24.1圆的有关性质 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.1.1 圆 人教版 数学九年级上册 第二十四章 圆 1 前 言 学习目标 1．理解并掌握圆的有关概念。 2．能灵活运用圆的有关概念解决相关的实际问题。 重点难点 重点：理解圆的有关概念，灵活运用圆的概念解决一些实际问题。 难点：灵活运用圆的有关知识解决实际问题。 2 摩天轮 月亮 钟 生活中常见的圆 3 尝试说出一些生活中常见的圆形？ 小组讨论 4 方法一 方法二 方法三 · O A 利用图钉画圆 画圆 5 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． · r O A 固定的端点O叫做圆心 线段OA叫做半径 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆的概念 6 尝试画出一个圆，在画圆的过程中你发现了什么？ · r O A 【发现一】圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； 归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． 【发现二】到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 圆的特征 7 为什么车轮都采用圆形，而不是三角形、正方形或其他？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，假如车轮变了形，不成圆形了，到轴的距离不相等了，车就不会再平稳。 思考 8 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦， · C O A B 【注意】 凡直径都是弦，是圆中最长的弦， 但弦不一定是直径. 与圆有关的概念（弦） 9 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． · O A B 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ⌒ AB · B O A 与圆有关的概念（弧） 10 小于半圆的弧（如图中的　　）叫做劣弧； ⌒ AC 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧. ABC ⌒ · C O A B 【注意】 1）弧分为是优弧、劣弧、半圆。 2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是 劣弧，需分情况讨论。 与圆有关的概念（优弧和劣弧） 11 能够重合的两个圆是等圆。 注意：1）半径相等的两个圆是等圆； 2）同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 注意：1）等弧的长度一定相等； 2）长度相等的弧不一定是等弧。（你知道这是为什么吗？） 原因：大圆上一寸长的弧,与小圆上一寸长的弧,它们的圆心角是不同的,即它们的弧度不同（曲率不同）,放在一起不能重合,所以不一定是等弧。 与圆有关的概念 12 1．下列说法： ①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【详解】 解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误； 面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确； 能完全重合的弧是等弧，所以③错误； 经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确； 经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误． 故选：C． 随堂测试 13 2．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 【详解】 解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确； B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误； C.连接圆上两点的线段叫弦，正确； D.圆上两点间的部分叫弧，正确； 故选：B． 随堂测试 14 3．如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A.2 B.3 C.4 D.5 【详解】 解：图中的弦有AE、AD、CD这3条 随堂测试 15 4．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（　　） A．﹣2π B．1﹣2π C．﹣π D．1﹣π 【详解】 解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边． ∴A点对应的数是1﹣2π． 故选：B． 随堂测试 16 感谢各位的聆听指导 人教版 数学九年级上册 17 24.1.2 垂直于弦的直径 人教版 数学九年级上册 第二十四章 圆 18 前 言 学习目标 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 重点难点 重点：垂径定理及应用。 难点：垂径定理的证明。 19 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 探究 20 你能证明刚才的结论吗？ · O A D E C B 如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB. 在△OAB中， ∵OA=OB, ∴ △OAB是等腰三角形 而OE⊥AB ∴AE=EB 即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。 探究 21 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 · O A D E C B 【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？ 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ 小结 22 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 符号语言： ∵ ① CD是直径， ② CD⊥AB ∴ ③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A E C D B 垂径定理（*） 23 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ 情况一：弦是直径 情况二：弦不是直径 O C D A B · O A E C B D 利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立 思考 24 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ ① CD是直径 ② AE=BE且AB不是直径 符号语言： ∴ ③ CD⊥AB， ④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O C D A B E 垂径定理的推论（*） 25 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 【解题关键】 将实际问题转化为几何问题。 情景思考 26 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 37 18.5 R R-7.23 在RT△ADO中，由勾股定理得 = 解得R≈27.3m 答：略 思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。 情景思考 27 半径 半弦 弦心距 在直角三角形中，由勾股定理得：= 弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）． 半径、半弦、弦心距之间 28 如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求⊙O的半径． A B . O E 3 4 解： 在Rt △ AOE 中 , ,(垂径定理） 过圆心O 作OE⊥AB于E， . 试一试 29 变式一：半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 . A B O E A B O 6cm E 变式二：⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的 距离OE=4cm，则弦AB 的长是 . 1 4 5 4 试一试 30 变式三：如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴 交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)， 则C点的坐标是 . 2 5 3 试一试 31 变式四：如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O 的半径. 6 2 r r-2 D C A B E O 解方程过程略 试一试 32 3 r 9-r 变式五：如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E， AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O 的半径. D C A B E O 解方程过程略 试一试 33 1．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（ ） A.2m B.2.5m C.3m D.5m 【答案】B 【详解】 设这个门拱的半径为r，则OB=r−1， ∵CD=4m，AB⊥CD， ∴BC= CD=2m， 在Rt△BOC中， ∵BC +OB =OC ,即2 +(r−1) =r ，解得r=2.5m. 故选B. 课堂测试 34 2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（　　） A.4m B.5m C.6m D.8m 【答案】D 【详解】 连接OA， ∵桥拱半径OC为5m， ∴OA=5m， ∵CD=8m， ∴OD=8−5=3(m)， ∴AD= (m) ∴AB=2AD=2×4=8(m) 故选D. 课堂测试 35 3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）． A. B.2 C.2 D.2 【答案】C 【详解】 解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA， ∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4， ∴OH=OP=2 ∵在Rt△OAH中，OA=3， ∴ ∴AB=2AH=2 故选C H 课堂测试 36 感谢各位的聆听指导 人教版 数学九年级上册 37 24.1.4 圆周角 人教版 数学九年级上册 第二十四章 圆 38 前 言 学习目标 1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明; 3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。 重点难点 重点：理解并掌握圆周角定理及推论。 难点：圆周角定理的证明。 39 特征：顶点在圆上，两边都与圆相交。 将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？ O A C B 情景引用 40 概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的特征：①顶点在圆上； ②两边都和圆相交。 · A B C D E O 你能指出右图中存在的圆周角吗？ 圆周角的概念 41 在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你能得出什么结论？ 经过测量， 同弧所对的圆周角度数等于 所对圆心角的一半。 O A C B 圆心角和圆周角之间存在的关系 42 下面我们分以下三种情况验证上述猜想： 圆心角和圆周角之间存在的关系 43 情景一（证明∠BAC= ）: 1 2 3 证明一： ∵∠3是△AOC的外角， ∴∠3＝∠1 ＋∠2. ∵OA＝OC （同圆半径相同） ， ∴∠1＝∠2 . ∴∠3＝2∠1 . 即 => 证明二： OA=OC=>∠1＝∠2 ∠3＝∠1 ＋∠2 符号“=>”读作“推出”， “A =>B”表示由A条件推出结论B. 圆心角和圆周角之间存在的关系 44 情景二（证明∠BAC= ）: 1 2 3 4 5 6 证明一： ∵∠5是△AOB的外角，∴∠5＝∠1 ＋∠3. ∵OA＝OB（同圆半径相同） ， ∴∠1＝∠3 .∴∠5＝2∠1 同理∠6＝2∠2 =∠5+∠6= 2（∠1 +∠2）= 2 即 D 连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D 圆心角和圆周角之间存在的关系 45 情景二（证明∠BAC= ）: 1 2 3 4 5 6 D 连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D 证明二： OA=OC=>∠4＝∠2 OA=OB=>∠1＝∠3 ∠5＝∠1 ＋∠3 ∠6＝∠5 ＋∠4 =∠5+∠6 => 圆心角和圆周角之间存在的关系 46 情景三（证明∠BAC= ）: 作直径AD D 1 5 2 3 4 证明一： =2∠1 (情景一) =2∠4 (情景一) = - = - => 圆心角和圆周角之间存在的关系 47 综上所述,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系是: 即 ∠BAC = ∠BOC. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆心角和圆周角之间存在的关系 48 在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？ · O A B B1 A1 将弧AB绕圆心O旋转，使弧AB与弧A1B1重合 ∴点A与A1重合，B与B1重合 ∴射线OB与OB1重合，射线OA与OA1重合 ∴∠AOB＝∠A1OB1 而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半 ∴它们所对应的的圆周角相同。 即同弧或等弧所对的圆周角相等。 ⌒ ⌒ C 圆心角和圆周角之间存在的关系 49 · A B C1 O C2 C3 证明：90°的圆周角所对的弦是直径？ 圆心角和圆周角之间存在的关系 50 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 解：∵AB是直径∴ ∠ACB= ∠ADB=90° 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴ AD=BD. 圆心角和圆周角之间存在的关系 51 O 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。 例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆。 A D C B 圆内接多边形概念 52 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ O A D C B 连接BO和DO ∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD 又∵ BCD和BAD所对圆心角的和为周角 ∴ ∠A+ ∠C= ×360°=180° 即圆内接四边形的对角互补。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考 53 1、填空 1）如果∠A=45°,则∠BOC=____,∠OBC= 。 2）如果∠BOC=46°,则∠A=____。 3）如果BC的度数是46°，那么这条弧所对 的圆心角和圆周角分别等于 ， 。 4）n°弧所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 。 O A B C 23° 46° 23° n° n° 90° 45° ⌒ 随堂测试 54 2.如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC， 求证：CD=BD. 连接OC， ∵OD∥AC， ∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C， ∵OA=OC， ∴∠A=∠C， ∴∠COD=∠BOD， ∴=. 随堂测试 55 3.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长． 由图得∠B＝∠C＝30°． ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°． 而AD=5∴BD＝ 随堂测试 56 感谢各位的聆听指导 人教版 数学九年级上册 57 $$