专题06 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题06 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据三角形的内角和，勾股定理逆定理即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及三角形的内角和定理的应用． 【详解】、设三角形的三角分别为，，，，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由得，， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由，设，，，则， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 3．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 又 ； （2）垂直平分，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， （舍去）， ． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 1．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．（2024·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ，， ， 是直角三角形，且， 故选项C不符合题意； 故选：D 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求的面积． (3)求点B到的距离． 【答案】(1)见解析；； (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了作图轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据割补法即可求的面积； （3）根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，设点B到的距离为h，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 顶点的坐标为； （2）解：的面积． （3）解：根据题意得：，，， ∴， ∴为直角三角形， 设点B到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， 即点B到的距离为2． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，即， ∵是边上的中线， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据，可确定是直角三角形，且是斜边，，是两条直角边，是斜边边的中点，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，即， ∴是直角三角形， 根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一边， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆运用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据判断线段的大小关系判断三角形的类型是解题的关键． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，． (1)求的长． (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24八年级下·重庆合川·期末）如图，在四边形中，，， ，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可求，，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，      ，， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， P是正三角形内的一点， 且 ，将 绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点 P与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 1．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形ABCD中，，，，，，四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为 ． 【答案】/96平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ． 【答案】东南方向或西北方向 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则(海里)，(海里)，海里，由勾股定理的逆定理，判定出，再由表示东北方向，即可得出表示的方向． 【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B， 由题意，得 (海里)， (海里)，海里， ， ， ， 表示东北方向， 表示东南方向或西北方向．如图， 故答案为：东南方向或西北方向． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形即可解答． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边为里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解. 1．（2024·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5 ∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2． 又∵a2＝b2+c2﹣bc， ∴a2＝1+4﹣2＝3， ∴或（舍） ∵， ∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形；根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可以判断，、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 【详解】解：如下图所示，连接 、、， 又 ， 是直角三角形， 又点是的中点， ， 、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 故选：D ． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知中，，是上一点，且，，求的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 由，可知是直角三角形，且，设，则，由勾股定理得，，即，可求的值，然后求面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握运用勾股定理判断三角形成为直角三角形成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再运用勾股定理逆定理证明，进而得到；同理得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴根据勾股定理可得 ， ∵在 中， ， 又， ， 同理得， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·广西桂林·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，（海里），（海里） 又∵海里， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 则另一艘舰艇的航行方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 11．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； （2）根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过勾股定理逆定理得到，再由三角形的面积公式即可求解； （2）连接，在中，由勾股定理得，可得是的垂直平分线，则设，则，，在中，由勾股定理得，，求出x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 而, ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵点为的中点，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：， ∴． 13．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，深圳某校有一块三角形空地，，为了更好的发挥这片空地的价值，并丰富孩子们的校园生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成休息区，其余部分设计成英语角，经测量发现：米，米，米，米． (1)求的度数； (2)假如给英语角铺路需要用到水泥，经过了解发现铺设每平方米需要元水泥，请问该英语角一共需要花费多少钱用于购买水泥？ 【答案】(1) (2)该英语角一共需要花费元钱用于购买水泥 【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【详解】（1）∵，米，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴， ∴是直角三角形，． （2）图中阴影部分的面积（平方米）． （元） ∴该英语角一共需要花费元钱用于购买水泥 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理： （1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断不是直角三角形，不是直角，进而可求解； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：正方形面积表示为：， 正方形面积还可以表示为：， 所以，， 即． （2）解：在中，， 所以是直角三角形，是直角， 在中，，， ， 所以不是直角三角形，不是直角， 因此，这个零件不符合要求． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，下图是由若干个边长为1的小正方形组成的方格纸． (1)在图1中直接画出长为的线段． (2)请直接写出图2中四边形的周长和面积．（点A、B、C、D均在格点上） (3)请直接写出图3中中边上的高的长度__________，点D为线段的中点，线段上有一点E，连接，请直接写出最小值__________．（点A、B、C、D均在格点上） (4)点M在线段上，且线段长为，连接，以为直角边，在线段的右侧做一等腰，使得，，求作点M及等腰．（点E、F、G均在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)周长为，面积为 (3)； (4)见解析 【分析】（1）利用勾股定理找到一个两直角边分别为2和4的直角三角形，那么斜边即为线段； （2）利用勾股定理求出四边形四边形的长即可求出其周长，再利用割补法求出对应的面积计算； （3）利用割补法求出的面积，再求出的长，利用等面积法即可求出边上的高；取格点H，连接，可证明垂直平分，得到，则当A、E、H三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可； （4）如图所示，分别取格点，则点M，点，和即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：由勾股定理得，，，， ∴四边形的周长为：； 四边形的面积为：； （3）解：， ， ∴边上的高为； 如图所示，取格点H，连接， 由网格的特点可知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、E、H三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为； 故答案为：；． （4）解：如图所示，点M，点，和即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 3．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 1．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 3．（2024·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求的面积． (3)求点B到的距离． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．10 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）绿都农场有一块菜地如图所示，现测得，，，，． (1)求的长． (2)求这块菜地的面积． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24八年级下·重庆合川·期末）如图，在四边形中，，， ，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， P是正三角形内的一点， 且 ，将 绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点 P与点之间的距离； (2)求的度数． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形ABCD中，，，，，，四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知中，，是上一点，且，，求的面积为 ． 7．（23-24八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ． 9．（23-24八年级下·广西桂林·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 11．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，连接． (1)若，，求的面积； (2)若，，求的长． 13．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，深圳某校有一块三角形空地，，为了更好的发挥这片空地的价值，并丰富孩子们的校园生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成休息区，其余部分设计成英语角，经测量发现：米，米，米，米． (1)求的度数； (2)假如给英语角铺路需要用到水泥，经过了解发现铺设每平方米需要元水泥，请问该英语角一共需要花费多少钱用于购买水泥？ 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，下图是由若干个边长为1的小正方形组成的方格纸． (1)在图1中直接画出长为的线段． (2)请直接写出图2中四边形的周长和面积．（点A、B、C、D均在格点上） (3)请直接写出图3中中边上的高的长度__________，点D为线段的中点，线段上有一点E，连接，请直接写出最小值__________．（点A、B、C、D均在格点上） (4)点M在线段上，且线段长为，连接，以为直角边，在线段的右侧做一等腰，使得，，求作点M及等腰．（点E、F、G均在格点上） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$