专题5.2 概率（考点清单，7个考点梳理+11题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题5.2 概率 【清单01】事件 事件 确定事件 不可能事件　 在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件 【清单02】随机事件发生的概率 1.对于给定的随机事件，在相同的条件，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作. 2.概率的性质 （1） （2）必然事件的概率：；不可能事件的概率：. 【清单03】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的关系 包含 关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立 事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 【清单04】互斥事件与对立事件 1. 名称 条件 结论 符号表示 互斥事件 AB为不可能事件 事件A与事件B互斥 AB＝∅ 对立事件 AB为不可能事件，A+B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 AB＝∅，P(A+B)＝1 注：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． 3. 互斥事件的概率加法公式： ①(互斥)，且有． ② (彼此互斥)． ③ 对立事件的概率：． 【清单05】古典概型 古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 概率公式：P(A)＝. 【清单06】频率与概率 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验的等可能基本事件有n个,即基本事件空间有n个样本点,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A包含m个样本点，那么事件A发生的概率P（A）=. 【清单07】事件的相互独立性 1.对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立. 2.若与相互独立，则与，与，与也都相互独立． 3.事件A＋B；AB；之间的概率关系如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() 【考点题型一】样本空间与事件的判断 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【变式1-1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【变式1-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【考点题型二】确定事件、随机事件的概率 【例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【变式2-1】（19-20高二上·福建厦门·阶段练习）某种彩票中奖的概率为.若购买该种彩票10000张，则下列说法正确的是（    ） A．一定有1张中奖 B．一定有3张中奖 C．可能0张中奖 D．不可能3张中奖 【变式2-2】（19-20高二上·新疆喀什·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷100次，则第99次出现正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（18-19高一下·吉林·期末）如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（19-20高一下·江苏常州·期末）如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为 ． 【考点题型三】事件的关系与运算 【例3】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【变式3-4】（多选）（24-25高一下·全国·课前预习）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】古典概型概率计算 【例4】（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（20-21高一·全国·课后作业）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛． (1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答． (2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由． 【考点题型五】根据古典概型概率求参数 【例5】（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【变式5-2】（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 【变式5-3】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-4】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【考点题型六】概率加法公式的应用 【例6】（21-22高一·全国·课后作业）从这个整数中随机选择一个数，设事件表示“选到的数能被整除”，事件表示“选到的数能被整除”，求下列事件的概率： (1)这个数既能被整除也能被整除； (2)这个数能被整除或能被整除． 【变式6-1】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 ． 【变式6-3】（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【变式6-4】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【考点题型七】有放回、无放回问题概率计算 【例7】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【变式7-1】（22-23高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 【变式7-4】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【考点题型八】概率与频率的关系 【例8】（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【变式8-1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【变式8-2】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【变式8-3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 【变式8-4】（24-25高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个. 【考点题型九】互斥事件、独立事件及独立事件 【例9】（多选）（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【变式9-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【变式9-2】（24-25高二上·湖北·开学考试）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【变式9-3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件 【变式9-4】（多选）（23-24高一下·安徽六安·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 【考点题型十】互斥事件、对立事件及独立事件概率计算 【例10】（24-25高二上·海南海口·期中）甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【变式10-1】（22-23高一下·江苏常州·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【变式10-2】（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 【变式10-3】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【变式10-4】（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【考点题型十一】概率统计的综合问题 【例11】（23-24高二下·上海·阶段练习）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【变式11-1】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【变式11-2】（24-25高一上·广西柳州·期中）世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数） (2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 【变式11-3】（24-25高二上·云南·期中）某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. (1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； (2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【变式11-4】（22-23高二上·浙江·期中）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表： 收入（千元） 频数 15 10 35 20 10 10 (1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数； (2)用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 概率 【清单01】事件 事件 确定事件 不可能事件　 在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件 【清单02】随机事件发生的概率 1.对于给定的随机事件，在相同的条件，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作. 2.概率的性质 （1） （2）必然事件的概率：；不可能事件的概率：. 【清单03】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的关系 包含 关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立 事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 【清单04】互斥事件与对立事件 1. 名称 条件 结论 符号表示 互斥事件 AB为不可能事件 事件A与事件B互斥 AB＝∅ 对立事件 AB为不可能事件，A+B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 AB＝∅，P(A+B)＝1 注：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． 3. 互斥事件的概率加法公式： ①(互斥)，且有． ② (彼此互斥)． ③ 对立事件的概率：． 【清单05】古典概型 古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 概率公式：P(A)＝. 【清单06】频率与概率 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验的等可能基本事件有n个,即基本事件空间有n个样本点,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A包含m个样本点，那么事件A发生的概率P（A）=. 【清单07】事件的相互独立性 1.对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立. 2.若与相互独立，则与，与，与也都相互独立． 3.事件A＋B；AB；之间的概率关系如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() 【考点题型一】样本空间与事件的判断 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【答案】(1) (2) 【知识点】随机现象 【分析】（1）写出样本空间； （2）在（1）的基础上得到相应的样本空间. 【详解】（1）这个随机试验的样本空间为. （2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为. 【变式1-1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 【变式1-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【知识点】随机现象 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出基本事件 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式1-4】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 【考点题型二】确定事件、随机事件的概率 【例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】利用事件概率的取值范围，即可判断出命题①②③的真假，即可求解. 【详解】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 【变式2-1】（19-20高二上·福建厦门·阶段练习）某种彩票中奖的概率为.若购买该种彩票10000张，则下列说法正确的是（    ） A．一定有1张中奖 B．一定有3张中奖 C．可能0张中奖 D．不可能3张中奖 【答案】C 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据概率定义直接判断选择. 【详解】因为概率代表可能性，所以购买该种彩票10000张可能0张中奖，也可能有3张中奖， 所以A,B,D错误， 故选：C 【变式2-2】（19-20高二上·新疆喀什·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷100次，则第99次出现正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据随机事件的概率作答． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是一个随机事件，每次发生的概率都是，与抛掷的次数无关． 故选：D. 【变式2-3】（18-19高一下·吉林·期末）如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】由随机事件的概念作答． 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现正面朝上的点数为4，这个事件是随机事件，每次抛掷出现的概率是相等的，都是，不会随机抛掷次数的变化而变化． 故选：B． 【变式2-4】（19-20高一下·江苏常州·期末）如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为 ． 【答案】 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】求出至多有一面涂有蓝漆的小木块个数，即可求出概率大小. 【详解】解：有两面涂有蓝漆的小木块有24个，有三面涂有蓝漆的小木块有8个， 则至多有一面涂有蓝漆的小木块有32个，故． 故答案为: . 【考点题型三】事件的关系与运算 【例3】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 【变式3-1】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】事件的运算及其含义、写出基本事件 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 【变式3-4】（多选）（24-25高一下·全国·课前预习）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据事件之间的关系与运算对每个选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，事件包含于事件，故A正确； 对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知，故C错误； 对于选项D，由于至少有一次击中目标，恰有一次击中目标，所以两次都击中目标，故D正确． 故选：ABD. 【考点题型四】古典概型概率计算 【例4】（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）（2）利用列举法写出样本空间，再求出所求概率的事件含有的样本点即可得解. 【详解】（1）同时掷2颗骰子的样本空间 ，共36个样本点， 所得点数和为7的事件含有的样本点为，共6个， 所以所得点数和为7的概率. （2）由（1）知，所得点数都是奇数的事件含有的样本点为： ，共9个， 所以所得点数都是奇数的概率. 【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论. 【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】如下图，将七块三角形编号如下， 所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为： ，， ，，，共有种， 将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为， 则编号的面积为，则编号的面积为， 编号的面积为， 任取两块板面积相等的基本事件为：. 从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为. 故选：C. 【变式4-4】（20-21高一·全国·课后作业）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛． (1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答． (2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)对甲、乙两名同学不公平，理由见解析． 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【详解】（1）树状图法：画出树状图，如图所示：    从上面的树状图，知由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”； 列举法：由题意，知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456， 共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”． （2）不公平．理由如下： 由（1），知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个记“甲参加数学竞赛”为事件，事件包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13个． 所以． 记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个． 所以．因为， 所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平． 【考点题型五】根据古典概型概率求参数 【例5】（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． 【变式5-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 【变式5-2】（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据古典概型的概率求参数 【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果. 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品， 设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：， 抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【变式5-4】（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【答案】 /0.3 10 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 【考点题型六】概率加法公式的应用 【例6】（21-22高一·全国·课后作业）从这个整数中随机选择一个数，设事件表示“选到的数能被整除”，事件表示“选到的数能被整除”，求下列事件的概率： (1)这个数既能被整除也能被整除； (2)这个数能被整除或能被整除． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】（1）利用列举法，通过古典概型的概率公式求解， （2）根据题意求出，从而由可求得结果. 【详解】（1）从1~20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20． “这个数既能被2整除也能被3整除”即事件， 因为1~20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有6，12，18，共3个， 所以． （2）从1~20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20． 其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个， 所以． “这个数能被2整除或能被3整除”即事件， 则． 【变式6-1】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除； (2)这个数能被3整除或能被5整除； (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】利用样本空间法，列举满足条件的样本，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素， 所以, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为； （2）事件表示能被3整除或能被5整除，包含， 所以， 所以能被3整除或能被5整除的概率为； （3）事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有个元素， 所以， 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 【变式6-4】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）把分别写在10张形状大小一样的卡片上，并随机抽取1张．设事件：出现奇数，事件：出现被3除余2的数．写出下面两个事件的对应子集： (1)事件、事件至少有一个发生； (2)事件、事件恰好有一个发生． 【答案】(1) (2) 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】（1）根据题意将事件一一列出，然后求它们的并事件即可； （2）根据题意将事件一一列出，然后求它们的交事件即可； 【详解】（1）由题意可知出现奇数所有可能为， 出现被3除余2的数的可能为， 所以A、B至少有一个发生为； （2）由（1）知事件，事件， 所以A、B同时发生为. 所以事件、事件恰好有一个发生为 【考点题型七】有放回、无放回问题概率计算 【例7】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 【变式7-1】（22-23高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案为： 【变式7-4】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【详解】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 【考点题型八】概率与频率的关系 【例8】（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近， 但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确. 对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误； 故选：ACD. 【变式8-1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【答案】C 【知识点】计算频率 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 故选C. 【变式8-2】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 【答案】；/；. 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算频率 【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率. 【详解】正面向上的频率为：； 因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：. 故答案为：；. 【变式8-4】（24-25高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个. 【答案】8 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 【考点题型九】互斥事件、独立事件及独立事件 【例9】（多选）（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 【变式9-1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 【变式9-2】（24-25高二上·湖北·开学考试）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件的概念进行判断. 【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故与相互独立. 故选：C 【变式9-3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件 【答案】A 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项. 【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件， 由，，，有， 所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A 【变式9-4】（多选）（23-24高一下·安徽六安·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 【答案】BC 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义以及结合古典概型的计算公式判断即可. 【详解】由题意，不放回地随机取两次，共有种情况， = {(2，1)，(2，3)，(2，4) ，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) ，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点， = {(2，1)， (3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5) ，(6，5)}共15个样本点， 故，故C正确; 事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误; = {(1，3)，(1，5) ，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3) ，(6，2)，(6，4)}共12个样本点， 故， D = {(1，2)，(1 ，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3) ，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点， 所以C与D互为对立事件，故B正确; 事件BC = {(3，1)， (5，1)，(1，3)，(5，3)，( 1，5)，(3，5)}共6个样本点， 所以，所以B与C相互独立，故不D正确. 故选：BC. 【考点题型十】互斥事件、对立事件及独立事件概率计算 【例10】（24-25高二上·海南海口·期中）甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【答案】(1)乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为 (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”，根据独立事件的概率公式可得，，，进而求解即可； （2）先求出甲、乙、丙3人都未解出该题的概率，再求解甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【详解】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”， 则，，， 解得， 即乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为. （2）甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 【变式10-1】（22-23高一下·江苏常州·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 【变式10-2】（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 【答案】(1)； (2)； 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求； （2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解. 【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. 由题意要使得组成的三位数能被3整除， 则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以事件发生的概率. 故，. （2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除， 555既能被3整除，又能被5整除， 所以. 因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除， 所以. 故，. 【变式10-3】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】(1)和 (2). 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【详解】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 【变式10-4】（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 【考点题型十一】概率统计的综合问题 【例11】（23-24高二下·上海·阶段练习）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【答案】(1)； (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）先由频率分布直方图中每组的频率之和等于1求出的值，再对身高不低于180厘米的各个小组的频率进行累加即得； （2）由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的80人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：解得 则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为. （2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人． 设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即． 设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即； 所以这80人身高的均值为． 从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为 【变式11-1】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【知识点】用频率估计概率 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 【变式11-2】（24-25高一上·广西柳州·期中）世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数） (2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率和为可求得年龄在对应的频率；根据百分位数的估计方法直接求解即可得到结果； （2）根据分层抽样的原则可确定每组中抽取的人数，采用列举法可求得结果. 【详解】（1）设年龄在对应的频率为，则，解得：， 年龄在对应的频率为， 年龄在对应的频率为， 样本数据的上四分位数位于，设其为， 则，解得：，即样本数据的上四分位数为. （2）年龄在和对应的频率之比为， 抽取的人中，年龄在的有人，记为； 年龄在的有人，记为； 从抽取的人中，随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件； 其中满足至少有人的年龄在组的有：，，，，，，，，，共个基本事件； 抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 【变式11-3】（24-25高二上·云南·期中）某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. (1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； (2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【答案】(1)，2.4h (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得，再利用中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可. 【详解】（1）由，解得. 因为，所以中位数在内，设中位数为x，则，得， 即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h. （2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人. 记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个， 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个， 所以这2人来自不同分组的概率为. 【变式11-4】（22-23高二上·浙江·期中）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表： 收入（千元） 频数 15 10 35 20 10 10 (1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数； (2)用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率； 【答案】(1)11，13.5； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的众数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频数表求众数及百位数即可； （2）根据分层抽样可得在和范围抽取的贫困户数分别为3户和2户，再利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）众数为； 由于前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为 ∴第75百分位数在第4组中， 设第75百分位数为，则有：，解得：， 即第75百分位数为13.5； （2）由频数表及分层抽样可知在收入范围内抽取的户数为，在收入范围内抽取的户数， 记年收入在的3名贫困户分别为A，，，年收入在的2名贫困户分别为，， 则从中随机抽取2户的所有可能结果为：，，，，，，，，，共10种， 其中抽到至少有一名在的贫困户的可能结果：，，，，，，有7种， 故年收入在的贫困户至少有1人被抽到的概率：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$