专项5 旋转手拉手模型-北京版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 5 旋转手拉手模型 1．【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形， 并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况． （1）一组：ΔABC和ΔADE是等腰直角三角形， , 90AB AD BAC DAE     ． 连接 ,BD CE，构建“手拉手”模型（如图 1），得到了BD CE ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”， 如图 2的划斜线部分，得到了 BD CE ． 二组：如图 3，ΔABC和ΔADE是等边三角形，AD AB ，连接 , ,BD CE BD的延长线与CE相交于 点 F．猜想也能构建上述两种模型得到结论 , 60BD CE BFC   ． 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论； 【类比分析】 （2）三组：如图 4，在ΔABC和ΔADE中， , , , 40AB AC AD AE AD AB BAC DAE       ，连接 ,BD CE． 则 BD与CE的数量关系为_______，直线 BD与直线CE的夹角为_______； 【变式拓展】 （3）四组：只需用 ABD△ ，就能构建上面任一图形．请你结合图 4，用一句话解释这一过程 _______； （4）四组：如图 5，ΔABC和ΔADE是等腰直角三角形，AB AD ，  90 90BAC DAE DAC       ， 连接 , ,BE CD F 是线段 BE的中点，连接 AF ．若 4DC  ，请你求出 AF 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2．【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图 1 所示， ABC 是等腰直角三角形，AB AC ， 90BAC  ，点 D在BC上，连接��，探究��，��，��之间的数量关系．”王林思考片刻之 后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段 AD绕点 A逆时针旋转 90°得线段 AE，连接 ��，��，易证 ABD ACE ≌ ，得到BD CE ， 45ABD ACE   ，在 Rt DCE 中，易得 2 2 2CD CE DE  ，由 2DE AD ，得��，��，�� 之 间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图 2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判 定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点  D在射线��上，且 3CD BD ，请直接写出 ADC 的度数． 3．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等 腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知ΔABC和ΔADE都是等边三角形，连接 BE，CD．求证： BE CD ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【模型应用】 （2）如图 2，已知ΔABC和ΔADE都是等边三角形，将ΔADE 绕点A旋转一定的角度，当点D在 CB的延长线上时，求证： AB BD BE  ； 【类比探究】 （3）如图3，已知ΔABC和ΔADE都是等边三角形．当点D在射线 BC上时，过点 E作 EF AB 于点 F，直接写出线段 AB， BF与 BD之间存在的数量关系为_____________． 4．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有 公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化 的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小 组进行了如下操作： (1)如图 1、两个等腰直角三角形ΔABC和ΔADE中， AB AC ， AE AD ， 90BAC DAE    ， 连接 BD，CE，两线交于点 P，和 ABD△ 全等的三角形是______，BD和CE的数量关系是______； (2)如图 2，点 P是线段 AB上的动点，分别以 AP，BP为边在 AB的同侧作正方形 APCD与正方形 PBEF，连接DE分别交线段 BC， PC于点M ，N． ①求 DMC 的度数； ②连接 AC交DE于点H，直接写出 DH BC 的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (3)如图 3，已知点C为线段 AE上一点， 8cmAE  ，ΔABC和ΔADE为 AE同侧的两个等边三角 形，连接 BE交CD于N，连接 AD交 BC于M ，连接MN，线段MN的最大值是______． 5．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图 1，ΔABC和ΔDCE是等边三角形，点 B、 C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写 出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如下图，已知四边形 ABCD中，  0 180ADC       ， AB CD∥ ，CE是 BCD 的平分线， 且CD DE ．将线段 AE绕点 E顺时针旋转 1 2  得到线段 EP．当 120  时，连接 PD，试判断线段 PD和线段 BD的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段 PD和线段 BD的数量关系，然后通 过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件 120  ，则 60AEP  ，再通过“手 拉手”模型，合理添加辅助线，构造与 PDE△ 全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【拓展延伸】 （3）如下图，ΔABC 中，当 60A  时，点 D、E为 AC、AB上的点，CD BE ， 30CED  ，若 7BC  ， 5CE  ，求线段 ED的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 5 旋转手拉手模型 1．（1）见解析；（2）BD CE （或相等），40或140；（3）把 ABD△ 绕点A按逆时针方向 旋转40得 ACE （或旋转 , 90   ），连接 ,DE CB；（4）2 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识： （1）先证明 BAD CAE  ，再证明 ABD ACE≌△ △ 可得BD CE ，再根据三角形内角和定理可 得结论； （2）方法同（1）； （3）由（2）知 ,ABD ACE BAD CAE  ≌ ，结合旋转可得出结论； （4）延长 AF 到M 使 FM FA ，连接EM ，证明 AFB MFE△ ≌△ 得 BAM M  ，得ME AB∥ ，进 一步证明 MEA DAC   ，再证明 AEM DAC△ ≌△ 即可得出结论 【详解】（1）证明： ABCV 和 ADEV 是等边三角形， , , 60AB AC AD AE BAC DAE      ， BAC DAC DAE DAC    ，即 BAD CAE  ， ABD ACE ≌ ， ,BD CE ABD ACE     设 BF与 AC相交于点G，则 AGB FGC   ， 60BFC BAC   ； （2）BD CE （或相等），40或140 延长 BD交CE于点 F，设 ,BD AC交于点 G， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵ 40BAC DAE   ， ∴ ,BAC DAC DAC DAE    ∴ ,BAD CAE   又 , ,AB AC AD AE  ∴  SAS ,ABD ACE ≌ ∴ , ,BD CE ABD ACE= Ð = Ð ∵ ,AGB CGF   ∴ 40 ,CFB BAC    ∴ 180 140BFE BFC    ， 即直线 BD与直线CE的夹角为40或140； 故答案为：BD CE （或相等），40或140； （3）把 ABD△ 绕点A按逆时针方向旋转40得 ACE （或旋转 , 90   ），连接 ,DE CB． 故答案为：把 ABD 绕点 A按逆时针方向旋转40得 ACE （或旋转 , 90   ），连接 ,DE CB． （4）证明：延长 AF 到M 使 FM FA ，连接EM ． EFM BFA  ， 又 FE FB ， AFB MFE△ ≌△ ， ME AB  ， BAM M  ， ME AB ∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 180MEA EAB   ， 90BAC DAE    ， 180DAC EAB    MEA DAC   ， ABC 和 ADEV 是等腰直角三角形， ,AB AC AD AE   ， EM AC  ， AEM DAC△ ≌△ ， AM DC  ， 4,DC  4,AM  2AF  ． 2．（1） ² ² 2 ²BD CD AD  ；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或 15° 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据特殊 角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角 函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得 DCE△ 是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求 解； （2）将线段 AD绕点A逆时针旋转 90°得线段 AE．可证明 ABD BCE ≌ ，进而得到BD CE ， A CBF  ，进而证明 45B ACB ACE       ，进而得到在Rt DCE 中， 90DBF  ，再根据 勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点D在 AB上时，当点D在BA延长线上时，在利用前面结论在Rt BDE 中得 tan 3 BEBDE BD    ， 得 60BDE  ，进而得出 ADC ． 【详解】证明：（1）将线段 AD绕点 A逆时针旋转 90°得线段 AE，连接��，��， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 90CAB DAE   ， BAD DAC DAC CAE    ， BAD CAE  ， AB AC ， AD AE ，   SASABD ACE ≌ ， BD CE  ， B ACE  ，  AB AC ， 90BAC  ，  45B ACB ACE       ， 90DCE  ， 2 2 2CD CE DE   ， AD AE ， =90DAE ，  2 22DE AD ，  2 2 22CD BD AD  ； （2）（1）中结论成立． 理由：将线段 AD绕点A逆时针旋转 90°得线段 AE． 如图 1所示，连接��，��． ∵ ABC 为等腰直角三角形， ∴ AB AC ， 90 45BAC ABC ACB      ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 由旋转性质可知 ADE 为等腰直角三角形． ∴ AD AE ， 90DAE  ． ∴ 90BAC DAE   ． ∴ BAD CAE  ． ∴ BAD CAE ≌ ． ∴BD CE ， 45ABC ACE   ． 90BCE ACE ACB    ； 在Rt DCE 中， ² ² ²CD CE DE  ，且 2DE AD ． 2 2 22CD CE AD   ． ² ² 2 ²BD CD AD   ． （3）如图所示，当点 D在��上时， 同理可得： (SAS)ABE ACD ≌ ， 3BE CD BD  ， 90EBD  ， 2ED AD ， ∴在Rt BDE 中， tan 3 BEBDE BD    ． ∴ 60BDE  ． ∵ 45ADE  ， ∴ 180 105 75ADC     ； 如图 3所示，当点D在��延长线上时， 60BDE  ， 45ADE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ 60 45 15ADC     ． 综上所述， ADC 的度数为75或15． 3．（1）见解析；（ 2）见解析；（3） 2AB BD BF  或 2BD AB BF  ． 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含 30度角的直角三角形、 根据旋转的性质求解 【分析】（1）由ΔABC和ΔADE都是等边三角形得 AB AC ， 60BAC  ，AE AD ， 60DAE  ．进 而得 BAE CAD  ．最后证明  SASBAE CAD ≌ ，即可得证； （ 2）由ΔABC和ΔADE都是等边三角形，得 AB AC BC  ， 60BAC  ，AE AD ， 60DAE  ， 从而得 BAE CAD  ．进而证明  ABE ACD SAS ≌ 得 BE CD ，即可得证； （3）如图，当D在线段 BC上时，如图，当D在线段 BC的延长线上时，证明  SASABE ACD ≌ ， 可得BE DC ； 再证明 2BE BF ，从而可得结论． 【详解】证明：（1） ABC 和ΔADE都是等边三角形， AB AC  ， 60BAC  ， AE AD ， 60DAE  ． 60BAE BAD DAE BAD       ． 60CAD BAC BAD BAD      ． BAE CAD   ． 在 BAE 和 CAD 中， , AB AC BAE CAD AE AD       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7  SASBAE CAD ≌ ， BE CD  ； （ 2） ABC 和ΔADE都是等边三角形， AB AC BC   ， 60BAC  ， AE AD ， 60DAE  ， 60BAE DAE BAD BAD      ， 60CAD BAC BAD BAD      ， BAE CAD   ． 在 ABE 和 ACD 中， AB AC BAE CAD AE AD       ，  SASABE ACD ≌ ． BE CD  ． CD CB BD AB BD    ， AB BD BE   ； （3） 2AB BD BF  或 2BD AB BF  ．理由如下： 如图，当D在线段 BC上时， ∵ΔABC和ΔADE都是等边三角形， ∴ AB AC ， AD AE ， 60BAC DAE   ， ∴ CAD BAE   ， 在 ABE 和 ACD 中， AB AC BAE DAC AE AD       ， ∴  SASABE ACD ≌ ， ∴ BE DC ； 60ABE ACD   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵CD BC BD AB BD    ， ∴ BE AB BD  ， ∵ EF AB ， ∴ 30BEF  ， ∴ 2BE BF ， ∴ 2AB BD BF  ； 如图，当D在线段 BC的延长线上时， 同理可得： ACD ABE△ ≌△ ， ∴CD BE ， ∵ BD CD BC AB   ， ∴ BD AB BE  ， 同理可得： 2BE BF ， ∴ 2BD AB BF  ． 故答案为： 2AB BD BF  或 2BD AB BF  ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直 角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 4．(1) ACE△ ，BD CE ， (2)① 45DMC  ；② 2 2 (3)2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三 角形、正方形性质理解 【分析】（1）证明 ABD ACE△ △≌ ，即可得到BD CE ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）①过D作DG BC∥ 交 AB于G，连接EG，如图，由SAS证明 AGD BEG≌  ，得出DG EG ， ADG EGB  ，证明 90EGD  ，得出 45GDE GDE    ，即可得出结果；②连接 AC，由勾 股定理求出 2 2 2AC AD CD AD   ，利用三角形内角和定理证明 CBA CHM   ，推出 DHA CBA   ，进而证明 DAH CAB∽  ，即可求出 2 22 DH AD AD BC AC AD    ； （3）证明 CMN 为等边三角形，就有MN CN ，由条件可以得出CN AB∥ ，设CE x ，就可以 用相似三角形的性质把CN用含 x的式子表示出来，从而求出MN最大值． 【详解】（1）解：∵ AB AC ， AE AD ， 90BAC DAE    ， ∴ DAB EAC  ， ∴  SASABD ACE ≌ ， ∴BD CE ， 故答案为： ACE ， BD CE ； （2）解：①过D作DG BC∥ 交 AB于G，连接EG，如图， 则 DMC GDE   ， ∵ AB CD∥ ， ∴四边形DGBC是平行四边形， ∴DG CB ，CD BG ， ∵四边形 ADCP与四边形 PBEF都是正方形， ∴DC AD AP  ， BP BE ， 90DAG GBE   ， ∴DC AD AP GB   ， ∴ AG GP GP PB   ， ∴ AG PB BE  ， ∴ AGD BEG≌  ， ∴DG EG ， ADG EGB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ 90EGB AGD ADG AGD      ， ∴ 90EGD  ， ∴ DGE△ 是等腰直角三角形， ∴ 45GDE GED   ， ∴ 45DMC GDE   ； ②连接 AC，交DE于 H， ∵ AC为正方形 ADCP的对角线， ∴ 45DAC PAC DMC      ， AD CD ， 90ADC  ， ∴ 2 2 2AC AD CD AD   ， 在 CHM△ 中， 180HCM CHM CMH    ， 在 CBA△ 中， 180ACB CBA CAB    ， 又∵ HCM ACB   ， 45CMH CAB    ， ∴ CBA CHM   ， 根据对顶角的性质可得 CHM DHA   ， ∴ DHA CBA   ， 又∵ 45DAH CAB     ， ∴ DAH CAB∽  ， ∴ 2 22 DH AD AD BC AC AD    ； （3）解：∵ΔABC和ΔCDE为 AE同侧的两个等边三角形， ∴ AC BC ，CD CE ， 60ACB DCE     ， ∴ ACD BCE  ， 60BCN  ， ∴ ACD BCE△ △≌ ， ∴ CAM CBN  ， 又∵ AC BC ， 60ACM BCN    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ ACM BCN△ △≌ ， ∴CM CN ， ∴ CMN 是等边三角形， ∴CN MN ． ∵ 60BAC DCE    ， ∴CD AB∥ ， ∴ CEN AEB∽△ △ ， ∴ CN CE AB AE  ． 设CE x ，则有 8AC AB x   ． ∴ 8 8 CN x x   ， ∴ 2 1 8 CN x x  ， ∴  21 4 2 8 MN CN x     ， ∴当 4x  时，MN有最大值是 2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形 的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过 程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 5．（1） ACE BCD ≌ ；（2）PD BD ，理由见解析；（3） 2 6DE  【知识点】全等三角形综合问题、线段问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质、利用平 行四边形的性质求解 【分析】（1）利用SAS证明 ACE BCD ≌ 即可； （2）过点D作DG平分 ADC 交 BC于G，先证明四边形 ABCD是平行四边形，可得 AD BC ， 再证明 CDG 是等边三角形，推出 EA GB ，再证得  SASDEP DGB ≌ 即可； （3）设DE x ，以DC、DE为边作 CDEF ，连接 BF，将 BCFV 绕点 B逆时针旋转60得 BHE ， 连接CH，可得 BCHV 是等边三角形，EH CF x  ， 60DEH  ，再得出 90CEH  ，利用勾股 定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1） ACE BCD ≌ ．理由如下： 如图 1， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ABC 和 DCE△ 是等边三角形， AC BC  ，CE CD ， 60DCE ACB   ， ACD DCE ACD ACB    ， 即 ACE BCD  ， 在 ACE△ 和 BCD△ 中， AC BC ACE BCD CE CD      ，  SASACE BCD ≌ ； （2）如图 2，过点D作DG平分 ADC 交 BC于G， 四边形 ABCD中， AB CD∥ ， 120ADC    ， 60A  ， CD DE ， 30DCE DEC    ， CE 平分 BCD ， BCE DCE   ， 60BCD  ， 180ADC BCD   ， AD BC ∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC  ， DG 平分 ADC ， 60ADG CDG   ， 60CDG DCG   ， CDG 是等边三角形， DG CD CG DE    ， 60CGD  ， AD DE BC CG    ， 120BGD  ， 即EA GB ， 由旋转得：EP EA ， 1 60 2 AEP    ， 120PED AEP     ，  SASDEP DGB ≌ ， PD BD  ； （3）如图 3，以DC、DE为边作平行四边形CDEF，连接 BF， 则 30FCG CED   ，DE CF ，CD EF ， 60BEF A   ， 设DE x ，则CF x ， CD BE ， EF BE  ， 又 60BEF   ， BEF 是等边三角形， 将 BCFV 绕点 B逆时针旋转60得 BHE ，连接CH， BCH 是等边三角形， EH CF x  ， 60DEH  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 7CH BC   ， 60 30 90CEH      ， 2 2 2EH CE CH   ， 即 2 2 25 7x   ， 2 6x  ， 即 ED的长为2 6． 【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．