专题07 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题07 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，底面圆的半径为，高为的无盖圆柱形容器的外部点A处有一只蚂蚁，想快速去容器内部的点B处吃到食物，则从点A处爬到点B处的最短路线长是 ． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，一圆柱高，底面周长为，小虫在圆柱表面爬行，从下底面上的点处出发，爬到上底面上与点相对的点处，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．    7．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 8．（2024·山东聊城·一模）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 9．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 10．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）cm． A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是 ；    7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 8．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． A 9．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，长方体的底面积为，长、宽、高的比为，则： (1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)长方体的表面积和体积分别是多少？ (3)若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程是 ． 10．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（     ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）    A．20 B．4 C．10 D．2 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，圆柱形容器的高，底面周长是，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ） A．20cm B． C． D．24cm 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A．13cm B．cm C．cm D．cm 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面半径为，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 6．（2024·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 8．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 10．（23-24八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物. （1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b （2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； （3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等? 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中，按如下步骤折纸： 第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为； 第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为，点A的对称点恰好落在上 根据以上折纸过程，可以求出折痕的长度为（   ） A．10 B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有几个(    ) ①；②若，则；③若，，则；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，若，，求的周长． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点． (1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时： ①求证：； ②求的面积． (3)如图2，连结， 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 3．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处．若，，则的长为(   )    A．6 B．3 C．2 D．4 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图所示，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则：① ；②若，则 . 9．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的面积． 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 7．（23-24·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．（23-24·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ． 8．（23-24八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作，，连接AC，EC. (1)当点C满足什么条件时，的值最小？ (2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式的最小值. 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D．   4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：把圆柱一半侧面展开，如图，连接， 圆柱的底面半径为， ， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故选：C 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴， 在中，． 故选D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开路径最短问题，勾股定理，把圆柱的侧面展开，可得是一个宽为，长为的长方形，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：，即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从点沿着个长方形的对角线运动到的路线最短，利用勾股定理求出的长即可求解，正确画出圆柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键． 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：，即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从点沿着个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的宽即圆柱体的底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得，， ∴， ∴这根棉线的长度最短为， 故选：． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，底面圆的半径为，高为的无盖圆柱形容器的外部点A处有一只蚂蚁，想快速去容器内部的点B处吃到食物，则从点A处爬到点B处的最短路线长是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将圆柱形容器侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求， 【详解】解：如图， ∵底面圆的半径为， ∴底面圆的周长为， 将圆柱形容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ∵圆柱形容器高为，即， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，一圆柱高，底面周长为，小虫在圆柱表面爬行，从下底面上的点处出发，爬到上底面上与点相对的点处，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短和勾股定理解答即可，把圆柱的侧面展开找到最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，把圆柱侧面展开，点的最短距离为线段的长，    在中，，， ∴， ∴从点处出发爬到点，然后爬回点的最短路程为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键．根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故答案为：． 8．（2024·山东聊城·一模）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题、勾股定理，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，由题意得出，，再由勾股定理计算得出的长即可得解． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 9．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长． 【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于， 由题意得：，， ， ， 由勾股定理得：， 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为． 10．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（      ）    A．25 B． C．35 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图1，将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，   ， 由勾股定理得：． （2）如图2，    ， 由勾股定理得，． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短，． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的正面和上面进行展开时，③当沿长方体的右面和下面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的正面和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ③当沿长方体的右面和下面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他途径必定比①②③两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是 ；    【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：设定字母如图所示：    ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，    在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【答案】130 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，， ， ， 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长， ， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 9．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，长方体的底面积为，长、宽、高的比为，则： (1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)长方体的表面积和体积分别是多少？ (3)若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程是 ． 【答案】(1)这个长方体的长、宽、高分别是 (2)这个长方体的体积为，表面积为 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，平面展开-最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）设这个长方体的长、宽、高分别是，根据长方体的底面积为，建立方程求解即可； （2）由（1）中结果列式计算即可； （3）把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得． 【详解】（1）解：设这个长方体的长、宽、高分别是，根据题意得： ，即， （负值舍去） 这个长方体的长、宽、高分别是； （2）解：由（1）知这个长方体的长、宽、高分别是， 这个长方体的体积为：， 这个长方体的表面积为：； （3）解：平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． 展开前面上面，由勾股定理得； 展开前面右面，由勾股定理得； 展开前面和左面，由勾股定理得． ， 最短路径的长为． 10．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据小正方形面积求出，再根据含直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，圆柱形杯子的底面周长为，高为， 展开图中， 则彩色胶带最短要． 故选：D．    【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）    A．20 B．4 C．10 D．2 【答案】B 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，    过作交的延长线于， 则四边形是矩形， ，， 连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，圆柱形容器的高，底面周长是，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ） A．20cm B． C． D．24cm 【答案】A 【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示， ． 故选：． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A．13cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】将容器的侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意知cm，cm，cm ∴由勾股定理得，＝＝＝13cm． 故选A． 【点睛】本题考查了立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形容器高，底面半径为，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 6．（2024·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得， ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 10．（23-24八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物. （1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b （2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； （3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等? 【答案】（1）作图见解析，，二 （2），  （3） 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． （1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， 故答案为：，二； （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中，按如下步骤折纸： 第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为； 第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为，点A的对称点恰好落在上 根据以上折纸过程，可以求出折痕的长度为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，勾股定理，先由折叠的性质得到，再由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，如图所示，由折叠性质及等腰三角形性质求出，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理求出，数形结合，根据，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 将沿着折叠，点恰好落在的点上处， 由折叠性质得到，， ， ， ， 由等腰三角形三线合一可得是的角平分线、是线段的中垂线， ，， ， ， 在中，，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及折叠性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠性质及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有几个(    ) ①；②若，则；③若，，则；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①是的中线，即可求解；②，则，则，即可求解；③勾股定理求得，即可求解；④勾股定理求得，进而根据是的中线，即可求解． 【详解】解①，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； ②∵， ， ， 则，故②正确； ③，， ， 设，则 解得： 故③不正确； ④，，则， 故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是翻折变换(折叠问题)，涉及到直角三角形中线定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长． 【详解】解：延长交于点G， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠性质可知，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由题意得，，则， ∴，（平行线间间距相等）， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合．若直线与的交点为E，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．设，由折叠性质得到，，，，，根据，得到，得到，根据，运用根据勾股定理得到，，即得根据勾股定． 【详解】设， 由折叠知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，若，，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；得到，即可解决问题． 【详解】解：四边形为长方形， ，，； 折叠长方形的一边，使点落在边的点处， ， 由勾股定理得：， ， ； ， ， 的周长为：． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点． (1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时： ①求证：； ②求的面积． (3)如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度． 【答案】(1)5 (2)①见解析；② (3)的长度为5或 【分析】（1）由勾股定理求出斜边的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求解； （2）①由斜边中线的性质得；由得，即，则，从而，结论即证明； ②设，则，利用勾股定理建立方程求得x的值，再求得，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：当时；当时；利用折叠的性质、勾股定理即可完成． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，， ∴； ∵D为斜边中点， ∴ 故答案为：5． （2）①证明：∵D为斜边中点， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即； ②解：由（1）知，； 设，则； 由①知，， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：当时，如图， 则， 由折叠知，， ∴， ∴； 当时，连接，如图， 则； ∵， ∴， 由勾股定理得：； 由折叠知，，， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 由于点D在上，不可能与平行； 综上，的长度为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意分类讨论． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 3．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处．若，，则的长为(   )    A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， ∴在中，． 设， 由折叠可得，， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得，再证明，，进而即可求解. 【详解】∵将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处， ∴， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， 设纸片宽为h， ∴， ∴， 故选C. 5．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图所示，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握翻折前后的对应的线段相等．在中，利用勾股定理可求得的长，进而可求得长；由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理建立方程，可求得长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是翻折得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，  在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则：① ；②若，则 . 【答案】 /45度 / 【分析】本题考查翻折的性质．第一次翻折可得，四边形是正方形，第二次折叠可得是等腰直角三角形，从而求出，然后求出，再根据，从而得出． 【详解】解：①第一次折叠，如图②， 由折叠的性质，， ； ②第二次折叠，如图③， 由折叠的性质，，， ， 即是等腰直角三角形， ，， ， ， 即， ， ，， ． 故答案为：①；②． 9．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定及勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． （1）由得, 再根据翻折不变性得到, 从而可得, 即可得证； （2）设, 根据翻折不变性知, 在中由勾股定理可得, 从而得出、、 , 最后根据可得答案． 【详解】（1）∵, ∴, 根据翻折不变性得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）设, 根据翻折不变性， 在中, 解得： , 即, ∴, 又∵, ∴, ∴, 则． 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 【答案】(1)证明详见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形； （2）连接，根据代数求解即可； （3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处， 又长方形， ， ， 是等腰三角形 （2）如图所示，连接，    ， （3）设，则， 在中，由勾股定理可知： ， ， ． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2． 【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=4，EF=8， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义. 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可得到结论. 【详解】∵Rt△中，，， ∴2=18 故选B. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容. 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=    （      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，即可求出值． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2， ∴AC2＋BC2＝AB2＝4， 则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8． 故选D． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，F为中点，D为上一点，连于点E，若，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解得，由，可证明，结合题意证明，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，F为中点， ，DE=1 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24·江苏南通·二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题． 【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG， ∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG， ∴∠BAG＝90°， ∴∠BAD+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠ABD， 又∵AF＝BE，AG＝CB， ∴△AGF≌△CBE（SAS）， ∴GF＝CE， ∵FB＝FC， ∴BF+CE＝BF+GF， ∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长， ∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6， ∴BG＝ 即BF+CE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为 . 【答案】 【分析】把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，再利用“边角边”证明△AEF和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴∠ACB=∠B=45°， 由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°， ∵∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠DAE， 在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴EF=DE， ∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴EF= =5， ∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴点A到BC的距离为×12=6， ∴△ABC的面积=×12×6=36． 故答案为：36. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．（23-24·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（    ）    A．11 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，，令，则转化为求，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解． 【详解】解：，令， 原式 如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，    已知，，，设，线段的长可表示为 当、、三点共线时，的值最小； 过点作交的延长线于点，得矩形， ，， ， 所以， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 5．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含角直角三角形的性质，勾股定理，过点B作，且，连接，，先利用证明，得到，进而得到有最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：过点B作，且，连接，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点D，点F三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵，，， ∴，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 【答案】 10 13 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点E作，交的延长线于F点．在中运用勾股定理计算求解． （2）由（1）的结果可作，过点A作，交的延长线于F点，使，，连接交于点C，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式的最小值． 【详解】解：（1）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是10． ， ， ， ， 解得：． （2）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是13． 故答案为10，，13． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用，一元一次方程的应用等． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求；设，可得，即可解得的长； （2）作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求；过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； 过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：5． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作，，连接AC，EC. (1)当点C满足什么条件时，的值最小？ (2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式的最小值. 【答案】(1)当点C在线段BD与线段AE的交点处时，的值最小. (2)13 【详解】解：（1）当点C在线段BD与线段AE的交点处时，的值最小. （2）如图，，，AE与BD相交于点C. 设，，，， 过点E作BD的平行线交AB的延长线于点F， 由（1）可知，代数式的最小值就是线段AE的长. ∵，，，， ∴在中，， ， ∴代数式的最小值是13. 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边中，点在线段上，，，则以线段，，的长为边组成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点C作于点D，结合等边三角形的性质和勾股定理可求出的长．画出以线段，，的长为边组成的三角形为，且令，，，过点作于点H，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 如图，令，，，过点作于点H， 设，则． ∵，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    4．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点C作，且在上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质可证得，得到，则．连接，则，当点B，F，共线时，m的值最小．根据等边三角形的性质与勾股定理即可解答． 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．   是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ∴． 连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 即m的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线，将线段进行转化是解题的关键． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长至点，使，证明，根据性质得，，过点作交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长至点，使， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？ 【答案】5或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示： 则， ， 平分， ， 又， ∴， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， ①∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，所以①正确； ②∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 所以②正确； ③∵， ∴， ∴ ， 所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形，连接对角线、，，且，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点D作交的延长线于点F，过点B作于H，根据条件证明，根据，设，即可求解． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点F，过点B作于H， ∵ ∵，， ∵， 设，则 ∴， 解得：（负值舍去） 故答案为：． 【点睛】本题是一道综合性较强的几何综合题，有一定的难度；主要考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（）如图，和均为等边三角形，点为边上一个动点，，点为边中点，连接，写出图中全等的三角形__________，线段的最小值__________． 【问题探索】（）如图，是等腰直角三角形，，，点是上一点，，交于．试探究、、的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】（），；（），证明见解析；（）． 【分析】（）连接，证明，得到，即得，可得点在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （）如图，过点作交延长线与，连接，可得是等腰直角三角形，即得，进而可得，，得到，，即得，再由勾股定理即可求证； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， 证明可得，，又由可得，在中，由，可得，即得 ，得到，最后根据即可求解． 【详解】解：（）如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，有最小值，此时， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，； （），证明如下： 如图，过点作交延长线与，连接， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， ∴； （）如图，在延长线上截取，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ． ． 为等边三角形， ， 点，，在同一直线上， ， ， ，； ②， ，； （2）和均为等腰直角三角形， ，，． ， ， ，， 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ， ， ， 又，， ， ； （3）如图3， 由（1）知， ， ， ， ， 如图4， 同理求得， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$