专题02轴对称（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（鲁教版）

专题02 轴对称 经典基础题 题型01轴对称图形的识别 题型02动手操作题 题型03折叠问题 题型04轴对称的基本性质的应用 题型05等腰三角形的性质与判定 题型06等边三角形的性质与判定 优选提升提 题型01利用轴对称求线段之和的最小值 题型02网格中的轴对称问题 轴对称图形的识别 1．（22-23七年级下·山东青岛·期末）地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全、舒适方便等特点，下列地铁标志中是轴对称图形的是（    ） A．济南   B．太原  C．青岛   D．郑州   【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D不是轴对称图形，不符合题意； A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列选项中的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、C、D都是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 3．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，有2条对称轴，符合题意； B、是轴对称图形，有1条对称轴，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，有8条对称轴，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 动手操作题 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）将一张长方形纸片对折，用笔尖在纸上扎出“”，将纸打开后铺平，可见到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称，剪纸问题，根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，两个字母B，关于直线对称， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一，一张纸可以剪出形式多样的图形.初学者小明将一张正方形纸片按如图步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质．理解折叠的过程是解题的关键． 根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上，且中间应该是一个正方形，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，展开铺平后的图形如下， 故选：A． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查利用轴对称设计图案的知识，利用轴对称的性质找到对称轴，再画上相关网格即可． 【详解】根据轴对称图形可作如图所示： 共有4种画法， 故选：D． 4．（21-22七年级下·山东青岛·期末）用正三角形和圆，设计一个有且只有两条对称轴的轴对称图案，并用一句简短的话（20字及以内），说明你所要表达的含义． 【答案】图见解析，表示的含义是圆形的插座（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）进行设计即可． 【详解】解：用正三角形和圆，设计一个有且只有两条对称轴的轴对称图案如下所示： 含义：表示圆形的插座（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了设计轴对称图案，熟练掌握轴对称图形的概念是解题关键． 折叠问题 1．（22-23七年级下·山东聊城·期末）在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，根据，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵折叠 ∴， ∴, ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，测得比大，则折叠角的度数为 . 【答案】/27度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质等知识点，掌握翻折的性质成为解答本题的关键．根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质以及比大求解即可． 【详解】由折叠可得， 则， 即， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，长方形中，点E，点F分别在上，连接，点C落在点G处；将沿折叠，点B落在点H处；，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠以及角的运算，易得因为平角，故因为，则即可作答． 【详解】解：由折叠得到： 又∵ ∴ ∵， ∴ 故选：A． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键解答此题先由折叠的性质得出，，和三角形的周长计算方法，再由此对结论进行判断即可．． 【详解】解：①由折叠的性质得：，则平分，故①正确； ②由折叠的性质得：，故②正确； ③由于在中，，，，所以不等于，和不相等，故③不正确； ④的周长，由折叠的性质得，，所以，的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 轴对称的基本性质的应用 1．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）如图，点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，若，则的度数是 ．    【答案】60°/60度 【分析】根据对称性得到，，利用的度数得到和，相加可得． 【详解】解：连接，   ， ∵点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C， ∴，， ∴ ， 又， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意得出． 2．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，与关于直线成轴对称，点A在直线上，连接，交直线于点P，与交于点N，与交于点M，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】根据与关于直线成轴对称可知，故可得出；由轴对称的性质可直接得出，是的垂直平分线，故可得出，进而可得出；由全等三角形的判定定理得出，故可得出，进而可得出，据此得出结论． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴，故A正确； ∵与关于直线成轴对称， ∴，故B正确； ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴，故C正确； 即：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：ABCD． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质及全等三角形的判定与性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 等腰三角形的性质与判定 1．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）如图，点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，若，则的度数是 ．    【答案】60°/60度 【分析】根据对称性得到，，利用的度数得到和，相加可得． 【详解】解：连接，   ， ∵点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C， ∴，， ∴ ， 又， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意得出． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，高相交于点H，若，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】且，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一及三角形全等的判定方法．解决本题的关键是证明． 由是等腰三角形，高相交于点H，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的性质即可证明． 【详解】解：且，理由如下： ∵是高，是高， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∵，是高， ∴， ∴ ． 3．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，四边形中，，平分，点P是延长线上一点，且．证明：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了余角的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 由三线合一可知，然后利用等腰三角形的性质结合互余的定义即可证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得． 本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：B 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 3．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的中线， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．    【模型应用】 问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长．    问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．    【模型迁移】 问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    【答案】问题1：4；问题2：点P的坐标为或或或；问题3：证明过程见解析 【分析】问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：如图，由题意可得，，分类讨论：当时，当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， 过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或或或；    问题3：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等 利用轴对称求线段之和的最小值 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为，当时最小． ∵的面积是6，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，交于，连接，，    在中，，， 是等边三角形， ，， ，， 点关于的对称点为点， ， ， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是， 故选：B． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，M，N分别是和上的动点，当取得最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查轴对称最短距离问题，等边三角形的判定及性质． 在上取点E，使，过点E作于点N，交于点M，连接．由，，可得是等边三角形，点B与点E关于对称，则，，此时的值最小．在等边中，由“三线合一”即可求得． 【详解】在上取点E，使，过点E作于点N，交于点M，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴是的对称轴，点B与点E关于对称， ∴， ∴，此时的值最小， ∵是等边三角形，， ∴． 故选：A 网格中的轴对称问题 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格上，各顶点均为格点，且每个小正方形的边长为1． (1)作出关于直线l对称的图形； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，请作出线段（不写作法）； (3)在直线上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹），这一最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，三角形中线的性质，轴对称线段和最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C、关于直线l对称的对称点、、，顺次连接即可； （2）利用三角形中线的性质得出即可； （3）连接交于P，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点P满足条件． 【详解】（1）如图所示，三角形即为所求            ． （2）如图所示，取的中点D，连接，线段即为所求； （3）如图所示， 由作图可知：点C与点关于直线l对称， 连接与l交点即为点P ，连接， 此时，为最小值， 由勾股定理得， 最小值：． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） (2)求的面积； (3)在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称，割补法求面积，利用轴对称求最短路径； （1）根据轴对称的性质找出的对应顶点的位置，顺次连接即可； （2）利用割补法计算即可； （3）根据轴对称求最短路径的方法可知，连接与的交点即为点的位置． 【详解】（1）解：如图所示： （2）； （3）如图所示，连接与交于点P，则， ∴， ∴点A、P、共线时，的值最小，即的值最小， ∴图中点即为所求． 3．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点均在小61．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）的面积是 （3）如图所示，延长，交直线于点， 此时，为最大值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最大值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 轴对称 经典基础题 题型01轴对称图形的识别 题型02动手操作题 题型03折叠问题 题型04轴对称的基本性质的应用 题型05等腰三角形的性质与判定 题型06等边三角形的性质与判定 优选提升提 题型01利用轴对称求线段之和的最小值 题型02网格中的轴对称问题 轴对称图形的识别 1．（22-23七年级下·山东青岛·期末）地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全、舒适方便等特点，下列地铁标志中是轴对称图形的是（    ） A．济南   B．太原  C．青岛   D．郑州   2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列选项中的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是(    ) A． B． C． D． 动手操作题 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）将一张长方形纸片对折，用笔尖在纸上扎出“”，将纸打开后铺平，可见到（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一，一张纸可以剪出形式多样的图形.初学者小明将一张正方形纸片按如图步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．（21-22七年级下·山东青岛·期末）用正三角形和圆，设计一个有且只有两条对称轴的轴对称图案，并用一句简短的话（20字及以内），说明你所要表达的含义． 折叠问题 1．（22-23七年级下·山东聊城·期末）在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为 ．    2．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，将正方形纸片沿线段折叠之后，使点落在正方形内部的点处，测得比大，则折叠角的度数为 . 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，长方形中，点E，点F分别在上，连接，点C落在点G处；将沿折叠，点B落在点H处；，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有 ．    轴对称的基本性质的应用 1．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）如图，点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，若，则的度数是 ．    2．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，与关于直线成轴对称，点A在直线上，连接，交直线于点P，与交于点N，与交于点M，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 等腰三角形的性质与判定 1．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）如图，点P关于的对称点是D，点P关于的对称点是C，若，则的度数是 ．    2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，高相交于点H，若，猜想线段与的关系，并说明理由． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 3．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．    【模型应用】 问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长．    问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．    【模型迁移】 问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    利用轴对称求线段之和的最小值 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，M，N分别是和上的动点，当取得最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 网格中的轴对称问题 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格上，各顶点均为格点，且每个小正方形的边长为1． (1)作出关于直线l对称的图形； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，请作出线段（不写作法）； (3)在直线上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹），这一最小值为 ． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） (2)求的面积； (3)在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 3．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点均在小61．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$