专项5 动角旋转问题-北京版七年级上册期末专项(初中数学)
2024-12-03
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2份
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25页
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资源信息
| 学段 | 初中 |
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学北京版七年级上册 |
| 年级 | 七年级 |
| 章节 | 第三章 简单的几何图形 |
| 类型 | 题集-专项训练 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-期末 |
| 学年 | 2024-2025 |
| 地区(省份) | 北京市 |
| 地区(市) | - |
| 地区(区县) | - |
| 文件格式 | ZIP |
| 文件大小 | 2.83 MB |
| 发布时间 | 2024-12-03 |
| 更新时间 | 2024-12-03 |
| 作者 | 邵俊成 |
| 品牌系列 | 其它·其它 |
| 审核时间 | 2024-12-03 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/49074324.html |
| 价格 | 3.00储值(1储值=1元) |
| 来源 | 学科网 |
|---|
内容正文:
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1
专项 5 动角旋转问题
答案解析
1.(1)∠���,2,∠���和∠���;(2)①∠���,∠���,∠���;②∠��� = 120°
【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义:
(1)根据旋转的性质得∠��� = ∠��� = 45°,进而可得角平分线的答案,根据∠��� +
∠��� = 90°,∠��� +∠��� = 90°,进而可求解;
(2)①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与∠���相加等于 180°的角即可;②利用角度
之间的计算即可求解;
熟练掌握角度之间的计算,理解平角、余角和补角的定义是解题的关键.
【详解】解:(1)由旋转的性质得:∠��� = ∠��� = 45°,
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 45° = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� = 45°,
∴ ��平分∠���,
∵ ∠��� + ∠��� = 90°,∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠���的余角有 2 个(本身除外),分别是∠���和∠���,
故答案为:∠���;2;∠���和∠���;
(2)① 90AOB COD Q ,∠��� = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 90° + 45° = 135°,
∴ ∠��� +∠��� = 135° + 45° = 180°,
∴ ∠���的补角是∠���,
∵ ∠��� = ∠��� +∠��� = 45° + 90° = 135°,
∴ ∠��� +∠��� = 135° + 45° = 180°,
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2
∴ ∠���的补角是∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 135° + 45° = 180°,
∴ ∠���的补角是∠���,
综上所述,∠���的补角分别是∠���、∠���、∠���,
故答案为:∠���、∠���、∠���.
②∵∠��� = 45°, 3BOC BOE ,
∴∠��� = 1
3
× 45° = 15°,
∴∠��� = 45° − 15° = 30°,
又∵∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° + 30° = 120°.
2.(1)40°或 60°(2)∠��� = 1
2
� − �或∠��� = � − 1
2
�或∠��� = � + 1
2
� (3)�的值
为 10或 20
【分析】本题考查了角平分线,角度的计算,根据角平分线的定义得到∠���的度数是解题的
关键.
(1)根据角平分线的定义求出∠��� = 60°,根据∠��� = ∠��� + ∠���或∠��� =
∠��� −∠���即可得出答案.
(2)根据角平分线的定义求出∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
�,根据∠��� = ∠��� − ∠���或
∠��� = ∠��� +∠���即可得出答案.
(3)分两种情况:当 0 < � ≤ 15时;当 15 < � ≤ 20时;列出方程计算即可求解.
【详解】解:(1)当射线��在∠���的内部,如图所示:
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3
因为��是∠���的平分线,且∠��� = 120°,
所以∠��� = 1
2
∠��� = 60°,
因为∠��� = 20°,
所以∠��� = ∠��� −∠��� = 40°.
当射线��在∠���的外部时,同理可得:∠��� = ∠��� +∠��� = 60°
答:∠���的度数为 40°或 60°.
(2)当射线��在∠���的内部,如图所示:
因为��是∠���的平分线,且∠��� = �,
所以∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
�,
①1
2
� > �②1
2
� < �
因为∠��� = �,
所以∠��� = 1
2
� − �
②1
2
� < �
因为∠��� = �,
所以∠��� = � − 1
2
�.
当射线��在∠���的外部时,同理可得:∠��� = � + 1
2
�
答:∠��� = 1
2
� − �或∠��� = � − 1
2
�或∠��� = � + 1
2
�.
(3)当 0 < � ≤ 15时,
依题意得:2� + 6� + 40 = 120,
解得: 10t ,
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当 15 < � ≤ 20时,
依题意得:2� + 6� − 40 = 120,
解得:� = 20,
∴当∠��� = 40°时,�的值为 10或 20.
3.(1)25° (2)25° (3)∠��� −∠��� = 25°
【分析】(1)根据图形得出∠COE=∠DOE-∠AOC,代入求出即可;
(2)根据角平分线定义求出∠EOA=2∠AOC=130°,代入∠EOC=∠BOA-∠AOC,求出∠EOC,代
入∠COD=∠DOE-∠EOC求出即可;
(3)根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°,相减即可求出答案.
【详解】(1)如图①,∠COE=∠DOE-∠AOC=90°-65°=25°;
(2)如图②,∵OC 平分∠EOA,∠AOC=65°,∴∠EOA=2∠AOC=130°,∵∠DOE=90°,
∴∠AOD=∠AOE-∠DOE=40°,∵∠BOC=65°,∴∠COD=∠AOC-∠AOD=25°
(3)根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°
∴∠��� = 65° −∠��� = 90° −∠���
∴∠��� −∠��� = 25°
【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义,能根据图形求出各个角的度数是解此题的关
键.
4.(1)①40°,②2�;
(2) 2DOB COE .
【分析】(1)①由∠���为直角, =20COE ,可求得∠���的度数,再由��平分∠���,以
及∠���和∠���为邻补角即可求出∠���;
②同①可得结论;
(2)设∠��� = �,可以求出∠���,再由角平分线以及邻补角可求出∠���,得出∠���和
∠���的关系.
【详解】(1)①∵∠���为直角,
∴ 90COD .
∵ =20COE ,
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∴∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 20° = 70°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 2∠��� = 140°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − 140° = 40°,
②∵∠���为直角,
∴ 90COD .
∵∠��� = �,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − �,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 2∠��� = 180° − 2�,
∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − (180° − 2�) = 2�,
(2)设∠��� = �,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − �,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 2∠��� = 180° − 2�,
∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − (180° − 2�) = 2�,
∴∠��� = 2∠���.
【点睛】此题考查了角度的计算,主要涉及角平分线,垂直,邻补角的相关知识,计算过程中
注意合理利用已知条件,利用角的和差来求解要求的角.
5.(1)∠��� = 27°
(2)∠��� = 126°
(3)0 ≤ � ≤ 9时,∠��� = 2∠���;9 < � < 30时,∠��� + 2∠��� = 360°
【分析】本题考查相交线,涉及到角平分线的性质、垂直的性质等,灵活运用所学知识是关键.
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(1)根据直角和交平分线的性质求解即可;
(2)根据直角和交平分线的性质求解即可;
(3)分两种情况 0 ≤ � ≤ 9时,9 < � < 30进行讨论即可.
【详解】(1)解: ∵ ∠��� = 54°,
∴ ∠��� = 180∘ −∠��� = 126°,
OC 平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 63°,
∵ ∠���是直角,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 63° = 27°;
(2)解: OC 平分∠���,
∴ ∠��� = 2∠���.
∵ ∠��� = 90°,3∠��� = ∠���
∴ ∠��� +∠��� = 2∠��� + 3∠��� = 5∠��� = 90°.
∴ ∠��� = 18°.
∴ ∠��� = 2∠��� = 36°.
180 180 36 144AOC BOC
∴∠��� = 126°;
(3)解:①0 ≤ � ≤ 9时,由题意得∠��� = 54° − 6°�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 54° − 6°� = 126° + 6°�
OC 平分∠���,
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∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 63° + 3°�,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 27° − 3°�,
2AOC DOE ;
②9 < � < 30时,
由题意得∠��� = 6°� − 54°,
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 6°� − 54° = 234° − 6°�
OC 平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 117° − 3°�,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� =− 3°� + 207°,
∴ ∠���+ 2∠��� = 360°.
综上所述,0 ≤ � ≤ 9时,∠��� = 2∠���;
9 < � < 30时,∠���+ 2∠��� = 360°.
6.(1)射线��是∠���的平分线;详见解析
(2)165°
(3)∠���和∠���互补,详见解析
【分析】(1)利用角的和差计算并判断;
(2)利用角的和差计算;
(3)读懂题意,分类讨论不同情况,发现旋转的过程中∠���与∠���之间存在互补的关系.
【详解】(1)解:∵射线��是∠���的平分线,
∴ ∠��� = ∠��� = 45°,
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∴ ∠��� = 90° −∠��� = 90° − 45° = 45°,
∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 45° = 45°,
∴射线��是∠���的平分线;
(2)解:∵ ∠��� = 15°,
∴ ∠��� = 90° − 15° = 75°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 75° + 90° = 165°;
∴ ∠���的大小为 165°;
(3)解:当��在��的右侧时,
由图可知,∠��� = 90° − ∠���,∠��� = 90° +∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 180°;
当��在��的左侧时,
由图可知,∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 360°,
∵ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 180°,
当��在��上方时,如图,
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由图可知,∠��� = 90° + ∠���,∠��� = 90° −∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 180°;
综上可知,∠���和∠���互补.
【点睛】本题主要考查角度的和差计算,涉及补角的定义,余角的定义,角平分线的定义等相
关知识,由图形得到角度之间的和差关系是解题关键.
7.(1) 120CAE
(2)∠��� = 2∠��� − 30°或∠��� = 330° − 2∠���
(3) 60m n 或�+ � = 240或�− � = 120或� −� = 60
【分析】(1)本题考查角度的加减,根据�+ � = 0得到� = 0,� = 0 结合角度关系即可得
到答案;
(2)本题考查三角板摆放角度问题,分当三角板���的边��在直线��上方,和当三角板���
的边 AB在直线 MN下方两类讨论即可得到答案;
(3)本题考查三角板摆放角度问题,分类讨论三点位置关系求解即可得到答案;
【详解】(1)解:当�+ � = 0时,
此时� = 0且� = 0,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 90° + 30° = 120°;
(2)解:∵� = 2�,
∴0 < � ≤ 75,
①当三角板���的边��在直线��上方时,如图,
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∵∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 90° − � = 90° − �,
∴� = 90° −∠���,
∵∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 30° − � = 150° − 2�,
∴∠��� = 150° − 2 90° −∠��� ,
整理得:∠��� = 2∠��� − 30°,
②当三角板���的边 AB在直线 MN下方时,如图,
∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − 90° −∠��� = 180° − 90° + � = 90° + �,
∴� = ∠��� − 90°,
∵∠��� = 150° − 2�,
∴∠��� = 150° − 2 ∠��� − 90° ,
整理得:∠��� = 330° − 2∠���;
(3)解:由题意可得,
①当 C,E在��两侧时,如图所示,
180 90 30 60m n ,
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②当 C,E在��左下方时,如图所示,
�+ � = 360 − 90 − 30 = 240,
③当 C,E在��右下方时,如图所示,
�− � = 90 + 30 = 120,
④当 C,E在��两侧时,如图所示,
� −� = 180 − 90 − 30 = 60,
.
8.(1)7;(2)−12;(3)①−8②−51.5,48.5;(4)点 P对应的数为− 6
5
或
3
2
;(5)8
或 20
【分析】本题考查有理数与数轴,角的和与差的计算.
(1)根据数轴上两点间距离的求法解题即可;
(2)根据绝对值的几何意义可知−5 ≤ � ≤ 2时, � − 2 + � + 5 = 7,求出符合条件的整数
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a即可;
(3)①利用中点坐标公式求出折痕点,再求解即可;
②设 A点表示的数是 x,则 B点表示的数是� + 100,根据中点坐标公式求出 x,即可求解;
(4)先表示出点 P对应的数为 3� − 3,点 Q对应的数为� − 3,再分点 O为 P,Q这两个点的
中点;点 Q为 O,P这两个点的中点;点 P为 Q,O这两个点的中点时,三种情况讨论,列式
计算即可求解;
(5)由题意得∠��� = 15� °,∠��� = 10� °,分在��、��重合前,在��、��重合后两种
情况讨论,列式计算即可求解.
【详解】解:(1)表示 2 和−5两点之间的距离是 2 − −5 = 7,
故答案为:7;
(2)∵使 a所表示的点到表示 2 和−5的点的距离之和为 7,
∴ � − 2 + � + 5 = 7,
∴−5 ≤ � ≤ 2,
∵a是整数,
∴a的值为−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,
−5+ −4 + −3 + −2 + −1 + 0 + 1 + 2 =− 12;
∴故答案为:−12;
(3)①∵3 表示的点和−6表示的点重合,
∴折叠的点表示的数是
3+ −6
2
=− 3
2
,
设则 5表示的点和�表示的点重合,
∴
5+�
2
=− 3
2
,
解得� =− 8,
∴5表示的点和−8表示的点重合;
故答案为:−8;
②设 A点表示的数是 x,则 B点表示的数是� + 100,
∴
�+�+100
2
=− 3
2
,
解得� =− 103
2
=− 51.5,
−51.5 + 100 = 48.5,
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∴点 A表示的数−51.5,点 B表示的数是48.5,
故答案为:−51.5,48.5;
(4)由题意知,运动时间为�秒,
则点 P对应的数为 3� − 3,点 Q对应的数为� − 3,
当点 O为 P,Q这两个点的中点时,�� = ��,
∴3� − 3 = 0 − � − 3 ,解得� = 3
2
;
此时,点 P对应的数为3
2
;
当点 Q为 O,P这两个点的中点时,�� = ��,
∴3� − 3 − � − 3 = � − 3,解得� =− 3(舍去);
当点 P为 Q,O这两个点的中点时, PQ OP ,
∴3� − 3 − � − 3 = 0 − 3� − 3 ,解得� = 3
5
;
此时,点 P对应的数为− 6
5
;
综上,点 P对应的数为− 6
5
或
3
2
;
(5)∵∠��� = 140°,��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 70°,
由题意得∠��� = 15� °,∠��� = 10� °,
在��、��重合前,∠��� = ∠��� +∠��� = 70 + 10� − 15�,
∴70 + 10� − 15� = 30,解得� = 8;
在��、��重合后,∠��� = ∠��� −∠��� = 15� − 70 + 10� ,
∴15� − 70 + 10� = 30,解得� = 20;
综上,经过 8秒或 20秒后,射线��、��的夹角为 30°.
故答案为:8或 20.
9.(1)75°,140°;
(2)6∠��� − ∠���的值不会随着∠���的变化而变化, 理由见解析;
(3)76或者 169
【分析】(1)由周角求出∠��� + ∠��� = 130°,根据∠���:∠��� = 6: 7 求得∠��� = 60°,
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∠��� = 70°,从而求出∠��� = 150°,再根据角平分线定义求出∠���和∠���,从而可得
出结论;
(2)设∠��� = �,则∠��� = 6
13
270° − � ,∠��� = 7
13
270° − � ,再用含 a的式子表示∠���,
∠���,代入 6∠��� −∠���可得结论;
(3)求出∠��� = 150°,∠��� = 160°,分五种情况讨论求解即可.
【详解】(1)解∶∵∠��� = 90°,∠��� = 140°,
∴∠��� +∠��� = 130°,
∵∠���:∠��� = 6: 7,
∴∠��� = 60°,∠��� = 70°;
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 150°,
∵射线��,��分别平分∠���,∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 75°,∠��� = 1
2
∠��� = 70°,
∴∠��� = ∠���+∠��� = 140°,
故答案为∶75°,140°;
(2)解:6∠��� − ∠���的值不会随着∠���的变化而变化, 理由如下∶
设∠��� = �,
∵∠��� = 90°,∠��� = �,
∴∠��� +∠��� = 270° − �,
∵∠���:∠��� = 6: 7,
∴∠��� = 6
13
270° − � ,∠��� = 7
13
270° − � ,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 6
13
270° − � + 90° = 2790°−6�
13
,
∵射线��,��分别平分∠���,∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 1395°−3�
13
,∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
�,
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15
∴∠��� = ∠���+∠��� = 1
2
� + 7
13
270° − � = 3780°−�
26
,
∴6∠��� −∠��� = 6 × 3780°−�
26
− 1395°−3�
13
= 765°,
∴6∠��� − ∠���的值不会随着∠���的改变而改变;
(3)解:∠��� = 90° + 60° = 150°,∠��� = 70° + 90° = 160°,
且题目中所出现的角均小于 180°且大于 0°,
①当∠�1�� = 150° − 2°�,∠�1�� = 160° − 2°� (0 < � < 75)时,
∵∠�1�� + 6° = ∠�1��,
∴150° − 2°� + 6° = 160° − 2°�,
此时,无解;
②当∠�1�� = 2°� − 150°,∠�1�� = 160° − 2°� (75 < � < 80)时,
∵∠�1�� + 6° = ∠�1��,
∴2°� − 150° + 6° = 160° − 2°�,
解得,� = 76;
③当∠�1�� = 2°� − 150°,∠�1�� = 2°� − 160°(80 < � < 165),
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∵∠�1�� + 6° = ∠�1��,
∴2°� − 150° + 6° = 2°� − 160°,
此时无解.
④当∠�1�� = 360° − 2°� + 150° = 510° − 2°�,∠�1�� = 2°� − 160°(165 < � < 170),
∵∠�1�� + 6° = ∠�1��,
∴510° − 2°� + 6° = 2°� − 160°,
解得:� = 169.
⑤当∠�1�� = 360° − 2°� + 150° = 510° − 2°�,
∠�1�� = 360° − 2°� + 160° = 520° − 2°� (170 < � < 180),
∵∠�1�� + 6° = ∠�1��,
∴510° − 2°� + 6° = 520° − 2°�,
此时无解.
综上:t的值为 76或者 169.
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用,是学习方
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17
程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题,有利于对数学学科本质的认识.在计算时易出
错不会用一个式子代入表示另一个式子,隐含了数学消元思想,熟练掌握各知识点是解题的关
键.
10.(1)从 4: 00开始240
11
分钟后分针第一次追上时针.
(2)①∠���+ 6∠��� = 40°.②从 4: 00开始573
11
分钟后,∠��� = 111∘.
【分析】(1)本题考查一元一次方程的实际运用、角的运算和追及问题,根据时钟的特点,
算出时针每分钟转 0.5°,分针每分钟转 6°,以及∠���的度数,设从 4: 00开始�分钟后分针第
一次追上时针,再利用分针转过的角度=时针转过的角度∠���,列式求解即可.
(2)①本题考查角的运算,设运动时间为�,表示出∠���,∠���, AOP ,再结合∠��� =
1
3
∠���,∠��� = 1
3
∠���,将∠���和∠���联系起来,即可解题.
②本题考查一元一次方程的实际运用和角的运算,设从 4: 00开始�分钟后,∠��� = 111∘.根
据分针没有追上时针和分针超过时针两种情况分类讨论,利用�分别表示出∠���, AOP ,再
结合∠��� = ∠���+ ∠���与∠��� = ∠��� −∠���−∠���即可解题.
【详解】(1)解: 360 12 30 ,30° ÷ 60 = 0.5°,即时针每分钟转 0.5°,
又∵ 30° ÷ 5 = 6°,即分针每分钟转 6°,
由图知,4: 00时,分针和时针间夹角为 4 30 120 ,
设从 4: 00开始�分钟后分针第一次追上时针,
则有:6� = 0.5� + 120,解得� = 240
11
,
答:从 4: 00开始240
11
分钟后分针第一次追上时针.
(2)①解:当��在∠���内部时,如图所示:
设运动时间为�,则∠��� = 6� °,∠��� = 0.5� °,其中 0 < � < 240
11
,
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18
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 120° − 6� °,
∵ ∠��� = 1
3
∠���,∠��� = 1
3
∠���,
∴ ∠��� = 40° − 2� °,∠��� = 1
6
� °,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 1
3
� °,即有 6∠��� = 2� °,
∴ ∠��� = 40° − 2� ° = 40° − 6∠���,
整理得∠���+ 6∠��� = 40°.
②设从 4: 00开始�分钟后,∠��� = 111∘.
下面分类讨论,
第一种:分针没有追上时针时,如图所示:
由①同理可得:∠��� = 6� °,∠��� = 0.5� °, ∠��� = 120° − 6� °,
∵ ∠��� = 1
3
∠���,∠��� = 1
3
∠���,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� − 1
3
∠��� = 2
3
∠���,
∠��� = ∠��� −∠��� = 2
3
∠���,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 2
3
120° − 6� ° + 2
3
× 0.5� °,
整理得∠��� = 80° − 11
3
� °,
∵ ∠��� = 111∘,
有 80° − 11
3
� ° = 111°,解得� =− 93
11
,
∵− 93
11
< 0,所以舍去该值.
第一种:分针超过时针时,如图所示:
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有∠��� = 6� ° − 120°,
则∠��� = ∠��� −∠���−∠���
= 6� ° − 120° −
1
3
6� ° − 120° −
2
3
× 0.5� °
= 6� ° − 120° − 2� ° + 40° −
1
3
� °
= 11
3
� ° − 80°,
有
11
3
� ° − 80° = 110°,解得� = 573
11
,
∵ 573
11
> 240
11
,符合题意,有� = 573
11
,
综上所述,从 4: 00开始573
11
分钟后,∠��� = 111∘.
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1
专项 5 动角旋转问题
1.综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动,探究体会角在旋转过程中的变化,
【操作发现】如图①,∠��� = ∠��� = 90°且两个角重合.
(1)将∠���绕着顶点 O顺时针旋转 45°如图②,此时 OB 平分 ;∠���的余角有 个,
分别是: .
【实践探究】
(2)将∠���绕着顶点 O顺时针继续旋转如图③位置,若∠��� = 45°,射线 OE 在∠���内部,
且 3BOC BOE 请探究:
①∠���的补角是哪几个角? .
②求∠���的度数.
2.(1)如图,∠��� = 120°,射线 OC 为∠���的平分线.用量角器画出射线 OC.作射线 OD,
使∠��� = 20°,则∠���的度数是________.
(2)若∠��� = �(90° ≤ � ≤ 120°),射线��为∠���的平分线.射线��,使∠��� = �
(0 90 ),求∠���的度数(用�、 表示)
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2
(3)∠��� = 120°,射线��从��位置出发,以每秒 2的速度顺时针向射线��旋转;与此同
时,射线OQ以每秒 6°的速度,从��位置出发逆时针向射线��旋转,当射线OQ达到��后.设
旋转时间为 t秒.当∠��� = 40°时,t的值是________.
3.如图,以直线 AB 上一点 O为端点作射线 OC,使∠AOC=65°,将一个直角三角形的直角顶
点放在点 O处.(注:∠DOE=90°)
(1)如图①,若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OA 上,则∠COE= ;
(2)如图②,将直角三角板 DOE 绕点 O顺时针方向转动到某个位置,若 OC 恰好平分∠AOE,
求∠COD 的度数;
(3)如图③,将直角三角板 DOE 绕点 O任意转动,如果 OD 始终在∠AOC 的内部,试猜想∠AOD
和∠COE 有怎样的数量关系?并说明理由.
4.已知�是直线��上的一点,∠���是直角,��平分∠���.
(1)如图 1,��与��在直线��的同侧.
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3
①若∠��� = 20°,则 DOB 的度数为______________;
②若∠��� = �,求 DOB 的度数.
(2)如图 2,��与��在直线��的异侧,直接写出∠���和 DOB 之间的数量关系,不必说明理
由.
5.如图,点�为直线��上一点,将一直角三角板的直角顶点放在点�处,∠���是直角,��
平分∠���.
(1)如图 1,若∠��� = 54°,求∠���的度数;
(2)如图 2,若 3∠��� = ∠���,求∠���的度数;
(3)当∠��� = 54°时,三角板绕点�以每秒 6沿逆时针方向旋转�秒(0 ≤ � < 30),请探究∠���
和∠���之间的数量关系.
6.如图,�为直线��上一点,将两个直角三角板的顶点叠合在�处,其中一个直角三角板的另
一顶点也叠合在直线��上的�点处.
(1)在如图的位置,若射线��是∠���的平分线,试判断射线��是否为∠���的平分线?并说
明理由;
(2)在如图的位置,若∠��� = 15°,求 DOB 的大小;
(3)将直角三角板���绕�点逆时针方向旋转,旋转角度不超过 180度,在旋转过程中,试探
究∠���与∠���之间满足什么等量关系,并说明理由.
7.将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线 MN 上,且三角板���始终摆放在直线��
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下方,三角板���可绕点 A任意旋转.已知∠��� = ∠��� = 90°,∠� = 45°,∠��� = 30°.
设∠��� = �°,∠��� = �°(0 ≤ � ≤ 180,0 ≤ � ≤ 150)
(1)当�+ � = 0时,求∠���的度数;
(2)当� = 2� � ≠ 0 时,求 CAM 与∠���的数量关系;
(3)当点 C,A,E三点共线时,请通过画图探究说明 m与 n的数量关系.
8.【阅读】:
通过学习我们知道, � 的几何意义是:数轴上表示数 a的点到原点的距离.由于 � 可以看作
� − 0 ,那么 � − 0 的几何意义为数轴上表示数 a与 0的两点间的距离.这个结论还可以推广
为:点 A,B在数轴上分别表示数 a、b,那么 A,B之间的距离可表示为 � − � .
【探索】:
(1)数轴上表示 2和−5的两点之间的距离是______;
(2)若使 a所表示的点到表示 2和−5的点的距离之和为 7,所有符合条件的整数 a的和为
______;
【动手折一折】:
小博同学在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究:
(3)折叠纸面,使 3表示的点和−6表示的点重合,
①5表示的点和______表示的点重合;
②已知 A,B(A在 B的左侧)两点之间的距离为 100,且 A,B两点经折叠后重合,则点 A表
示的数是______,点 B表示的数是______;
【拓展延伸】:
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5
(4)动点 P,Q同时从−3对应的点出发沿数轴向右运动,点 P,点 Q的速度分别为 3个单位
长度/s 和 1 个单位长度/s,是否存在某一时刻,使得原点 O,P,Q这三个点中,有一个点恰
为另外两点所连线段的中点?若存在,求出此时点 P所代表的数;若不存在,请说明理由.
【方法迁移】
(5)如图,∠��� = 140°,��平分∠���.现有射线��、��分别从��、��同时出发,以
每秒15和每秒 10°的速度绕点 O顺时针旋转,当��旋转一周时,这两条射线都停止旋转.问
经过______秒后,射线��、��的夹角为 30°.
9.如图 1,平面上顺时针排列射线��,��,��,��,∠��� = 90°,∠���在∠���外部且
为钝角,∠���:∠��� = 6: 7,射线��,��分别平分∠���,∠���(题目中所出现的角均
小于 180°且大于 0°).
(1)若∠��� = 140°,∠��� = ______, CON ______;
(2)6∠��� −∠���的值是否随着∠���的变化而变化?若不变,求出该定值;若要变,请
说明理由;
(3)在(1)的条件下,将∠���绕点 O以每秒 2的速度顺时针旋转得到∠�1��1(��,��的
对应边分别是��1, 1OB ),若旋转时间为 t秒(0 < � < 180),当∠�1�� + 6° = ∠�1��
时,求出 t的值.
10.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.在圆形钟面上,把一周等分成 12 个大格,每个
大格等分成 5个小格.如图,设在 4: 00时,分针的位置为��,时针的位置为��,运动后的
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分针为��,时针为OQ(本题中的角均指小于 180°的角).
(1)求 4: 00开始几分钟后分针第一次追上时针;
(2)若在 4: 00至 5: 00之间,��在 AOP 内,��在∠���内,∠��� =
1
3
∠���,∠��� =
1
3
∠���.
①当��在∠���内时,求∠���和∠���之间的数量关系;
②从 4: 00开始几分钟后,∠��� = 111∘.
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