专题04 勾股定理重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题04 勾股定理重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 勾股定理的证明方法 题型八 以弦图为背景的计算题 题型九 勾股定理中的最值问题 题型十 勾股定理的基本计算 题型十一 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十二 勾股定理与网格问题 题型十三 勾股定理与折叠问题 题型十四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十五 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十六 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】 （24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 由题意可知且，依次由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：；；． 故选：B． 1．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过点作, 则四边形、是矩形，即可判断（1）；根据可以得，然后根据勾股定理即可判断（3）；根据全等三角形得到，然后利用勾股定理判断（2）． 【详解】（1）过点作, 交于点,过点作, 交于点. ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ∴, ∴在中, 直角边. 故（1）正确，符合题意； （2）∵, ∴, 在中， , , 故（2）正确，不符合题意； ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 故选: . 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）我们把有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一动点，如果四边形是等对边四边形，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，由点是边的中点，求得，由四边形是等对边四边形，得到或，当时，过作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， ， 点是边的中点， ， 四边形是等对边四边形， 或， 当时，过作于，   ， ， ， ， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 【答案】任务2：9；任务3：60 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是∶ 任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离点距离然后求差即可解题； 任务三：利用列出关于的方程解题即可． 【详解】解：任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离点距离为， ∴将榫眼外移距离为：； 故答案为：； 任务三：∵长的木棒恰好能截成 和， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： ． 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）式子可以理解为（    ） A．两点与间的距离 B．两点与间的距离 C．两点与间的距离 D．两点与间的距离. 【答案】D 【分析】，然后根据平面直角坐标系内两点间距离公式求解即可. 【详解】解： ∴式子可以理解为两点与间的距离. 故选：D. 【点睛】本题考查平面内两点之间的距离，设两个点A、B以及坐标分别为 ，则A和B两点之间的距离为：. 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算是解题的关键． 由的坐标为，可求，则点的横坐标为，由，可求． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 【答案】． 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，解题关键是熟练运用勾股定理进行计算． 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知的顶点坐标为，，，求边上的中线的长． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，掌握求中点以及线段的长度的方法是解题的关键． 利用中点坐标公式求得点M坐标，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，， ∴的中点M的横坐标，纵坐标， ∴点M的坐标为； ． 【经典例题三 勾股树（数）问题】 【例3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意； B、，不能构成三角形，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意， 故选：A． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【分析】本题考查了勾股数，整式的乘法； （1）根据表格找到规律，即可求解； （2）根据勾股定理可以写乘，根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）根据（2）的方法，得出，结合，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，分别是的中点，于点，连接．若的周长是11，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据求出，最后再运用勾股定理求解． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵，是的中点， ， 的周长， ， 由勾股定理知． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，D为中点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和等面积法求线段长度，连接，根据等腰三角形的性质可得，，在中，由勾股定理求出的长度，结合即可求出的长． 【详解】连接， ，，D为中点， ，， 在中，， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，平分，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由勾股定理可得，设，由勾股定理可得，从而列出方程，求得，可得，最后由等腰三角形的判定即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 设， 中，，中，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)的长为10 (2)线段的长度为4或6或 (3)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）解：①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①如图，当点P在线段上时： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②如图，当点P在延长线上时，连接， 设，则，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论①，②，③四边形的面积，④为等腰直角三角形．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就可以求出结论． 【详解】解：连接， ，点D为中点，， ，，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． ， ，故①正确； ， 始终为等腰直角三角形，故④正确； ， ，故②正确； ， ，故③正确； ∴正确的有①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键． 1．（2024·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ） A． B．1+ C．2 D．2+ 【答案】D 【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠C＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°， ∴∠DAB＝22.5°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD＝2， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴DE＝CE， ∴ ∴△ABC的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：设，，则 依题意， ∵的面积是的倍， ∴，即 ∴ 即（负值舍去） ∵小正方形的面积是， ∴ ∴ ∴ ∴大正方形的面积 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，得到则，即可得到； （2）延长到点，使交于点．证明，则．证明，则．又由即可得到结论； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． （2）． 证明：如图1，延长到点，使交于点． ， ． ， ， ． 为的中点， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）或． ①如图2，当点在的延长线上时， ， ． ， ． ②如图3，当点在的延长线上时， ， ． ， ． 综上所述，或． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可知，，再根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故选：． 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据坡比等于铅直高与水平距离的比值，求出铅直高，进而利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)； (3)所画正方形见解析；点P见解析 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； （1）由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理得，由画图知，则由即可得A、B两点表示的数； （3）由，即可画出面积为5的正方形；在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点，那么点P表示的数即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， 由画图知， ∴， ∴A点表示的数为；B点表示的数为； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴所画正方形的边长为，其面积为5； 如图，在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点， ∵， ∴， ∴ RN5点P表示的数为． 【经典例题七 勾股定理的证明方法】 【例7】（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理； 在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故第二个图可以证明勾股定理； 在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故第三个图可以证明勾股定理； 在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故第四个图可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的有3个． 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；见解析 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2）在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键． 【经典例题八 以弦图为背景的计算题】 【例8】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，则，设，，根据勾股定理建立方程求出；再根据图形面积之间的关系，证明两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，再由中间正方形面积等于大正方形面积减去4个全等的直角三角形的面积列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴，即，    设交于点M，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴的值是； 故选：A． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形组成的大正方形，两条直角边分别记为a，b（），现在此图形中连接四条线段得到呈“风车”形状的阴影图形，面积记为S．已知的面积为3，大正方形的面积为13，则S的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用、解二元一次方程组、完全平方公式等知识． 先求出，，可得①，②，解得，即可求出． 【详解】解：∵的面积为3，大正方形的面积为13， ∴，则，， ∵正方形的面积， ∴①， ∵， ∴②， 由①②解得，， ∴， 故选：B 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，小正方形的边长为，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ， ， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， 同理可得， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 【经典例题九 勾股定理中的最值问题】 【例9】（2024·山东济南·一模）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则．可知当点与点重合，点于点重合时，取得最小值，最小值为线段的长，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点，交于点，    由作图过程可知，为的平分线， ， 垂直平分， ，，． 当点与点重合，点于点重合时，，为最小值． 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为9.6． 故选：A． 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴；即：的最小值为； 故选D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由折叠性质可知，然后根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证： (1)求证：； (2)若，求的长； (3)在点D的运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)13 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证明，进而可证； （2）证明，根据勾股定理，进而求出的值． （3）由勾股定理得，则最小时，最小，当时即可，再根据直角三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形， ，， ， 与都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， （负值舍去）； （3）解：如图： ∵是等腰直角三角形，， ∴ 当时，最小，则最小， ∵， ∴ ∵ ∴和均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，能够灵活运动勾股定理是解本题的关键，综合性较强． 【经典例题十 勾股定理的基本计算】 【例10】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出直角三角形斜边长为，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长， ∴直角三角形斜边上的中线长． 故选：B． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理及完全平方公式，要求的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，．根据勾股定理，结合完全平方公式就可以求出的值，进而得到三角形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理及新定义三角形，根据题意，由勾股定理及奇异三角形定义两边平方和等于第三边平方的两倍，列方程组求解即可得到答案，读懂题意，理解奇异三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在，，如图所示： 由勾股定理可得，即，则， 假设是奇异三角形， 根据奇异三角形定义，分两种情况：①；②； 当，即，联立，则，解得； 当，即，则，联立，则，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 【答案】 【分析】过点作于点，将和分别放在直角三角形中求出的底和高，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式，构造辅助线将特殊角放在直角三角形中是解题的关键． 【经典例题十一 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例11】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 3．（23-24八年级上·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．    (1)如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）设：，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题十二 勾股定理与网格问题】 【例12】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段， 故选：D． 1．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 3．（23-24八年级上·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，，， (2)图见解析，的面积为3 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． （2）解：在图2的正方形网格中画出如下：    则的面积为． 【经典例题十三 勾股定理与折叠问题】 【例13】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：如图连接交于，作于． 在中，，， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，， 故选：A． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 3．（23-24八年级上·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质，并灵活运用． （1）设，由折叠的性质可知，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （2）①利用直角三角形性质得到，由折叠的性质，即可解题； ②利用折叠的性质得到，再利用直角三角形性质即可解题． 【详解】（1）由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； （2）①在中， ，， ， 由折叠可知：， ； ②由折叠可知， ，， ， 在中， ，， ； 【经典例题十四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例14】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 1．（2024·浙江台州·二模）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，利用勾股定理求得AE的长，即可得出AE：AB的值． 【详解】∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a， ∵CD＝BC＝a， ∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a， ∵AE＝AD， ∴AE＝（﹣1）a， ∴ ＝． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，，垂足为．           图1                                   图2 (1)求证：；（图1） (2)求的度数；（图1） (3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，结合勾股定理即可得出的关系． 【详解】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； （3）； 证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 又， ， ． 【经典例题十五 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例15】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 1．（2024·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【经典例题十六 用勾股定理构造图形解决问题】 【例16】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 2．（2024·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2024 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选：A 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）斜拉桥是我国流行的桥型之一，大跨径斜拉桥已居世界第一．如图，，，如果最长的钢索，那么钢索、的长分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设，先根据，，得出，，再根据，得到都是直角三角形，得到，即，由，代入计算即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ， 都是直角三角形， ， ，即， ，， ， （负值舍去），（负值舍去）， 故选：C． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（   ）．    A．56 B．66 C．74 D．84 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 先利用勾股定理求得的长，然后再求得的长，根据题意推出再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由知，又 ∴ 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求，，，从而可得出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及平面直角坐标系的两点间距离，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线得出，则，整理得，因为点P与点的距离等于，所以，再解方程，即可作答． 【详解】解：设， ∵P是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵，， 即， ∴， ∵点P与点的距离等于， ∴， 把代入，， 解得 则， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．过点作于点，首先根据勾股定理解得的值，结合三角形面积可求得的值，在中利用勾股定理可解得，由折叠的性质可得，结合可解得，进而可得，即可证明为等腰直角三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， 即，解得， ∴在中，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） (1)求入口处到出口处的距离； (2)求海洋球处到出口处的距离． 【答案】(1)入口处到出口处的距离为48米 (2)海洋球处到出口处的距离为69米 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意结合含30度角的直角三角形的性质可得出，，，再根据勾股定理求解即可； （2）由题意结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 答：入口处到出口处的距离为48米； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 答：海洋球处到出口处的距离为69米． 13．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，中，°，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，三角形和扇形的面积，能根据勾股定理列方程是解题的关键． （1）根据阴影部分面积两个扇形的面积和的面积计算即可； （2）根据三角形的全等可得，，然后根据勾股定理得到，即可求出长，然后计算面积即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为； （2）解：∵四个直角三角形全等，外围轮廓（实线）的周长为80， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴， ∴飞镖状图案的面积为． 15．（24-25八年级上·福建三明·期中）（1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． （1）用图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积等于三个三角形的面积的和进行计算，由此列出等式即可求出勾股定理； （2）过作于，则，由勾股定理得出，，得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当为钝角时，过点作，交的延长线于点，同（2）推出，当为钝角时，，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，图形是梯形； 根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即． ∵梯形的面积和三个三角形的面积相等， ∴， 化简，得：； （2），理由如下， 如图，过作于，则， 在中：， 在中：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当为钝角时，过点作，交的延长线于点，如图： ∵，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴， ∵，，， ∴； 当为钝角时，， 即， ∴， ∴， 综上所述，若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 勾股定理的证明方法 题型八 以弦图为背景的计算题 题型九 勾股定理中的最值问题 题型十 勾股定理的基本计算 题型十一 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十二 勾股定理与网格问题 题型十三 勾股定理与折叠问题 题型十四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十五 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十六 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】 （24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 1．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）我们把有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一动点，如果四边形是等对边四边形，那么的长为 ．    3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）式子可以理解为（    ） A．两点与间的距离 B．两点与间的距离 C．两点与间的距离 D．两点与间的距离. 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知的顶点坐标为，，，求边上的中线的长． 【经典例题三 勾股树（数）问题】 【例3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，分别是的中点，于点，连接．若的周长是11，则的长为（    ） A． B． C． D．8 1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，D为中点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，平分，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点．若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论①，②，③四边形的面积，④为等腰直角三角形．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 1．（2024·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ） A． B．1+ C．2 D．2+ 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 【经典例题七 勾股定理的证明方法】 【例7】（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【经典例题八 以弦图为背景的计算题】 【例8】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形组成的大正方形，两条直角边分别记为a，b（），现在此图形中连接四条线段得到呈“风车”形状的阴影图形，面积记为S．已知的面积为3，大正方形的面积为13，则S的值为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【经典例题九 勾股定理中的最值问题】 【例9】（2024·山东济南·一模）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证： (1)求证：； (2)若，求的长； (3)在点D的运动过程中，求的最小值． 【经典例题十 勾股定理的基本计算】 【例10】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知中，所对的边分别为a、b、c，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为 ． 3．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 【经典例题十一 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例11】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为 ． 3．（23-24八年级上·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．    (1)如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ． 【经典例题十二 勾股定理与网格问题】 【例12】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 1．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 3．（23-24八年级上·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积．   【经典例题十三 勾股定理与折叠问题】 【例13】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 3．（23-24八年级上·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【经典例题十四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例14】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 1．（2024·浙江台州·二模）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，，垂足为．           图1                                   图2 (1)求证：；（图1） (2)求的度数；（图1） (3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 【经典例题十五 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例15】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【经典例题十六 用勾股定理构造图形解决问题】 【例16】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 3．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2024 B．2022 C．2021 D．1 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）斜拉桥是我国流行的桥型之一，大跨径斜拉桥已居世界第一．如图，，，如果最长的钢索，那么钢索、的长分别是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（   ）．    A．56 B．66 C．74 D．84 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 11．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，、E、B在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为36米，（计算结果保留整数） (1)求入口处到出口处的距离； (2)求海洋球处到出口处的距离． 13．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，中，°，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． 15．（24-25八年级上·福建三明·期中）（1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$