专项6 平行线判定性质综合与拐点模型-北京版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 平行线的判定性质综合与拐点模型 1．如图，若 AB CD∥ ，CE平分 DCB ，且 180B DAB   ，求证： 3E   ． 证明：∵CE平分 DCB （已知）， ∴ （角平分线的定义）． ∵ AB CD∥ （已知）． ∴ 2 3  （ ）， ∴ 1 3   （等量代换）， ∵ 180B DAB   （已知）， ∴ （ ）， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∴ 3E  （等量代换）． 2．完成推理填空：如图， 180DEH EHG   ， 1 2   ， C A  ，求证： AEH F   ． 证明：∵ 180DEH EHG   （已知）， ∴______（同旁内角互补，两直线平行）， ∴ 1 C   （______）， 2 DGC   （______）， ∵ 1 2   ， C A  （已知）， ∴______（等量代换）， ∴ AB DF∥ （______） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ AEH F   （______）． 3．如图，点E F， 分别在直线 AB CD， 上，若 180BNF BME A D      ， ，则 B C  .请说明 理由. 解： 180BNF BME    ，（ ） BME CMD   ，（ ） 180BNF CMD   ， / /AF ED ，（ ） AFC D   .（ ） 又 A D  ， AFC A   ，（ ） //AB CD ，（ ） B C   .（ ） 4．请填空，完成下面的证明． 如图，已知 AD BC 于点D， EF BC 于点 F， 1 2 180   ，证明： CGD CAB   ． 证明： AD BC ，EF BC （已知） 90ADB EFB    （ ） ∴ AD EF∥ （ ） ∴ 3 2 180   （ ） ∵ 1 2 180   （已知） ∴ 1 3   （ ） ∴DG AB∥ （ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ CGD CAB   （ ） 5．探究：如图①，AB DE ，试问 B 、 E 、 BCE 有什么关系．下面给出了这道题的解题过 程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点 C作CF AB ， ∴ 1B  （ ）． 又∵ AB DE ， AB CF ， ∴ （ ）， ∴ 2E  （ ）， ∴ 1 2B E   ＋ ＋ ， 即 ； 应用：如图②，直线 1 2l l ， 1AB l ，垂足为 O，BC与 2l 相交于点 E，若 1 30  ，求 OBE 的度 数； 拓展：如图③， AB EF ，BC CD 于点 C， 30ABC  ， 45DEF  ，则 CDE  ． 6．丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图 1，已知 AB CD∥ ，点 E在两平行线的内侧，连接 AE，CE．若 35EAB  ， 25ECD  ， 求 AEC 的度数；（提示：过点 E作 AB的平行线） (2)如图 2，已知 AB CD∥ ，点 E在两平行线的外侧，连接 AE CE， ．若 EAB   ， ECD   ．求 AEC 的大小（用含α，β的代数式表示）； (3)如图③，AB CD∥ ，点 P，E在 AB与CD之间，AE平分 BAP ，CE平分 DCP ．写出 AEC 与 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 APC 间的等量关系，并说明理由； 7．已知 AB CD∥ ，三角形MNO是一个含30角的直角三角形， 30MON  ， 90  NMO ， 60MNO  ，将顶点 M放在直线CD上，点 O在 AB上移动， BON   ． (1)如图 1，当点 O在直线 AB上移动到某处，测得 40  ．求 DMN 的度数； (2)如图 2，在点 O移动过程中，若 2DMN BON   ．求 的度数； (3)当点 O在直线 AB上移动（ 90AOM  的情形除外）的过程中，请直接写出 DMN 的度数（用 含 的代数式表示）． 8．已知，AB∥CD．点 M在 AB 上，点 N在 CD 上． （1）如图 1中，∠BME、∠E、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图 2中，∠BMF、∠F、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明） （2）如图 3中，NE 平分∠FND，MB 平分∠FME，且 2∠E＋∠F＝180°，求∠FME 的度数； （3）如图 4中，∠BME＝60°，EF 平分∠MEN，NP 平分∠END，且 EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是 否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数． 9．如图，已知直线 1 2l l∥ ，直线 3l 和直线 1l ， 2l 交于点 C和 D，点 A、点 B分别在直线 1l ， 2l 上， 点 P是直线 CD 上的一个动点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)如果点 P运动到 C，D之间时，试探究 PAC ， APB ， PBD 之间的关系，并说明理由． (2)若点 P在 C，D两点的外侧运动时（P点与点 C，D不重合）， PAC ， APB ， PBD 之间 的关系是否发生改变?请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 平行线的判定性质综合与拐点模型 1． 1 2   ；两直线平行，同位角相等； AD BC∥ ，同旁内角互补，两直线平行； 1 E   【分析】本题考查了平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定 和性质是解题的关键．根据角的平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换思想证明即可． 【详解】证明：∵CE平分 DCB （已知）， ∴ 1 2   （角平分线的定义）． ∵ AB CD∥ （已知）． ∴ 2 3  （两直线平行，同位角相等）， ∴ 1 3   （等量代换）， ∵ 180B DAB   （已知）， ∴ AD BC∥ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴ 1 E   （两直线平行，内错角相等）． ∴ 3E  （等量代换）．． 故答案为： 1 2   ；两直线平行，同位角相等；AD BC∥ ，同旁内角互补，两直线平行； 1 E   ． 2．ED AC∥ ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； A DGC   ；同位角相等， 两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质和判定，利用平行线的判定和性质一一判断即可． 【详解】证明：∵ 180DEH EHG   （已知）， ∴ED AC∥ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴ 1 C  （两直线平行，同位角相等）， 2 DGC   （两直线平行，内错角相等）， ∵ 1 2   ， C A  （已知）， ∴ A DGC   （等量代换）， ∴ AB DF∥ （同位角相等，两直线平行）， ∴ AEH F   （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：ED AC∥ ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； A DGC   ；同位 角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 3．见解析. 【分析】根据 180BNF BME   ， BME CMD  ，得到 180BNF CMD   ，根据平行线的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 判定定理得到 / /AF ED，根据平行线的性质有 AFC D  ，等量代换得到 AFC A  ，即可判定 / /AB CD，即可求解. 【详解】 180BNF BME    ，（已知） BME CMD  ，（对顶角相等） 180BNF CMD   , / /AF ED ，（同旁内角互补，两直线平行） AFC D  .（两直线平行，同位角相等） 又 A D   ， AFC A  ，（等量代换） / /AB CD ，（内错角相等，两直线平行） B C  .（两直线平行，内错角相等） 【点睛】考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键. 4．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等； 内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，根据同位角相等，两 直线平行得出 AD EF ，根据平行线的性质得出 3 2 180   ，求出 1 3   ，根据平行线的判 定得出DG AB∥ ，根据平行线的性质得出 CGD CAB   即可． 【详解】证明： AD BC ，EF BC （已知）， 90ADB EFB    （垂直定义）， ∴ AD EF∥ （同位角相等，两直线平行）， ∴ 3 2 180    （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ 1 2 180    ， ∴ 1 3   （同角的补角相等）， ∴DG AB∥ （内错角相等，两直线平行）， ∴ CGD CAB   （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角 相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 5．探究：两直线平行，内错角相等；DE CF ；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直 线平行，内错角相等； BCE B E   ＋ 应用：120 拓展：105 【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 探究：过点 C作CF AB ，可以得到 AB DE CF  ，然后得到 2E  ， 1B  即可解题； 应用：根据垂直的定义得到 90DOB  ，然后根据对顶角相等得到 1 30BEG   ，然后利用 探究结论解题； 拓展：过点C作CG AB ，过点D作DH EF ，得到 30ABC BCG   ， GCD CDH  ， 45HDE DEF   ，然后根据角的和差解题即可． 【详解】探究：解：如图①，过点 C作CF AB ， ∴ 1B  （两直线平行，内错角相等）． 又∵ AB DE ， AB CF ， ∴DE CF （同平行于一条直线的两条直线互相平行）， ∴ 2E  （两直线平行，内错角相等）， ∴ 1 2B E   ＋ ＋ ， 即 BCE B E   ＋ ； 应用：∵ 1AB l ， ∴ 90DOB  ， 又∵ 1 30  ， ∴ 1 30BEG   ， 根据探究结论可得： 90 30 120ABE DOB BEG       ； 拓展：如图，过点C作CG AB ，过点D作DH EF ， 又∵ AB EF ， ∴ AB CG DH EF   ， ∴ 30ABC BCG   ， GCD CDH  ， 45HDE DEF   ， ∵BC CD ， ∴ 90BCD  ， ∴ 90 90 30 60GCD CDH BCG        ， ∴ 60 45 105CDE CDH EDH       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故答案为：105． 6．(1) 60AEC   (2) AEC     (3) 2APC AEC   ，理由见解析 【分析】（1）如图 1，过点 E作 ∥MN AB．根据平行线的性质，得 35AEM EAB   ， 25MEC ECD   ，那么 35 25 60AEC AEM MEC       ； （2）如图 2，根据平行线的性质，由 AB CD∥ ，得 EFB ECD     ．根据三角形外角的性质得 到 EFB EAB AEC   ，得 AEC EFB EAB        ； （3）过点 E作 EF AB∥ ，过点 P作 PG AB ，根据平行线的性质得到 AEC AEF CEF BAE DCE     ， APC APG CPG BAP DCP     ，然后利用角平分 线的概念得到 2BAP BAE   ， 2DCP DCE   ，进而求解即可． 【详解】（1）如图 1，过点 E作 ∥MN AB． ∵ ∥MN AB， ∴ 35AEM EAB   ． ∵ AB CD∥ ， ∥MN AB， ∴MN CD∥ ． ∴ 25MEC ECD   ． ∴ 35 25 60AEC AEM MEC       ； （2）如图 2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵ AB CD∥ ， ∴ EFB ECD     ． 又∵ EFB EAB AEC   ， ∴ AEC EFB EAB        ； （3）如图所示，过点 E作 EF AB∥ ，过点 P作 PG AB ∵ EF AB∥ ， ∴ BAE AEF  ， ∵ AB CD∥ ， ∴ FEC DCE   ， ∴ AEC AEF CEF BAE DCE     ， 同理可得， APC APG CPG BAP DCP     ， ∵ AE平分 BAP ，CE平分 DCP ∴ 2BAP BAE   ， 2DCP DCE   ， ∴  2 2APC BAP DCP BAE DCE AEC        ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握平行 线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键． 7．(1) 20DMN   (2) 20   (3) 60DMN    或 60DMN     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角 相等，同旁内角互补． （1）易得 70BOM BON MON      ，根据平行线的性质得出 180 110OMD BOM     ，最 后根据 DMN OMD NMO    即可解答； （2）易得 2DMN   ，根据平行线的性质得出 180DMO BOM DMN NMO MON BON         ，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当MN在CD下方时，②当MN在CD上方时，即可解答． 【详解】（1）解：∵ 40BON     ， 30MON  ， ∴ 70BOM BON MON      ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 180 110OMD BOM     ， ∵ 90  NMO ， ∴ 20DMN OMD NMO      ； （2）解：∵ BON   ， 2DMN BON   ， ∴ 2DMN   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 180DMO BOM DMN NMO MON BON         ， ∵ 90  NMO ， 30MON  ， ∴ 2 90 30 180      ， 解得： 20  ． （3）解：①当MN在CD下方时， ∵ AB CD∥ ， ∴ 180DMO BOM DMN NMO MON BON         ， ∵ 90  NMO ， 30MON  ， BON   ， ∴ 180 90 30 60DMN         ； ②当MN在CD上方时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵ AB CD∥ ， ∴   180DMO BOM NMO DMN MON BON        ， ∵ 90  NMO ， 30MON  ， BON   ， ∴  90 30 180DMN     ， 整理得： 60DMN     ， 综上： 60DMN    或 60DMN     ． 8．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过 E作 EH∥AB，易得 EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过 F作 FH∥AB， 易得 FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得 2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求 解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ= 1 2 ∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过 E作 EH∥AB，如图 1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图 2，过 F作 FH∥AB， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE 平分∠FND，MB 平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即 2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF 平分∠MEN，NP 平分∠END， ∴∠FEN＝ 1 2 ∠MEN＝ 1 2 （∠BME＋∠END），∠ENP＝ 1 2 ∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝ 1 2 （∠BME＋∠END）﹣ 1 2 ∠END＝ 1 2 ∠BME， ∵∠BME＝60°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴∠FEQ＝ 1 2 ×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 9．(1)∠APB＝∠PAC+∠PBD (2)∠APB＝∠PBD﹣∠PAC 或∠PAC＝∠PBD+∠APB. 【分析】∠APB＝∠PAC+∠PBD.如图（1）所示，过 P点作 PE∥l1，利用两直线平行内错角相等 得到一对角相等，再由与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到 PE∥l2，利用两直线平行 内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； ∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，如图（2）所示，过点 P作 PE∥l1，同理即可得证； ∠PAC＝∠PBD+∠APB，如图（3）所示，过点 P作 PE∥l1，同理即可得证． 【详解】（1）解：∠APB＝∠PAC+∠PBD. 理由为：如图（1），过点 P作 PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD， 即∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）解：分两种情况： 第一种情况，当点 P在直线 l1的上方时，∠APB＝∠PBD﹣∠PAC 理由为：如图（2），过点 P作 PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 又∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE， 即∠APB＝∠PBD﹣∠PAC； 第二种情况，当点 P在直线 l2的下方时，∠PAC＝∠PBD+∠APB， 理由如下：过点 P作 PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠BPE+∠APB＝∠APE， ∴∠PAC＝∠PBD+∠APB． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．