，则  224 1 3m m    ，解得 1m   ，则点  1, 1N   ； 综上，点N的坐标为  1, 14 或  1, 14  或  1, 1  或  1, 3 17   ； 拓展设问：存在，点 F的坐标为  1, 1  或  1, 17 3  或  1, 14 ，理由如下： 抛物线 2 2 3y x x   的对称轴为直线 1x   ， 设直线 AC的解析式为 y kx m  , 则 3 0 3 k m m       ，解得： 1 3 k m      ， ∴直线 AC的解析式为 3y x   ， 当� =− 1时， 3 2y x     ， ∴设点 F的坐标为  1,n ，此时 2n   ， ∵  3,0A  ，  0, 3C  ， ∴    2 22 23 1 0 4AF n n       ，    2 22 21 3 6 10CF n n n       ，  22 23 3 18AC     ， ①当 AC为菱形的对角线时，如图所示： 此时 AF CF ， ∴ 2 24 6 10n n n    ，解得 1n   ， ∴  1, 1F   ； ②当CE为菱形对角线时，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 此时 AC CF ， ∴ 2 6 10 18n n   ，解得 17 3n   或 17 3n    （不合题意，舍去）， ∴  1, 17 3F   ； ③当CF为对角线时，如图所示： 此时 AC AF ， ∴ 2 4 18n   ，解得 14n  或 14 （不合题意，舍去）， ∴  1, 14F  ； 综上，点 F的坐标为  1, 1  或  1, 17 3  或  1, 14 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、等 腰三角形性质、菱形性质、两点之间距离公式、解二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与 性质，等腰三角形性质及菱形性质是解决问题的关键． 5．(1) 6n  ，抛物线的表达式为 2 7 2y x x   ； (2)当 4a  时， PF有最大值，最大值为 16，  4, 14P  ； (3)存在，  6, 8M  或  2,16 ． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二 次函数解析式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点 P的坐标为  2, 7 2a a a  ，则点  , 2F a a  ，求得  22 7 2PF a a a     ，利用二次函 数的性质即可求解； （3）根据题意，需要分两种情况：①当点 B为直角顶点时，过点 B作 BM BC 交抛物线于点M ， 分别过点M 和点C作 y轴的垂线，垂足分别为N，D，由此可得 BNM 是等腰直角三角形，设 出点M 的横坐标，代入函数解析式即可；②当点C为直角顶点时，过点C作CM BC  交抛物线 于点M ，过点M 作 y轴的垂线ME ，过点C作 x轴的垂线CE，设点M 的横坐标为m，则 8ME CE m     ，代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：对于 2y x  ， 令 0x  ，则 2y   ， 令 2 0y x   ，解得 2x  ， 当 8x  时， 8 2 6y n    ， 故点A、 B、C的坐标分别为 (2,0)、 (0, 2) ， (8,6)； 将点 B、C的坐标代入抛物线的表达式得 2 64 8 2 6 c b       ， 解得 7 2 b c      ， 抛物线的表达式为 2 7 2y x x   ； （2）解：如图，过点 P作 y轴的平行线交 AB于点H，连接 BP，CP， 设点 P的坐标为  2, 7 2a a a  ，则点  , 2F a a  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11    22 22 7 2 8 4 16PF a a a a a a            ， ∵ 4 0  ， ∴当 4a  时， PF有最大值，最大值为 16； 当 4a  时， 14y   ． ∴  4, 14P  ； （3）解：存在，理由如下： ①当点 B为直角顶点时，如图，过点 B作 BM BC 交抛物线于点M ，分别过点M 和点C作 y轴的 垂线，垂足分别为N，D， (0, 2)B  ， (8,6)C ， 8BD  ， 8CD  ， 45CBD  ， 90CBM   ， 45MBN   ， BN MN  ， 设MN t ，则BN t ， ( , 2)M t t   ， 点M 在抛物线上， 2 7 2 2t t t      ，解得 0t  （舍）或 6t  ， 6MN BN   ， 8ON  ， (6, 8)M  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ②当点C为直角顶点时，如图，过点C作CM BC  交抛物线于点M ，过点M 作 y轴的垂线ME ， 过点C作 x轴的垂线CE， 由①知 45BCD  ， 45MCD  ， 45MCE  ， M E CE  ， 设点M 的横坐标为m，则 8ME CE m     ， 28 6 7 2m m m      ，解得 2m   或 8m  （舍 )， ( 2,16)M   ． 综上可知，存在点M ，使 BMC△ 是以 BC为直角边的直角三角形，此时 (6, 8)M  或 ( 2,16) ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积 的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． 6．(1)y＝﹣x2﹣2x+3 (2)点 P的坐标为 3 15, 2 4      (3)存在，点 P坐标为（﹣2，3）或（ 5 17 2   ， 5 3 17 2   ） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数)、特殊三角形 问题(二次函数综合) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线 AB的解析式，再设出点 P的坐标，然后求出点 D的坐标，再列出 PD的长 度的表达式，确定 PD取最大值时求出点 P的坐标即可； （3）先设出点 P的坐标，然后表示出 PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出 PE的长度， 列出关于点 P的横坐标的方程，求出点 P的横坐标，即可确定点 P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+bx+3过点 B（﹣3，0），C（1，0）， ∴ 9 3 3 0 3 0 a b a b        ， 解得： 1 2 a b      ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴A（0，3）， ∴直线 AB解析式为 y＝x+3， ∵点 P在线段 AB上方抛物线上， ∴设 P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∴D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝ 23 92 4( )t   ， ∵a＝﹣1＜0， ∴当 3 2 t   时，DP的长最大， 此时，点 P的坐标为（ 3 2  ， 15 4 ）； （3）解：存在点 P使△PDE为等腰直角三角形， 设 P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则 D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线 x＝﹣1， ∵PE∥x轴交抛物线于点 E， ∴E、P关于对称轴对称， ∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴xE＝﹣2﹣t， ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|， ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°， ∴PD＝PE， ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）， ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t， ∴﹣t2﹣3t＝2+2t， 解得： 1 5 17 2 t   ， 2 5 17 2 t   （舍去） ∴P（ 5 17 2   ， 5 3 17 2   ）， 综上所述，点 P坐标为（﹣2，3）或（ 5 17 2   ， 5 3 17 2   ）时，使△PDE为等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及 牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线 段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可． 7．(1) 2 2 3y x x    (2) 1 15, 2 4      或 5 7, 2 4      (3) 32P x   ， 9 4 PE  或 5 3P x   ， 20 9 PE  【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、 相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先确定点B C、 的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线 AC和 BP的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明 BDG BPH ∽ ，根据相似 三角形对应边成比例建立方程求解即可； （3）分两种情况： ABC EPC ∽ 或 ABC ECP△ ∽△ ，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】（1）解：直线 3 3y x   与 x轴交于点 B，与 y轴交于点C， 令 0x  ，则 3y  ；令 0y  ，则 1x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15  1,0（ ）B ， 0,3C（ ） 抛物线 2y x bx c    经过 B，C两点， 将B C、 的坐标代入解析式可得 1 0 3 b c c       ， 解得 2 3 b c     ， 抛物线解析式为： 2 2 3y x x    ； （2）解：令抛物线 2 2 3=0y x x    ，可得 1x  或 3x   ，  3,0A（- ），  0,3C（ ）， 设直线 AC的解析式为： 1y kx b  ， 将 3,0 0,3A C（- ），（ ）代入直线 1y kx b  ，得 1 1 3 0 3 k b b      ， 解得： 1 1 3 k b    ， 直线 AC的解析式为： 3y x= + ， 设 P点坐标为（m , 2 2 3m m   ）， 设直线 BP的解析式为： y ax n  ， 将 1,0（ ）B ， 2( , 2 3)P m m m   ）代入解析式 y ax n  中，得 2 0 2 3 a n am n m m         ， 解得： 3 3 a m n m       ， 直线 BP的解析式为：  3 3y m x m     ， 联立直线 BP与直线 AC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16  3 3 3 y m x m y x          ， 解得 4 mx m   ， 如图过点 P作PH x 轴于点 H，作DG x 轴于点 G DG PH ∥ BDG BPH  ， 90BGD BHP    又 DBG PBH  BDG BPH△ ∽△  : 5 :16PD BD   : 16 : 21BG BH   1 4B D mBG x x m      ， 1B PBH x x m    1 164 1 21 m m m     解得： 1 2 m   或 5 2 m   ， 经检验， 1 2 m   ， 5 2 m   都是方程的根， 当 1 2 m   时， 2 152 3 4 m m    ； 当 5 2 m   时， 2 72 3 4 m m    故点 P的坐标为（ 1 2  ， 15 4 ），（ 5 2  ， 7 4 ）； （3）解：设 P点坐标为  2, 2 3a a a   ，  , 3E a a  ，  2 22 3 3 3PE a a a a a          ， 2 2 2 23 3 3 2AC AO OC     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 2 2 2( 0) ( 3 3) 2 2EC a a a a        ， PE y ∥ 轴， PEC ACO  ， 又 3OA OA OC OA   ， , 45CAB ACO   ， PEC CAB  ， ①当 ABC EPC ∽ 时， AC AB EC EP  ， 即 2 3 2 4 2 3 32 a a aa       ， 解得： 5 3 a   或 0a  ， 经检验 0a  不是方程的根，应舍去， 2 203 9 PE a a     ； ②当 ABC ECP△ ∽△ 时， AB AC EC EP  ， 即 2 4 3 2 2 3 32 a a aa       ， 解得： 3 2 a   或 0a  ， 经检验 0a  不是方程的根，应舍去， 2 93 4 PE a a     ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 8．(1)抛物线的解析式为 22 3 5 3 3 3 3 y x x    (2)12815 (3)点 F的坐标为  3 ， 0 或 1， 0 或  5 ， 0 或 13    ， 0 或 7， 0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函 数)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再根据点M 与点C关于点 B对称，得出 1M ， 2 3 ，再 利用待定系数法把点A、 B的坐标代入 2y ax bx c   ，解方程组即可； （2）设 P a， 22 3 5 3 33 3a a        0 3a  ，根据待定系数法求出直线 AB的解析式，表示出 PF， 再根据 PQEV ∽ BOC ，表示出 PE，从而求出 PE PF 关于 a的式子，再根据二次函数的性质即 可求解； （3）设 F m， 0 ，过点M 作MD平行于 y轴交 AB于点D，交 x轴于点H，先解直角三角形得 出： 120ADM  ， 30AMD MAD     ，再根据 ADM△ 与 AEF△ 相似分类讨论即可． 【详解】（1）解： 2 6 9 3 0a a b     ，  23 3 0a b     ， 3a  ， 3b  ， 又∵点 A a， 0 ， 0B ， 3 ， ∴ 3A ， 0 ， 0B ， 3 ， ∵点  1C  ， 0 和点M 关于点 1B ， 3 对称，设点 M x， y ， 1 0 2 0 3 2 x y       ，解得 1 2 3 x y    ， 1M ， 2 3 ； 设二次函数解析式为 2y ax bx c   ，由 3A ， 0 ， 0B ， 3 ， 1M ， 2 3 三点在二次函数上， 则 9 3 0 3 2 3 a b c c a b c          ，解得 2 3 3 5 3 3 3 a b c            原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴该抛物线的解析式为 2 2 3 5 3 3 3 3 y x x    ； （2）如图，过点 P作 PQ x 轴于点Q， 设 P a， 22 3 5 3 33 3a a        0 3a  ，则 设直线 AB的解析式为 y kx b  ，将 3A ， 0 ， 0B ， 3 代入，得 3 0 3 k b b     ，解得 3 3 3 k b       ， ∴直线 AB的解析式为 3 3 3   y x ， ∵PF x∥ 轴交直线 AB于点 F， ∴ 2 2 3 5 3 33 3 3 3 3 a a x      ， ∴ 22 5x a a  ，    2 22 5 2 6 0 3PF a a a a a a         ， ∵ ∥PE BC， PQ x 轴于点Q， ∴ PEA BCO  ， 90PQE BOC   ， ∴ PQEV ∽ BOC ， ∴ PQ BO PE BC  ， 又∵Rt BOC 中，  22 2 23 1 2BC BO OC     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∴ 22 3 5 3 3 33 3 2 a a PE     ， ∴ 2 4 10 2 3 3 PE a a    ， 2 2 2 24 10 10 28 10 7 1282 6 2 2 3 3 3 3 3 5 15 PE PF a a a a a a a                    ， 10 0 3   ，且 0 < < 3a 7 5 a  时， PE PF 的值最大，为 128 15 ； （3）存在．设 F m， 0 ， 过点M 作MD平行于 y轴交 AB于点D，交 x轴于点H， ∵ 3A ， 0 ， 0B ， 3 ， 1M ， 2 3 ， ∴ 3OA  ， 3OB  ， 2 3MH  ， 2AH  ， ∴ 3tan 3 OBBAO OA    ， 2 3tan 3 2 MHMAH AH     , 30BAO  ， 60MAH  ， 90 30 60ADH     ， 60 30 30MAD MAH BAO       ， 120ADM  ， 30AMD MAD     ， 当点 E与点 B重合，即 0E ， 3 时，如图 1， 若 30AFE FAE MAD AMD     ，则 AEF△ ∽ ADM△ ，此时点 F与点A关于 y轴对称，  3F  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 0 ； 若 30AEF FAE MAD AMD     ，则 AEF△ ∽ AMD ，则 AF EF ，即 3EF m  ，OF m ， 3OE  ， 2 2 2OF OE EF  ，    2 22 3 3m m    ，解得： 1m  ， 1F ， 0 ； 当点 E在 x轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图 2，设 E n， 22 3 5 3 33 3n n       ， 30FAE   ， 22 3 5 3 3 33 3 tan30 3 3 n n n        ， 解得： 3n  （舍去）或 1n   ，  1E  ， 4 33     ， 若 30AFE FAE MAD MAD     ，则 AEF△ ∽ ADM△ ， ∴点 F与点A关于 1x   轴对称，  5F  ， 0 ； ∴ 30AEF FAE MAD MAD     ，则 AEF△ ∽ AMD ， ∴ AF EF ，即 3EF m  ， 1CF m  ， 4 3 3 CE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 2 2 2CF CE EF  ，     2 2 24 31 3 3 m m            ，解得： 1 3 m  ， 1 3 F    ， 0 ； 当点 E与点M 重合，即 1E ， 2 3 时，如图 3， 点 F在点A的，即 180 180 60 120MAF MAO ADM          ， 若 30AFM MAD   ，则 AEF△ ∽ AMD ， 30AEF AFE    ， 4AF AE   ， ∴ 3 4 7m OF    ， 7F ， 0 ； 综上所述，点 F的坐标为  3 ， 0 或 1， 0 或  5 ， 0 或 13    ， 0 或 7， 0 ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，中心对称、轴对称的性质，勾股定理， 相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分类讨论是解题的关键．