专题05 勾股定理的应用重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题05 勾股定理的应用重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 求梯子滑落高度问题 题型二 求旗杆高度问题 题型三 求小鸟飞行距离问题 题型四 求大树折断前高度问题 题型五 解决水杯中筷子问题 题型六 求河宽问题 题型七 求台阶上地毯长度问题 题型八 判断汽车是否超速问题 题型九 判断是否受台风影响问题 题型十 选址问题 题型十一 求最短路径问题 知识点一：勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 求梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【经典例题二 求旗杆高度问题】 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 2．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度(如图)，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小明位置不动，若想让风筝沿方向下降9米，他应该往回收线多少米？ 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如表： 任务：某校八年级同学想测量旗杆的高度h（m），发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子长度未知，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于绳子长）． 小明利用皮尺测量，求出了旗杆BC的高度h（m），其测量及求解过程如下： 测量过程： 测量出绳子垂直落地后还剩余a（m），把绳子拉直，绳子末端A点在地面上离旗杆底部C点b（m），即（m），如图2． 求解过程： 由测量得：，，， 在中，， ∴，即． ∴________（m）． 阅读下列材料，回答问题． (1)直接写出小明求得旗杆高度h（m）的值； (2)小明求得h所用到的几何知识是________； (3)小明仅用皮尺，通过2次测量，求得h（m），请你利用皮尺另外设计一个测量方案，并利用直角三角形的知识求旗杆的高度h（m），写出你的测量及求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 【经典例题三 求小鸟飞行距离问题】 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 2．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【经典例题四 求大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗 1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【经典例题五 解决水杯中筷子问题】 【例5】（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 1．（23-24八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm (1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？ (2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号) 3．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【经典例题六 求河宽问题】 【例6】（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=15km，BC=12km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通? 2．（2024·四川成都·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【经典例题七 求台阶上地毯长度问题】 【例7】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，要在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的单价为20元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算． 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【经典例题八 判断汽车是否超速问题】 【例8】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【经典例题九 判断是否受台风影响问题】 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 2．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）2024年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． (1)求出点到线段的最小距离； (2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 【经典例题十 选址问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【经典例题十一 求最短路径问题】 【例11】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 1．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒   4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 7．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 9．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 11．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理的应用重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 求梯子滑落高度问题 题型二 求旗杆高度问题 题型三 求小鸟飞行距离问题 题型四 求大树折断前高度问题 题型五 解决水杯中筷子问题 题型六 求河宽问题 题型七 求台阶上地毯长度问题 题型八 判断汽车是否超速问题 题型九 判断是否受台风影响问题 题型十 选址问题 题型十一 求最短路径问题 知识点一：勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 求梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【答案】12米 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设米，米， 在中，， ． 在中，， ． ． ∴ ， 解得：． ． ， ∴楼的高度为12米． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m； (2)此时使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即， ∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m； （2）解：如图所示，，则在中，，， ∴由勾股定理可得，， ∴可得， ∴此时使用不安全． ． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 【经典例题二 求旗杆高度问题】 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设绳子长为米，过点作于点，根据题意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗杆的高度． 【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点， 根据题意得米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， 解得：， ∴旗杆的高度为米． 答：旗杆的高度为米． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点A 到桥面l的高度． 2．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度(如图)，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小明位置不动，若想让风筝沿方向下降9米，他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)凤筝的高度为16.5米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，(负值舍去)， 所以，(米)， 答：风筝的高度为16.5米； （2）由题意得，， ∴， ∴(米)， ∴(米)， ∴他应该往回收线7米． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如表： 任务：某校八年级同学想测量旗杆的高度h（m），发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子长度未知，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于绳子长）． 小明利用皮尺测量，求出了旗杆BC的高度h（m），其测量及求解过程如下： 测量过程： 测量出绳子垂直落地后还剩余a（m），把绳子拉直，绳子末端A点在地面上离旗杆底部C点b（m），即（m），如图2． 求解过程： 由测量得：，，， 在中，， ∴，即． ∴________（m）． 阅读下列材料，回答问题． (1)直接写出小明求得旗杆高度h（m）的值； (2)小明求得h所用到的几何知识是________； (3)小明仅用皮尺，通过2次测量，求得h（m），请你利用皮尺另外设计一个测量方案，并利用直角三角形的知识求旗杆的高度h（m），写出你的测量及求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示） 【答案】(1) (2)勾股定理 (3)见详解 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据求解，即可求解； （2）根据求解过程可得是勾股定理，即可求解； （3）找到绳子到旗杆底端绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得米，用皮尺量出小明的身高米，量出小明到旗杆距离米，在旗杆位置量出小明的身高找到，用勾股定理即可求解； 理解勾股定理，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解： 解得：； 故小明求得旗杆高度h（m）的值为； （2）解：勾股定理； 故答案：勾股定理； （3）解：如图，找到绳子到旗杆底端绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得米，用皮尺量出小明的身高米，量出小明到旗杆距离米，在旗杆位置量出小明的身高找到， 则有，， ， ， ， 解得：． 【经典例题三 求小鸟飞行距离问题】 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 【答案】小鸟至少飞行10m． 【分析】先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解 【详解】解：如图，设大树高为AB＝12m， 小树高为CD＝6m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴ EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m， ∴AE＝AB－EB＝12－6＝6（m）， 在Rt△AEC中， AC＝＝＝10（m）， 故小鸟至少飞行10m． 【点睛】本题考查勾股定理，由实际问题画出对应的几何图形是解题关键． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 【答案】小明在标牌▇填上的数字是4． 【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC＋BC−AB即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝（米）， ∴少走的距离为AC＋BC−AB＝（12＋5）−13＝4（米） 答：小明在标牌▇填上的数字是4． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确的运用勾股定理求AB是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米， （米． 答：线段的长为米． （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米， 则应该再放出（米， 答：他应该再放出8米长的线． 【经典例题四 求大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系； 设旗杆断裂处距离C点，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可解答． 【详解】解：设旗杆断裂处距离C点，根据题意得：，，， 在中： 答：旗杆在距离C点米处断裂． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    【答案】0.9米 【分析】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点与地面的距离为0.9米． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺． 【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3； 迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积； 【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小； 迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解； 【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab； 图③的面积为c2+2ab=c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， 即a2+b2=c2； 【探究二】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=c2，S1=a2，S2=b2， ∴S1+S2=a2+b2=c2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47； 故答案为：47； 【探究三】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2， ∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用： 阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab， ∵a=5，c=13， ∴12， ∴阴影部分面积和=×5×12=30， 故答案为：30； 【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得： x2-（x-3）2=82， 解得：x=， 答：绳索长为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 【经典例题五 解决水杯中筷子问题】 【例5】（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键． 【详解】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 1．（23-24八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm (1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？ (2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号) 【答案】（1）10cm；（2）cm. 【分析】（1）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案； （2）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． 【详解】（1）如图1所示： AB==10（cm）， 如图2所示： AB=（cm）． 故蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B（P为CD的中点）， 最短路程是10cm． （2）由题意得：给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是： （cm）． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【经典例题六 求河宽问题】 【例6】（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=15km，BC=12km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通? 【答案】需要30天才能把隧道凿通 【分析】由题意得∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC，则需要天数为． 【详解】∵，， ∴   ∴由勾股定理，得 ， ∴(天)． 答：需要30天才能把隧道凿通． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理并确定好斜边与直角边是解决问题的关键． 2．（2024·四川成都·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【答案】长约为． 【分析】如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】如图，过点作于点， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 答：长约为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 【经典例题七 求台阶上地毯长度问题】 【例7】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，要在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的单价为20元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算． 【答案】210 【分析】利用勾股定理求得三角形的底边长，然后根据地毯长度=BC+AC可知地毯长=7米，然后再根据题意计算即可． 【详解】解：如图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC==4米． 地毯的总长=BC+AC=4+3=7米． 地毯的面积=7×1.5=10.5平方米． 地毯的总价=20×10.5=210元． 故答案为210元． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，依据勾股定理求得BC的长，从而得到地毯的总长度是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 【答案】铅笔盒的宽的长度为． 【分析】设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，然后根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：设铅笔盒的宽的长度为，则笔长， 由题意得， 解得． 答：铅笔盒的宽的长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【经典例题八 判断汽车是否超速问题】 【例8】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 【经典例题九 判断是否受台风影响问题】 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，过点作于，先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：，，， ． 是直角三角形， 如图，过点作于， ， ， ， 海港受到台风影响； 如图，当时，正好影响港口． 在中，由勾股定理得， ∵，时， ∴， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 2．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）2024年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，则，根据勾股定理求出的长，即可． 【详解】（1）解：会受到台风的影响．理由如下： 如图， 过点A作，垂足为D， ， 在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为． 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． (1)求出点到线段的最小距离； (2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 【答案】(1)点到线段的最小距离为； (2)能，可接收信号的时间． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）作于．求出即可解决问题； （2）当时，，同理，根据，求出运动时间即可解决问题； 【详解】（1）解：作于． 在中，，， 则是等腰直角三角形， ， ， 答：点到线段的最小距离为； （2）解：， 点处能接收到信号． 当时，， 当时，， ， 可接收信号的时间． 答：可接收信号的时间． 【经典例题十 选址问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距离点，10千米处 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又∵， ， ， 答：站应建在距离点，10千米处． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【经典例题十一 求最短路径问题】 【例11】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径．将长方体沿剪开，使，，处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中或中，用勾股定理求解再比较大小即可． 【详解】解：如图，展开图如下两种情况： 由题意可知，，处于同一平面，连接、， ∴在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ∴蚂蚁的最短路径为． 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【答案】 【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 答：所用彩条最短长度是． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 1．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点， 依题意：， 则，， 由勾股定理有， 即， 解得或（不合题意 ，舍去）， 60秒后他们再次取得联系． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可． 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示，   ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点，    则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算的长是解题的关键．由题意知，米，米，在中，已知，、的长度根据勾股定理可以计算的长度，大树的原长为． 【详解】解：大树倒下部分，地面，大树折断部分正好构成直角三角形，米，米， 米 大树的原长为(米) 故答案为：18． 7．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 【答案】75 【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可． 【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75． 故答案为75． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 9．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 11．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 【答案】小明在标牌▇填上的数字是4． 【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC＋BC−AB即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝（米）， ∴少走的距离为AC＋BC−AB＝（12＋5）−13＝4（米） 答：小明在标牌▇填上的数字是4． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确的运用勾股定理求AB是解题的关键． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【答案】机器人行走的路程BC为m． 【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=x m，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC=AC， 设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2， ∴32+（8-x）2=x2， 解得． ∴机器人行走的路程BC为m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$