24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.2.1 点和圆的位置关系 人教版 数学九年级上册 第二十四章 圆 1 前 言 学习目标 1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离来决定。 2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 3.会画三角形的外接圆。 重点难点 重点：点与圆的位置关系。 难点：过不在一条直线上的三点画圆。 2 我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉。下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 　　解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系． 情景引用 3 r · C O A B 观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系？ 点C在圆外，OC > r. 点A在圆内，OA < r， 点B在圆上，OB = r， 圆内、圆上、圆外 点和圆心的位置关系 4 反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： r · O A P P’ P’’ 符号“<=> ”读作“等价于”， “A <=>  B”表示由A条件可推出结论B, B结论可推出条件A. d ＜r d = r d ＞r 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 点和圆心的位置关系 5 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好. 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？ 观察与总结 6 你能计算出甲和乙射击靶的成绩吗？ 试一试 7 1.平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？ A 无数个，圆心为点A以外任意一点 探究 8 2.平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？ A 无数个，它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 B 探究 9 2.平面上有三点A、B、C不在同一直线上经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？ A B C 0 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 步骤： 1）连接线段AB,BC。 2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个 探究 10 A B C 0 概念： 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2）这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3) 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 作图：三角形三边中垂线的交点。 性质：到三角形三个顶点的距离相等。 想一想： 一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？ 一个 无数个 三角形的外接圆 11 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C A B C A B C 外心位于三角形内 外心位于直角三角形斜边中点 外心位于三角形外 试一试 12 经过同一条直线上的三个点能做出一个圆吗？ A B C l l1 l2 P 1）假设经过同一条直线上l上的A,B,C三点可以作一个圆。 2）设这个圆的圆心为P，那么点P 即在l1上，也在l2上。 （l1是线段AB的垂直平分线，l2是线段BC的垂直平分线） 3）而l⊥l1， l⊥l2 。 4）与已知“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。 5）所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆。 思考 13 首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 反证法概念 14 1．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为(　　) A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 【详解】 过A作AD⊥BC于D， △ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 则AD必过圆心O， Rt△ABD中，AB=5，BD=3 ∴AD=4 设⊙O的半径为x， Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x，BD=3 根据勾股定理，解得：x= =3.125． 故选C． 随堂测试 15 2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ） A．线段 的中点及两个端点 B．角的顶点及角的边上的两点 C．三角形的三个顶点 D．矩形的对角线交点及两个顶点 答案 A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误； B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误； C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确； D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误； 故选C． 随堂测试 16 3．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ). A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外 【详解】 ∵点P的坐标是（-4，3）， ∴OP=5， ∵OP等于圆O的半径， ∴点P在圆O上． 故选：C． 随堂测试 17 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ） A．形内 B．形外 C．斜边的中点 D．不能确定 【详解】 解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 则在直角三角形ABC中，∠A=90°，E为斜边BC的中点， 则AE=BE=CE,根据垂直平分线的判定定理可知，点E即在AB的垂直平分线上，也在AC的垂直平分线上，所以三边垂直平分线的交点即为斜边的中点. 故选：C． 随堂测试 18 感谢各位的仔细聆听 人教版 数学九年级上册 19 24.2.2 直线和圆的位置关系 人教版 数学九年级上册 第二十四章 圆 20 前 言 学习目标 1.知道直线和圆相交、相切、相离的概念。 2.根据具体方法判断直线和圆的位置关系。 重点难点 重点：理解直线和圆相交、相切、相离的位置关系。 难点：直线与圆三种位置关系判定的运用。 21 晓日 天际霞光入水中， 水中天际一时红。 直须日观三更后， 首送金乌上碧空。 其中前两句描写的是“天边霞光映入水中，一时间水天相接的天际一片通红。”，如果从数学的角度来分析，把水面当作一直线，太阳当作一个圆，如何用几何图形来刻画这个太阳升起的过程呢？请同学们动手画一画。 诗歌欣赏 22 观察日升、日落的过程，你能总结出直线和圆有哪几种位置关系吗？ 直线l(水面） 观察以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？ 探究直线和圆的位置关系 23 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。 直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。 直线和圆的位置关系 24 生活中常见的直线与圆的位置关系 25 如果直线和圆的公共点的个数不好判断时，我们又该如何来判断直线与圆的位置关系呢？ 你还记得上节课我们是 如何通过圆心与点的距离 确定点与圆的位置关系吗？ 思考 26 已知直线到圆心的距离和圆的半径，能否判断直线和圆的位置关系？设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有： r · O A l l’ l’’ d ＜r d = r d ＞r 直线l在⊙O内 直线l在⊙O上 直线l在⊙O外 直线和圆心的位置关系 27 直线与圆的位置关系 公共点的个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点的名称 直线名称 0 r d 0 r d 0 r d 相切 相交 相离 1 2 0 d=r d>r d<r 切点 切线 割线 小结 28 1．过圆外一点可以作圆的______条切线；过圆上一点可以作圆的_____条切线；过圆内一点的圆的切线______． 2 1 0 随堂测试 29 2．直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为6 ，则r的取值范围是__________． r>6 [解答] ∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离d=6， ∴r>6. 故答案为：r>6. 0 r 6 随堂测试 30 3．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 【详解】 解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D， 由垂径定理可知：AD＝DB＝ AB＝4(cm)， ∵圆的直径为10cm， ∴DA＝5cm， 由勾股定理得：OD＝3(cm)， ∵垂线段最短，半径最大， ∴OP长度范围为：3≤OP≤5(cm) M N D 随堂测试 31 如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA， (1)过点A作直线l⊥OA（保留作图痕迹） (2)直线l与⊙O有______个交点 (3)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______ (4)直线l和⊙O的位置关系是______ d=r 相切 O A D l 1 思考 32 判定定理：经过半径的外端并且垂直于于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质： 1.圆的切线与圆只有一个公共点。 2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 3. 想一想切线还有什么性质吗？ 切线判定定理 33 在雨中旋转的雨伞 生活中圆与直线相切的实例 34 如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？ 解：OA⊥l ,理由如下： 假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l于点M, OM的长为点O到直线l的距离d, 则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径, 因此,CD与⊙O相交.这与已知条件 “直线与⊙O相切”相矛盾，所以OA与CD垂直. 思考 35 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质： 1.圆的切线与圆只有一个公共点。 2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 3.圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线作法： 作过切点的半径（连半径，得垂直） 切线的性质定理 36 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。 【解题思路】过O点作AC边的垂线，若垂线段与半径长度相等，就可以证明AC是⊙O的切线 证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O相切于点D, ∴ _______________. 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点, ∴______________________,（ ） ∴__________,（ ） 即OE是⊙O的半径, ∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC, ∴AC是⊙O的切线( )． OD⊥AB AO是∠BAC的平分线 三线合一 OE=OD 角平分线性质 切线的判定定理 练一练 37 1．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 【详解】 解：如图所示， ∵AB是直径，AC是切线， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 直角三角形 随堂测试 38 2．如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则⊙O的半径为________ cm． 【解析】 设圆的半径是x，则PO=x+2，根据题意得： PA² + AO² = PO² ， ∵PA=4cm，PB=2cm， ∴4² + x² = （x+2）² ， 解得：x=3. ∴O的半径为3cm. 3 随堂测试 39 3．如图，已知直线切⊙于点，为⊙的直径，若，则所对的圆心角的度数为__________． 【详解】连接， ∵直线切⊙于点， ∴， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAC=123°， ∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=33°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=33°， ∴∠AOD=∠OAC+∠C=66°， 即弧AD所对的圆心角的度数为66°. 66° 随堂测试 40 $$